КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Основными критериями оценки выполненной обучающимся и представленной для проверки работы являются:

1. Степень соответствия выполненного задания поставленным требованиям.

2. Структурирование и комментирование практической работы.

3. Уникальность выполнение работы (отличие от работ коллег).

4. Успешные ответы на контрольные вопросы.

«отлично» - оформление соответствует требованиям, критерии выдержаны, защита всего перечня контрольных вопросов.

«хорошо» - оформление соответствует требованиям, критерии выдержаны, защита только 80 % контрольных вопросов.

«удовлетворительно» - оформление соответствует требованиям, критерии выдержаны, защита только 61 % контрольных вопросов.

Практическая работа №27

Тема: Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной функций. Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса и котангенса

Цель: формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций; построения графиков функций; построения графиков основных тригонометрических функций, определения их области определения и множества значений.

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 6 часов.

Теоретические сведения

Переменная y называется функцией переменной x, если каждому допустимому значению x соответствует определенное значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной x (аргументом) записывается с помощью равенства y = f ( x ), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над x, чтобы получить y.

Областью определения функции D ( y ) называется множество всех действительных значений аргумента x (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Множеством значений функции E ( y ) называется множество всех действительных значений функции y, которые она может принимать.

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

Функцию y = f ( x ) иногда можно представить таблицей, в первой строке которой перечисляются значения независимой переменной x, а во второй – соответствующие значения f ( x ) зависимой переменной.

Графиком функции y = f ( x ) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами ( x ; f ( x )).

Известны графики многих функций. Например, график функции y = kx + b есть прямая линия (рис. 27.1), график функции y = x ² – парабола (рис. 27.2), график функции (обратная пропорциональная зависимость) – гипербола (рис. 27.3).

Рисунок 27.1 – график функции y= kx+ b ( k<0)

Рисунок 27.2 – график функции y= x²

Рисунок 27.3 – график функции

В графике содержится вся информация о функции.

Функция f (х) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции , т. е. для любых и из промежутка X, таких, что , выполнено неравенство .

Функция f (х) называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции f (х), т. е. для любых и из промежутка X, таких, что , выполнено неравенство .

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Функция y = f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О (т. е. если точка а принадлежит области определения, то точка - а также принадлежит области определения);

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция y = f(x) называется нечетной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О;

2) для любого значения , принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом х из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство . В этом случае число Т называется периодом функции f.

Если - период функции, то , где , также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Функция

Основные свойства функции :

а) область определения – множество всех действительных чисел;

б) множество значений – отрезок , значит, синус – функция ограниченная;

в) функция нечетная: для всех ;

г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е. для всех ;

д) при ;

е) для всех ;

ж) для всех ;

з) функция возрастает от -1 до 1 на промежутках ;

и) функция убывает от 1 до -1 на промежутках ;

к) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках ;

л) функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках .

График функции изображен на рисунке 27.4. Кривая, являющаяся графиком функции , называется синусоидой.

Рисунок 27.4 – график функции

Функция

Основные свойства функции :

а) область определения – множество всех действительных чисел;

б) множество значений – отрезок , значит, косинус – функция ограниченная;

в) функция четная: для всех ;

г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е. для всех ;

д) при ;

е) для всех ;

ж) для всех ;

з) функция убывает от -1 до 1 на промежутках ;

и) функция возрастает от 1 до -1 на промежутках ;

к) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках ;

л) функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках .

Рисунок 27.5 – график функции

Функция

Основные свойства функции :

а) область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;

б) множество значений – вся числовая прямая, таким образом, тангенс – функция неограниченная;

в) функция нечетная: для всех из области определения;

г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е. для всех из области определения;

д) при ;

е) для всех ;

ж) для всех ;

з) функция возрастает на промежутках .

Рисунок 27.6 – график функции

Функция

Основные свойства функции :

а) область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;

б) множество значений – вся числовая прямая, таким образом, котангенс – функция неограниченная;

в) функция нечетная: для всех из области определения;

г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е. для всех из области определения;

д) при ;

е) для всех ;

ж) для всех ;

з) функция убывает на каждом из промежутков .

Рисунок 27.7 – график функции

Пример 1. Дана функция .

Найдите

Решение. Чтобы вычислить значение , необходимо в данную функцию вместо аргумента x подставить его значение . Имеем .

Аналогично получим , и .

Пример 2. Найдите область определения функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Решение. 1) Здесь на x не накладывается никаких ограничений, поэтому функция определяется на множестве .

2) Если x =0, то y не имеет числового значения (на ноль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) y принимает действительные значения, поэтому областью определения служит вся числовая ось, кроме x =0.

3) Функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корень . Таким образом, область определения есть вся числовая ось, кроме точки .

4) Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корни и . Следовательно, область определения – вся числовая ось, кроме точек и .

5) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция определена для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , т.е. .

8) Функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству .

Таким образом, . Следовательно, областью определения функции является совокупность промежутков: .

Пример 3. Постройте график функции

Решение. Область определения функции – вся числовая прямая. Множество значений .

Функция нечетная, периодическая. Период данной функции найдем из равенства . Следовательно, сначала достаточно построить часть графика на отрезке .

Найдем точки пересечения графика с осью . Если , то , откуда , где , т.е. на данном полупериоде кривая пересекает ось в двух точках и .

Максимум функции равен 1 при , т.е. при .

По этим данным построим график функции . Сначала график строим для положительного полупериода (рис. 27.8), затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду , и, наконец, на всей области определения (штриховая линия).

Рисунок 27.8 – график функции

Пример 4. Постройте график функции .

Решение. Мы знаем, как построить график функции (на рис. 27.9 он изображен штриховой линией). Растягивая график функции вдоль оси абсцисс в 2 раза, получим график функции .

Затем полученный график растягиваем еще раз, но теперь по оси ординат в 3 раза, получим график функции .

Рисунок 27.9 – график функции

Пример 5. Постройте график функции:

Решение. .

а) область определения – – любое число, кроме , где , так как ;

б) область значений – вся числовая прямая, т.е. ;

в) функция не является ограниченной;

г) функция не принимает экстремальных значений;

д) функция периодическая, главный период , так как ;

е) функция не является монотонной на всей области определения, но функция возрастает на каждом из промежутков, , где ;

точки пересечения с осями координат – точки , где , так как при , т.е. .

Учитывая периодичность, построим график функции .

Рисунок 27.10 – график функции

Пример 6. Постройте график функции: , используя формулу приведения.

Решение. По формуле приведения . Поэтому график функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса влево на (рис. 27.11) и симметрией относительно оси абсцисс. График функции изображен на рис. 27.12.