Линейный оператор. Основные понятия
Определение. Если каждому элементу 
из пространства Rn ставится в соответствие единственный элемент 
из пространства Rm , то говорят, что задан оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rm (или оператор, действующий в пространстве Rn, если n= m).
Результат действия оператора A на элемент обозначают 
.
Если элементы и 
связаны соотношением 
, то называют образом ; а — прообразом .
Множество элементов пространства Rn, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).
Множество элементов пространства Rm, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если , то 
Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства Rn, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): 
.
Определение. Оператор A, действующий из пространства Rn в пространство Rm называется линейным оператором, если для любых 
из Rn и для любого действительного числа α справедливо:
и 
.
Примеры
1. Нулевой оператор 
: 
— линейный оператор, D(Q)=Rn, 
, Ker(Q)=Rn.
Докажем линейность нулевого оператора:
;
.
2. Тождественный (единичный) оператор I: 
— линейный оператор, D(I)= Rn, Im (I)= Rn , 
.
Докажем линейность тождественного оператора:
;
.
3. Оператор P 2 — оператор проектирования пространства R3 на подпространство R2 параллельно вектору 
: 
линейный оператор, D(P 2)= R3 R3, Im (P 2)= R2, 
.
Докажем линейность оператора проектирования:
.
4. Оператор Uj поворота пространства R2 на угол φ относительно начала координат против часовой стрелки:
— линейный оператор, D(Uj)= R2, Im ( Uj)= R2, 
.
Докажем линейность оператора поворота:
Замечание
Линейный оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rn (действующий в Rn) называют линейным преобразованием пространства Rn .
Матрица линейного оператора
Пусть 
— линейный оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rm , 
, 
, 
.
Это означает, что в некотором базисе 
в Rn и в базисе 
в Rm имеют место разложения:
, 
.
Поскольку A — линейный оператор, то
Но 
следовательно, 
т.е. 
— вектор из Rm, компоненты которого — координаты образа базисного вектора 
Продолжим вычисления:
Обозначим
.
Тогда
т.е. 
.
Формула связывает вектор-столбец 
координат образа с вектором-столбцом координат прообраза, столбцы матрицы A — координаты образов базисных векторов.
Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов некоторого базиса в Rт —
— называется матрицей линейного оператора A в заданных базисах.
Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A(светлая) или Aef — обозначение матрицы оператора A в некоторых базисах или в базисе 
и 
.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространствах Rn и Rm определены некоторые базисы и , 
, 
— и 
, то векторы-столбцы их координат и в этих базисах связаны соотношением 
, где A — матрица оператора A в этих базисах.
Между множеством линейных операторов, действующих из пространства Rn в пространство Rm , и множеством прямоугольных матриц размерности m, n можно установить взаимно однозначное соответствие.
Примеры
1. Матрица нулевого оператора: поскольку 
то 
и, следовательно, матрица нулевого оператора — нулевая матрица.
2. Матрица тождественного (единичного) оператора: поскольку 
, то 
(единица на i-м месте) и, следовательно, матрица тождественного оператора — единичная матрица.
3. Матрица оператора проектирования пространства R 3 на подпространство R 2 параллельно вектору 
: поскольку 
, то у матрицы P оператора проектирования последний столбец — нулевой; она имеет вид 
.
4. Матрица оператора Uj поворота пространства R 2 на угол φ относительно начала координат против часовой стрелки:
Поскольку 
, то матрица U оператора поворота имеет вид 
Действия с линейными операторами
Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число, а также операцию умножения операторов.
Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на 
и действующий следующим образом: 
.
Определение. Произведением оператора A на число 
называется оператор, определенный в Rn на 
и действующий следующим образом: 
Определение. Произведением операторов 
называется оператор, определенный в Rn на 
и действующий следующим образом: 
.
Нетрудно доказать, что сумма, произведение на число и произведение линейных операторов — линейный оператор.
Действительно: для любых двух векторов и из Rn и любого числа справедливо: 
,
.
Нетрудно также доказать, что матрица суммы операторов в некоторых базисах равна сумме матриц слагаемых в тех же базисах; матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число; матрица произведения операторов — произведению матриц сомножителей.
Преобразование координат вектора при изменении базиса
Как уже отмечалось, в n -мерном пространстве Rn существует множество различных базисов. Пусть 
и 
— два базиса в Rn. Обозначим 
и 
координаты вектора в базисах и (векторы-столбцы!!!), т.е.
, 
, 
, 
.
Естественно, существует связь между координатами вектора в разных базисах. Найдем ее. Поскольку векторы 
базиса сами являются векторами из Rn, их можно разложить по базису :
.
Тогда 
, т.е. 
или, что то же самое, 
, 
.
Определение. Матрица 
называется матрицей перехода от базиса к базису , это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов («новых» базисных векторов) в базисе 
(в «старом» базисе).
Матрица перехода обратима. Действительно, ее столбцы линейно независимы, поскольку они — координатные столбцы базисных векторов.
Тогда из имеем формулу преобразования координат вектора при изменении базиса: 
.
Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса
Пусть и — два базиса в Rn.
Обозначим 
и 
координаты векторов и 
из Rn и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрицу перехода от базиса к базису 
, т.е. 
,
, 
Тогда
откуда имеем формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса: 
.
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор A, действующий из пространства Rn в пространство Rm. Напомним, что множество элементов пространства Rn, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).
