Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина.

Средняя величина – это обобщенная характеристика признака в статистической совокупности, она выражает характерную, типичную величину признака у единиц совокупности, образующихся в конкретных условиях места и времени под влиянием различных факторов.

Основные виды средних, чаще всего применяемых в практике статистических расчетов, следующие:

Наименование	Простая форма	Взвешенная форма
Средняя арифметическая ( )
Средняя квадратическая ( )
Средняя гармоническая ( )
Средняя геометрическая ( )

Где  – среднее значение признака;  – значения признака;  – знак суммирования;  – знак перемножения;  (частота) и (произведение частоты на значения признака) – веса для расчета взвешенной средней;  и  – численность единиц совокупности;  – общий объем варьирующего признака.

Если средние вычислить по одним и тем же данным, то приведенные виды средних по своим численным значениям встают в следующий ряд: < < < , иллюстрируя так называемое правило мажорантности средних.

Одна из задач определения средней состоит в правильности выбора вида средней величины. При выборе вида средней необходимо учитывать экономическое содержание индивидуальных признаков, которое должно быть сохранено и в итоговой средней величине. При этом любые промежуточные действия, включая конечный результат, должны быть экономически значимы.

Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная. Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда варианты представлены в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда. Если данные представлены в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых одинаковые значения признака объединены в группы, имеющие различное число единиц, называемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взвешенная.

Наряду с расчетом средней для вариационных рядов распределения исчисляют структурные средние – моду, медиану.

Мода – это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую частоту.

Медианой называется значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда и делит его пополам.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

,

где  – минимальная граница модального интервала,  – величина модального интервала,  – частота модально интервала,  – частота интервала, предшествующего модальному;  – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана для интервального ряда распределения рассчитывается по формуле:

,

где  – нижняя граница медианного интервала,  – величина медианного интервала,  – сумма накопленных частот, предшествующих медианному,  – частота медианного интервала.

При изучении совокупности явления нельзя ограничиваться нахождением средней величины. Необходимо исследовать разброс, различия индивидуальных значений признака, причины, вызывающие эти различия. Различие значений признака у разных единиц совокупности называется вариацией. Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации ( ) – абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

.

Среднее линейное отклонение ( ) – показывает средний разброс индивидуальных значений от среднего показателя без учета направленности по модулю. Его можно рассчитать как по формуле средней арифметической простой, так и по формуле средней арифметической взвешенной, в зависимоти от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

 – невзвешенное среднее линейное отклонение (для несгруппированных данных);

 – взвешенное среднее линейное отклонение (для сгруппированных данных).

Дисперсия ( ) представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формуле средней арифметической простой или взвешенной:

 – невзвешенная (простая) дисперсия (для несгруппированных данных);

 – взвешенная дисперсия (для сгруппированных данных).

Среднее квадратическое отклонение  представляет собой корень квадратный из дисперсии:

 – невзвешенное среднее квадратическое отклонение (для несгруппированных данных);

 – взвешенное среднее квадратическое отклонение (для сгруппированных данных).

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Для сравнения размеров вариации различных признаков, а также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации – коэффициент вариации ( ), который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Задача 2.3.1

Имеются данные о стаже работы служащих в филиалах коммерческого банка за отчетный год:

Рассчитайте все показатели вариации. Решение оформите в таблице. Объясните экономический смысл полученных результатов. Проанализируйте динамику вариации, если коэффициент вариации в прошлом году равнялся 39 %.

Решение.

Показатели вариации:

1. Размах вариации: лет. Заметим, что размах вариации необходимо находить по несгруппированным данным, что уже сделано нами при расчете величины интервала в таблице 3.1, графа 3.

2. Среднее значение признака (определяется по формуле средней арифметической взвешенной): лет.

3. Среднее линейное отклонение: лет.

Таким образом, среднее отклонение индивидуального стажа работы служащих от среднего стажа работы в целом по филиалам коммерческого банка за отчетный год без учета знаков составило 1,6 лет.

4. Дисперсия:

5. Среднее квадратическое отклонение:

лет.

Таким образом, индивидуальное значение стажа работы служащих по филиалам коммерческого банка за отчетный год отклоняются от среднего показателя в пределах  лет.

6. Коэффициент вариации:

Таким образом, стаж служащих по филиалам коммерческого банка за отчетный год отличается от среднего стажа ( ) в среднем на 1,9 года, или на 37,7 %. Значение коэффициента вариации превышает 33 %, следовательно, вариация стажа работы служащих велика, найденный средний стаж плохо представляет всю совокупность служащих, не является ее типичной, надежной характеристикой, а саму совокупность нет оснований считать однородной по стажу работы служащих.

7. Анализ динамики вариации:  %.

Таким образом, совокупность служащих филиалов коммерческого банка за два года по стажу стала более однородной, так как уменьшилась вариация на –1,3 %.

Таблица 3.1 – Исходные и расчетные данные для определения показателей вариации служащих по стажу работы в филиалах коммерческого банка за отчетный год

Филиал	Стаж работы, лет	Число служащих, чел.	Середина интервала
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	До 3	10	2	20	3	30	-3	9	90
2	3-5	48	4	192	1	48	-1	1	48
3	5-7	28	6	168	1	28	1	1	28
4	7-9	10	8	80	3	30	3	9	90
5	Свыше 9	4	10	40	5	20	5	25	100
Итого		100	-	500	-	156	-	-	356