Тема: Обратные функции и их графики

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель: формирование навыков нахождения обратных функций, построения их графиков

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические сведения

Если функция y=f(x) принимает каждое свое значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.

Пусть функция y=f(x) монотонна в своей области определения D ( f ). Тогда каждому значению соответствует единственное значение и обратно: каждое значение соответствует единственному . Значит, в этом случае можно построить новую функцию, определенную на E(f) и такую, что каждому ставится в соответствие , удовлетворяющее уравнению y=f(x). Эта новая функция называется обратной по отношению к функции y = f ( x ).

Для нахождения функции, обратной данной y=f(x), надо выразить х через у: x=g (у), а затем записать полученную функцию в общепринятой форме y = g(x).

Отметим, что если функции y=f(х) и y=g(x) являются взаимно обратными, то область определения функции f совпадает с множеством значений функции g и, наоборот, область определения функции g совпадает с множеством значений функции f, т. e. и .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х (рис. 24.1).

Рисунок 24.1 - Графики взаимно обратных функций

Рассмотрим, например, функцию , заданную на промежутке . На этом промежутке функция убывает и принимает все значения из множества [0; +∞). Следовательно, для данной функции существует обратная. Из уравнения находим или ; так как переменная х может принимать только неположительные значения, то искомая обратная функция имеет вид . Поменяв обозначения х на у и у на х, получим формулу , где , с помощью которой и задается обратная функция.

Если же рассматривать функцию , заданную на промежутке [0; +∞), то обратной для нее служит функция , где . На рисунке 24.2 изображены график функции при и график обратной ей функции.

Рисунок 24.2 - График функции и обратной ей функции

Пример. Задать формулой функцию, обратную f. Построить графики данной и обратной ей функции, если функция f задана формулой:

, где .

Решение. Выразив х через у, имеем , , . Заменив х на у, а у на х, получим . Найдем область определения обратной функции, она совпадает с множеством значений заданной функции. Этим множеством служит промежуток (рис.24.3). Итак, , - функция, обратная данной.

Рисунок 24.3 - Графики обратных функций

Задания к практической работе

Задание 1. Найти функцию, обратную к данной:

1. ;

2. −5x+4;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Задание 2. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 3. Функция задана графиком (рис. 24.4, а, б, в, г). Построить график функции, обратной к данной.

Рисунок 24.4 – Графики функций

Задание 4. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

6. ;

7. ;

8. .

Контрольные вопросы

1. Дать определение обратной функции.

2. Как определить область определения обратной функции?

3. Как определить множество значений обратной функции?

4. Является ли монотонная функция обратимой?

5. Как можно построить график обратной функции?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3.

Практическая работа №25

Тема: Преобразования графика функции

Цель: формирование навыков построения графиков функций и выполнения их основных преобразований.

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретический материал

Если известен график функции , то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т.п.) можно построить графики более сложных функций.

1) График функции получается сжатием графика в раз к оси при или растяжением в раз от этой оси при (рис.25.1).

Рисунок 25.1 - Сжатие и растяжение

2) График функции получается параллельным переносом графика в отрицательном направлении оси на при и в положительном направлении на при (рис.25.2).

Рисунок 25.2 - Движение вдоль оси Ox

3) График функции получается растяжением графика вдоль оси в раз при и сжатием вдоль этой оси в раз при (рис.25.3).

Рисунок 25.3 - Сжатие и растяжение

4) График функции получается параллельным переносом графика в положительном направлении оси на при и в отрицательном направлении этой оси на при (рис.25.4).

Рисунок 25.4 - Движение вдоль оси Oy

5) График функции получается симметричным отображением графика относительно оси (рис.25.5).

6) График функции получается симметричным отображением графика относительно оси (рис.25.6).

7) График функции получается из графика функции следующим образом: часть графика , лежащая над осью , сохраняется, часть его, лежащая под осью , отображается симметрично относительно оси (рис.25.7).

8) График функции получается из графика функции следующим образом: при график сохраняется, а при полученная часть графика отображается симметрично относительно оси (рис.25.8).