Тема: Основные приемы решения уравнений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель: формирование навыков решения уравнений, используя различные приемы.

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические сведения

I. Уравнение называется рациональным, если и – рациональные выражения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Общий знаменатель имеющихся дробей является . Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем: ;

Из уравнения находим . Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение , т.е. проверить выполнение условия . Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, - единственный корень уравнения.

Решение уравнений методом разложения его левой части на множители.

Суть этого метода состоит в том, что нужно решить уравнение , где – многочлен степени . Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: , где – многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение примет вид . Если – корень уравнения , то , а потому хотя бы одно из чисел равно нулю. Значит , - корень хотя бы одного из уравнений

Итак, если , где – многочлены, то вместо уравнения нужно решить совокупность уравнений . Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения .

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем , откуда . Значит, либо , либо . Из первого уравнения находим , второе уравнение корней не имеет. Таким образом, корень уравнения -2.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примере.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Положив , получим уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений:

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это действительные корни заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным называется уравнение вида , где . Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению .

Пример 4. Решите уравнение .

Решение. Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению уравнений . Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим , которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т.е. буквами обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют уравнение.

3) Решают составленное уравнение и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

II. В уравнениях неизвестное находится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Такие уравнения называют иррациональными.

Решение иррациональных уравнений основано на следующем свойстве:

При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение-следствие данного.

При возведении уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому необходимо делать проверку.

Если обе части уравнения неотрицательны на множестве , то уравнение равносильно уравнению при .

Пример 5 . Решите уравнение .

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем

откуда .

Возведем последнее уравнение в квадрат: , или .

Корни этого уравнения .

Проверка показывает, что – посторонний корень.

Ответ: .

Пример 6 . Решите уравнение .

Решение. Возведем уравнение в четвертую степень: , откуда . Решим это биквадратное уравнение, , т.е. или .

Уравнение имеет два корня . Уравнение не имеет действительных корней. Так как при возведении обеих частей уравнения в четвертую степень могли появится посторонние корни, то нужно сделать проверку. При обе части уравнения равны 2, т.е. – корень уравнения. При левая часть уравнения равна 2, а правая равна -2, т.е. -2 не является корнем уравнения.

Ответ: .

Пример 7. Решите уравнение .

Решение. Возводя обе части уравнения в куб, получаем , откуда

Корни этого уравнения . Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями данного уравнения.

Пример 8. Выясните с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение . Найти приближенные значения этих корней.

Решение. Построим на одном рисунке графики функций и . Графики пересекаются в одной точке при .

Задания к практической работе

Задание 1. Решите уравнения методом введения новой переменной:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Задание 2. Решите уравнение, разложив левую часть на множители:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 3. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано?

Задание 4. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Задание 5. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Найти двухзначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Задание 6. Решите задачу, составив к нему уравнение.

По обе стороны улицы, длиной в 1200 м, во вновь разбиваемом поселке лежат прямоугольные полосы земли, отведенные на участки, одна – шириной в 50 м, а другая – в 60 м. на сколько участков разбит весь поселок, если более узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем широкая, при условии, что на узкой полосе каждый участок на 1200 м² меньше, чем каждый участок на широкой полосе?

Задание 7. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Через час после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось 400 м³, а еще через три часа – 250 м³. Сколько воды было в бассейне?

Задание 8. Решите уравнение: