Совместность однородной системы также легко получить из теоремы Кронекера-Капелли: добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может увеличить ранг матрицы.

Минор матрицы. Теорема о базисном миноре

Определение . Минором матрицы порядка r называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении любых r строк и r столбцов матрицы; обозначаем M_r .

Пример.

минор M ₂ расположен на пересечении 2-й и 5-й строк с 3-м и 5-м столбцами, а минор M ₄ — на пересечении 1-й, 3-й, 4-й и 5-й строк с 1-м, 2-м, 4-м и 5-м столбцами.

Минор M_r, расположенный в первых r строках и в первых r столбцах матрицы , называется угловым или главным минором матрицы.

Справедлива следующая теорема.

Теорема о базисном миноре. Если ранг матрицы равен r , то у матрицы есть отличный от нуля минор порядка r. Строки и столбцы этого минора линейно независимы, а все остальные строки и столбцы матрицы через них линейно выражаются.

Доказательство теоремы опускаем. Его можно найти в учебниках, приведенных в списке литературы.

Отличный от нуля минор ­r-го порядка матрицы, ранг которой равен r, называется базисным минором,  столбцы матрицы, входящие в этот минор называются базисными столбцами, а строки, входящие в базисный минор — базисными строками.

Т.е. теорема о базисном миноре утверждает, что базисные строки и базисные столбцы матрицы линейно независимы, а остальные строки и столбцы матрицы линейно выражаются через базисные.

Следствия из теоремы о базисном миноре

1. Если ранг матрицы равен r, то все миноры матрицы более высокого порядка  равны нулю.

Действительно. Любой минор более высокого порядка содержит хотя бы один столбец (строку), который линейно выражается через столбцы базисного минора, и, следовательно, равен нулю, поскольку разлагается в линейную комбинацию определителей с хотя бы двумя равными столбцами:

2. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы.

Действительно, из теоремы о базисном миноре следует, размерность базисного минора — наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

3. Строки и столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Действительно, определитель — минор наивысшего порядка. Если он отличен от нуля, то он и есть базисный минор матрицы, т.е. все его столбцы (строки) — базисные — линейно независимые. И наоборот. Если все n строк и столбцов квадратной матрицы порядка n линейно независимы, то ранг матрицы равен n. Но по теореме о базисном миноре существует отличный от нуля минор матрицы порядка n,  а такой минор — определитель матрицы.

Замечание. Утверждение теоремы о базисном миноре легко понять на примере ступенчатой матрицы. Вспомним, что ранг ступенчатой матрицы

равен числу r ненулевых строк. Видно, что главный минор этой матрицы, M_r отличен от нуля:

ведь все диагональные элементы  отличны от нуля.

Любой минор более высокого порядка содержит нулевую строку, т.е. равен нулю.

Нетривиальная совместность однородных систем. Необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы

Мы уже говорили, что однородная система линейных алгебраических уравнений всегда совместна. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Пример. Вектор  — отличное от нуля решение однородной системы

Теорема (необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы). Для того чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Доказательство теоремы

Необходимость. Система  нетривиально совместна. Это означает, что существуют числа  не все равные нулю, для которых справедливо . Последнее равенство означает, что n столбцов матрицы систем линейно зависимы и, следовательно, ранг матрицы системы (максимальное число линейно независимых столбцов) меньше числа столбцов, меньше числа неизвестных. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных. По теореме о базисном миноре из этого следует, что существует отличный от нуля минор матрицы порядка r. Не умаляя общности, будем полагать, что базисный минор — главный минор матрицы

Рассмотрим первые r уравнений системы (по теореме о базисном миноре остальные уравнения — линейные комбинации этих первых уравнений):

Оставим слева первые r неизвестных, а остальные n - r неизвестные перенесем вправо и получим неоднородную систему линейных уравнений относительно неизвестных :

Определитель полученной системы — отличный от нуля базисный минор M_r.

Уравнения системы справедливы при произвольных значениях переменных  Их естественно называть свободными. А переменные  в левой части уравнений системы естественно назвать базисными.

Базисные переменные можно вычислить по формулам Крамера , i = 1, 2, …, r . Здесь  — определитель матрицы системы, а  — определитель, полученный из M_r заменой i -го столбцом правых частей. Вычислим, например, x₁.

Здесь  — некоторые числа.

Итак, . Аналогично — т.е. базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные.

Положим, например такие значения свободных переменных:

Тогда вектор — отличное от тождественного нуля решение однородной системы . Т.е. однородная система нетривиально совместна. Теорема доказана.

Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения однородной системы

Вспомним, что решения однородной системы  — векторы из Rⁿ. Вспомним также, что в силу свойств решений линейной однородной системы множество L ее решений — линейное подпространство в Rⁿ. Действительно: если  и  — два решения однородной системы , то при любых действительных числах α и β вектор  — решение системы , иначе говоря, для любых  и  и любого числах α  и . Доказано также, что если ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n, то система имеет ненулевые решения.

Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы, называется общим решением системы.

В теореме о нетривиальной совместности однородной системы показано, что если r — ранг матрицы системы, то r базисных переменных выражаются через свободные переменные по формулам

, .

Здесь для простоты полагали, что базисные переменные — это первые r переменных. Вообще говоря, это могут быть любые r переменных.

Итак, , — т.е. базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные.

Построим n - r ненулевых решений однородной системы специальным образом.

Сначала положим  и полученное решение обозначим .

Затем положим  и полученное решение обозначим ,

и т.д., и, наконец, положим  и полученное решение обозначим . Имеем (см. док-во теоремы о нетривиальной совместности)

.

Нетрудно видеть, что эти n - r ненулевые решения линейно независимы.

Действительно, запишем матрицу, столбцами которой являются векторы :

.

Минор этой матрицы, расположенный в последних n - r строках равен 1, отличен от нуля. Это означает, что ранг матрицы равен n - r и что ее n - r столбца линейно независимы. А столбцы этой матрицы — ненулевые решения однородной системы .

С другой стороны, любое решение системы, в соответствии с приведенными выше формулами, можно записать в виде:

Здесь произвольные значения свободных переменных   обозначены буквами .

Подведем итог:

ü построена система , состоящая из n - r линейно независимых решений однородной системы;

ü любое решение системы линейно выражается через решения ;

ü множество решений однородной системы — линейное подпространство.

Тогда можно утверждать:

1. размерность подпространства L решений однородной системы  равна n ­­­ – r , где n — число неизвестных, r = RgA:  dimL = n – r;

2. система  — базис в подпространстве L решений однородной системы ;

3. выражение  — общее решение однородной системы.

Определение. Система , состоящая из n - r линейно независимых решений однородной системы , , RgA = r , называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Выше мы доказали следующие утверждения.

Утверждение. Фундаментальная система решений однородной системы — базис пространства решений однородной системы.

Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных n , то общее решение системы можно записать в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: .