Теорема. Образ Im (A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rn .
Доказательство теоремы
Рассмотрим произвольные векторы из образа линейного оператора: 
и 
. Это означает: 
и 
такие, что 
и 
.
A — линейный оператор, следовательно, 
т.е. 
;
для любого числа , 
т.е. 
. Теорема доказана.
Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg (A): r = Rg (A)= dim Im (A).
Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rn , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): 
.
Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rn .
Доказательство теоремы
Рассмотрим произвольные векторы ядра линейного оператора: 
и 
. Это означает: 
и 
.
A — линейный оператор, следовательно, 
т.е. 
;
для любого числа , 
т.е. 
. Теорема доказана.
Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A): r =def(A)=dimKer(A).
Для линейного оператора 
, действующего из пространства Rn в пространство Rm, справедливы следующие утверждения:
1) ранг оператора равен рангу его матрицы;
2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A; размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.
Примеры. Ядро и образ нулевого оператора: поскольку 
то 
ядро и образ тождественного (единичного) оператора: поскольку 
, то 
ядро и образ оператора проектирования пространства Rn на подпространство Rn -1 параллельно вектору 
: поскольку 
, то 
ядро и образ оператора поворота пространства R 3 против часовой стрелки на угол π относительно оси вектора 
: поскольку 
, то 
Определение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Rn. Число 
называется собственным значением, а ненулевой вектор из Rn — соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением. 
.
Примеры.
1. Нулевой оператор 
: 
, т.е. 
— собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
2. Тождественный (единичный) оператор I: 
— т.е. 
собственное значение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
3. Оператор P 2 — оператор проектирования пространства R 3 на подпространство R 2 параллельно вектору : 
, 
, т.е. — собственное значение оператора, проектирования, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы R3, третья координата которых равна нулю: 
.
Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в Rn.
Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением 
или, что то же самое, 
:
, 
. Здесь 
— единичный оператор.
По теореме о связи координат образа и прообраза имеем: 
, где E — единичная матрица, а 
— нулевой вектор Rn .
Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы 
. Ненулевое решение однородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю: 
. Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения 
, а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.
Легко видеть, что определитель 
— многочлен n-й степени относительно 
.
Определение. Уравнение 
называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен 
— характеристическим многочленом оператора.
Примеры.
1. Нулевой оператор : 
, матрица нулевого оператора — нулевая матрица соответствующего порядка, т.е. 
т.е. — единственное собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
2. Тождественный (единичный) оператор I: 
матрица тождественного оператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е. 
т.е. — единственное собственное значение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
3. Оператор P 2 — оператор проектирования пространства R 3 на подпространство R 2 параллельно вектору : 
, тогда матрица тождественного оператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е. 
т.е. и — собственные значения оператора.
Найдем соответствующие собственные векторы.
Пусть , тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения системы 
т.е.
т.е. вектор
— собственный вектор оператора, отвечающий собственному значению и, следовательно, все векторы вида 
— собственные векторы оператора, отвечающие собственному значению .
Теперь положим 
, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения системы 
т.е.
т.е. векторы
— линейно независимые векторы, которые являются собственными векторами оператора, отвечающими собственному значению 
и, следовательно, все векторы вида 
— собственные векторы оператора, отвечающие собственному значению 
.
4. . Оператор Uj поворота пространства R 2 на угол φ относительно начала координат против часовой стрелки:
.
Матрица оператора 
, тогда 
Характеристическое уравнение имеет единственный корень 
при 
и при 
, 
. Если , , и 
т.е. соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства R2.
При 
— оператор поворота не имеет собственных векторов.
И, наконец, при 
и , , оператор поворота совпадает с тождественным оператором, собственные значения и собственные векторы которого вычислены выше.
Однако, все приведенные выше рассуждения относились к матрице оператора, записанной в некотором определенном базисе в пространстве Rn. А поскольку в пространстве Rn существует много различных базисов, то может возникнуть впечатление, что собственные значения зависят от выбранного базиса. Докажем, что это не так.
Пусть и 
— два базиса в Rn, а — матрица перехода от базиса 
к базису , т.е. . Тогда
т.е. характеристическое уравнение инвариантно, не зависит от базиса и его корни — собственные значения оператора — не зависят от базиса.
Свойства собственных векторов
Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:
1) характеристический многочлен оператора, действующего в Rn является многочленом n-й степени относительно ;
2) линейный оператор, действующий в Rn, имеет не более n различных собственных значений;
3) собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянного сомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичной длины — орты собственных векторов;
докажем, что если 
— собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению , то для любого отличного от нуля числа вектор 
( 
)— собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению : 
;
4) корни характеристического многочлена не зависят от базиса;
5) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Докажем линейную независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Пусть 
— собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению 
, а 
— собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению 
, 
: 
и 
.
Предположим, что векторы и линейно зависимы. Это означает, что один из них линейно выражается через другой: существует такое число , что 
. Тогда:
.
Собственный базис линейного оператора. Матрица линейного оператора в собственном базисе
Если линейный оператор, действующий в Rn, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в Rn.
Действительно, ведь мы доказали, что они линейно независимы.
Определение. Базис, составленный из собственных векторов линейного оператора называют собственным базисом оператора.
Если 
— собственный базис оператора A, то, поскольку 
то матрица оператора в этом базисе — диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 563.
