91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 
и, используя результаты исследования, построить ее график.
91. 
. 96. 
.
92. 
. 97. 
.
93. 
. 98. 
.
94. 
. 99. 
.
95. 
. 100. 
.
Пример. 
.
1. Область определения: 
.
2. 
, 
, -следовательно, функция не является четной, нечетной, периодической.
3. Исследуем характер точки разрыва 
и поведение функции вблизи этой точки:
,
.
Таким образом, в точке функция терпит разрыв второго рода, а прямая 
является вертикальной асимптотой.
4. Определим уравнение наклонной асимптоты:
, где
,
.
Итак,
- наклонная асимптота.
5. Определим критические точки.
,
при 
или 
, то есть при 
или 
, - других критических точек в области определения функции нет. Значения функции в критических точках:
, 
.
6. Найдем вторую производную:
.
, следовательно, точек перегиба нет.
7. Внесем все полученные данные в таблицу, определим поведение функции на различных участках и построим график.
| x | 
| 1 | 
| 3 | 
| 5 | 
|
| + | 0 | - | - | 0 | + | |
| - | - | - | + | + | + | |
    y
| 2 max | 10 min |
Положительные значения первой производной соответствуют промежуткам возрастания, отрицательные – промежуткам убывания. Положительные значения второй производной соответствуют промежуткам вогнутости функции, отрицательные – промежуткам выпуклости. Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, является точкой максимума, а точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием – точкой минимума.
Неопределённый и определённый интегралы
101-110. Найти неопределённые интегралы.
101. а). 
; б). 
; в). 
.
102. а). 
; б) 
; в). 
.
103. а). 
; б) 
; в). 
.
104. а). 
; б) 
; в). 
.
105. а). 
; б) 
; в). 
.
106. а) 
; б) 
; в) 
.
107. а) 
; б) 
; в) 
.
108. а) 
; б) 
; в) 
.
109. а) 
; б) 
; в) 
.
110. а) 
; б) 
; в) 
.
Пример. Найти неопределённые интегралы.
а) 
; б) 
; в) 
.
а) Данный интеграл не является табличным. Поэтому предварительно сделаем элементарные математические преобразования, в данном случае воспользовавшись формулой сокращенного умножения, а потом таблицей интегралов основных элементарных функций, получим:
б) пусть требуется найти интеграл вида 
, где подынтегральная функция непрерывна. Сделаем замену 
, тогда 
. Получим 
. В найденном интеграле перейдем к прежней переменной 
, воспользовавшись равенством 
.
.
в) 
. Имеем интеграл вида 
. Применим формулу интегрирования по частям 
:
.
1 1 1-1 2 0. Вычислить определенные интегралы
111. а) 
; б) 
в) 
.
112. а) 
; б) 
; в) 
.
113. а) 
; б) 
в) 
.
114. а) 
; б) 
в) 
.
115. а) 
; б) 
в) 
.
116. а) 
; б) 
в) 
.
117. а) 
; б) 
; в) 
.
118. а) 
; б) 
в) 
.
119. а) 
; б) 
в) 
.
120. а) 
; б) 
в) 
.
Пример.
а) 
. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим этот интеграл:
б) 
. Вычислим этот интеграл, используя метод замены переменной:
в) 
. Применяя формулу интегрирования по частям получим:
121.-130. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
121. 
, 
. 12 6. 
122 . 
, 
. 12 7. 
123. 
, 
. 12 8. 
124. 
, 
. 12 9. 
125. , 
. 1 3 0. 
Пример.
а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
.
Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру
Площадь фигуры, ограниченной снизу кривой 
, сверху – кривой 
, вычисляет интеграл 
, где 
и 
- абсциссы точек пересечения этих кривых, причем 
Следовательно, имеем
Дифференциальные уравнения.
131 – 140. Найти общее решение дифференциального уравнения.
131. а). 
; б). 
; в). 
.
132. а). 
; б). 
; в). 
.
133. а). 
; б). 
; в). 
.
134. а). 
; б). 
; в). 
.
135. а). 
; б). 
; в). 
.
136. а). 
; б). 
; в). 
.
137. а). 
; б). 
; в). 
.
138. а). 
; б). 
; в). 
.
139. а). 
; б). 
; в). 
.
140. а). 
; б). 
; в). 
.
Пример.
а) 
.
Данное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Проинтегрируем обе его части:
, получим: 
.
б). 
.
Для решения данного уравнения используем тот факт, что 
. Так как переменные в данном случае разделить нельзя, то выразим 
, отсюда по правилу пропорции получаем:
, или 
.
В данном случае 
; 
.
Следовательно, данное уравнение – однородное. Делаем замену переменной
, 
, 
. После замены получим:
, 
, 
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим: 
, 
.
Интегрируя, находим общее решение
, 
,
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем общий интеграл
.
в). 
.
Данное уравнение линейное. Ищем решение в виде 
, 
.
, 
.
Решаем уравнение. 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляя полученное значение 
в уравнение, имеем:
, 
, 
.
Общее решение 
или 
.
, 
, 
, 
.
141–150. Найти общее решение дифференциального уравнения:
141. а). 
; б). 
; в). 
.
142. а). 
; б). 
; в). 
.
143. а). 
; б). 
; в). 
.
144. а). 
; б). 
; в). 
.
145. а). 
; б). 
; в). 
.
146. а). 
; б). 
; в). 
.
147. а). 
; б). 
; в). 
.
148. а). 
; б). 
; в). 
.
149. а). 
; б). 
; в). 
.
150. а). 
; б). 
; в). 
.
Пример. а). 
.
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
, 
.
Так как корни характеристического уравнения 
действительные, различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид 
, то есть имеем
.
б). 
.
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
.
Так как корни характеристического уравнения 
действительные, одинаковые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид 
, то есть имеем
.
в). 
.
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
. Решим его при помощи вычисления дискриминанта:
. Так как в данном случае 
, то для вычисления квадратного корня 
используем равенство 
. Так как 
(комплексная единица), то в данном случае 
. Таким образом, имеем в данном случае комплексные корни:
.
Так как корни характеристического уравнения 
комплексно-сопряженные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид 
, где 
и 
- соответственно действительная и мнимая части комплексных корней. В данном случае 
. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 342.
