Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель: формирование навыков решения простейших тригонометрических уравнений.

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 4 часа.

Теоретические сведения

Простейшими тригонометрическими уравнениям называют уравнения , где  - данное число.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение .

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.                          (20.1)

Частные случаи:

;                        (20.2)

;                    (20.3)

.                   (20.4)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.            (20.5)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.                      (20.6)

Частные случаи:

;                          (20.7)

;                   (20.8)

.                   (20.9)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.                          (20.10)

Формула для корней уравнения , имеет вид:

.                               (20.11)

Частные случаи:

;                (20.12)

;           (20.13)

.         (20.14)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

.                (20.15)

Пример 1. Решить уравнения: 1) ; 2) ;

3)

Решение. 1) , отсюда следует, что множество корней данного уравнения имеет вид .

2) Так как  и , то

3) . Тогда множество корней уравнения имеет вид .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Заменяя  на , получаем  или .

Обозначая , получаем , откуда , .

1)  - уравнение не имеет корней, так как ;

2) , .

Таким образом, .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Используя формулы ,  и записывая правую часть уравнения в виде , получаем

, .

Поделив это уравнение на , получим равносильное уравнение . Обозначая , получим уравнение , откуда , .

1) ;

2) .

Задания к практической работе

Задание 1. Решить уравнения:

1. ;	2. ;		3. ;
4. ;	5. ;		6. ;
7. ;	8. ;		9. ;
10. ;	11. ;		12. ;
13. ;		14. ;
15. ;		16. ;
17. ;		18. ;
19. ;		20. ;
21. ;		22. .

Задание 2. Найти все корни уравнения на отрезке .

Задание 3. Решить уравнение:

1. ;	2. ;		3. ;
4. ;	5. ;		6. ;
7. ;	8. ;		9. ;
10. ;	11. ;		12. ;
13. ;		14. ;
15. ;		16. ;
17. ;		18. ;
19. ;		20. ;
21. ;		22. .

Задание 4. Найти  все корни уравнения на отрезке .

Задание 5. Решить уравнение:

1. ;	2. ;		3. ;
4. ;	5. ;		6. ;
7. ;	8. ;		9. ;
10. ;		11. ;
12. ;		13. ;
14. ;		15. .

Задание 6. Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения .

Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются тригонометрическими?

2. Что называется корнем тригонометрического уравнения?

3. По каким формулам находят решения простейших тригонометрических уравнений?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4.

Практическая работа №21

Тема: Простейшие тригонометрические неравенства

Цель: формирование навыков решения простейших тригонометрических неравенств.

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 4 часа.

Теоретические сведения

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение. По определению – это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство , нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеют абсциссу, большую .

Рисунок 21.1 - Решение неравенства

Абсциссу, равную , имеют  две точки единичной окружности  и  (рис. 21.1) . Точка  получается поворотом точки на угол , а также на углы , где . Точка  получается поворотом точки на угол , а также на углы , где .

Абсциссу, большую , имеют  все точки дуги единичной окружности, лежащие правее прямой . Таким образом, решениями неравенства  являются все числа  из промежутка . Все решения данного неравенства – множество интервалов: , .

Пример 2. Решить неравенство: .

Рисунок 21.2 - Решение неравенства

Решение. Абсциссу, не большую , имеют  все точки дуги  единичной окружности (рис. 2). Поэтому решениями неравенства  являются числа , которые принадлежат отрезку . Все решения данного неравенства – множе-

ство отрезков: , .

Пример 3. Решить неравенство: .

Решение. Ординату, не меньшую , имеют все точки дуги  единичной окружности (рис. 21.3).

Рисунок 21.3 - Решение неравенства

Поэтому решениями неравенства  являются числа , которые принадлежат отрезку . Все решения данного неравенства – множество отрезков: , .

Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой , имеют ординату, меньшую (рис. 21.3). Поэтому все числа  являются решениями неравенства .

Все решения этого неравенства – интервалы: , .

Пример 4. Решить неравенство: .

Рисунок 21.4 - Решение неравенства

Решение. Обозначим .  Решая неравенство (рис. 21.4), находим , . Заменяя , получаем: ,

 откуда

, .

Ответ: , .

Задания к практической работе

Задание 1. Решить неравенство:

1. ;	2. ;	3. ;
4. ;	5. ;	6. ;
7. ;	8. ;	9. ;
10. ;	11.	12.
13. ;	14. ;	15. ;
16. ;	17. ;	18. ;
19. ;	20. ;	21. .

Контрольные вопросы

1. Какие неравенства называются тригонометрическими?

2. Какими способами можно решить простейшее тригонометрическое неравенство?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4.

Практическая работа №22