91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
91. . 96.
.
92. . 97.
.
93. . 98.
.
94. . 99.
.
95. . 100.
.
Пример. .
1. Область определения: .
2. ,
, -следовательно, функция не является четной, нечетной, периодической.
3. Исследуем характер точки разрыва и поведение функции вблизи этой точки:
,
.
Таким образом, в точке функция терпит разрыв второго рода, а прямая
является вертикальной асимптотой.
4. Определим уравнение наклонной асимптоты:
, где
,
.
Итак,
- наклонная асимптота.
5. Определим критические точки.
,
при
или
, то есть при
или
, - других критических точек в области определения функции нет. Значения функции в критических точках:
,
.
6. Найдем вторую производную:
.
, следовательно, точек перегиба нет.
7. Внесем все полученные данные в таблицу, определим поведение функции на различных участках и построим график.
x | ![]() | 1 | ![]() | 3 | ![]() | 5 | ![]() |
![]() | + | 0 | - | - | 0 | + | |
![]() | - | - | - | + | + | + | |
![]() ![]() ![]() ![]() | 2 max | 10 min |
Положительные значения первой производной соответствуют промежуткам возрастания, отрицательные – промежуткам убывания. Положительные значения второй производной соответствуют промежуткам вогнутости функции, отрицательные – промежуткам выпуклости. Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, является точкой максимума, а точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием – точкой минимума.
Неопределённый и определённый интегралы
101-110. Найти неопределённые интегралы.
101. а). ; б).
; в).
.
102. а). ; б)
; в).
.
103. а). ; б)
; в).
.
104. а). ; б)
; в).
.
105. а). ; б)
; в).
.
106. а) ; б)
; в)
.
107. а) ; б)
; в)
.
108. а) ; б)
; в)
.
109. а) ; б)
; в)
.
110. а) ; б)
; в)
.
Пример. Найти неопределённые интегралы.
а) ; б)
; в)
.
а) Данный интеграл не является табличным. Поэтому предварительно сделаем элементарные математические преобразования, в данном случае воспользовавшись формулой сокращенного умножения, а потом таблицей интегралов основных элементарных функций, получим:
б) пусть требуется найти интеграл вида , где подынтегральная функция непрерывна. Сделаем замену
, тогда
. Получим
. В найденном интеграле перейдем к прежней переменной
, воспользовавшись равенством
.
.
в) . Имеем интеграл вида
. Применим формулу интегрирования по частям
:
.
1 1 1-1 2 0. Вычислить определенные интегралы
111. а) ; б)
в)
.
112. а) ; б)
; в)
.
113. а) ; б)
в)
.
114. а) ; б)
в)
.
115. а) ; б)
в)
.
116. а) ; б)
в)
.
117. а) ; б)
; в)
.
118. а) ; б)
в)
.
119. а) ; б)
в)
.
120. а) ; б)
в)
.
Пример.
а) . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим этот интеграл:
б) . Вычислим этот интеграл, используя метод замены переменной:
в) . Применяя формулу интегрирования по частям получим:
121.-130. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
121. ,
. 12 6.
122 . ,
. 12 7.
123. ,
. 12 8.
124. ,
. 12 9.
125. ,
. 1 3 0.
Пример.
а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой
.
Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру
Площадь фигуры, ограниченной снизу кривой , сверху – кривой
, вычисляет интеграл
, где
и
- абсциссы точек пересечения этих кривых, причем
Следовательно, имеем
Дифференциальные уравнения.
131 – 140. Найти общее решение дифференциального уравнения.
131. а). ; б).
; в).
.
132. а). ; б).
; в).
.
133. а). ; б).
; в).
.
134. а). ; б).
; в).
.
135. а). ; б).
; в).
.
136. а). ; б).
; в).
.
137. а). ; б).
; в).
.
138. а). ; б).
; в).
.
139. а). ; б).
; в).
.
140. а). ; б).
; в).
.
Пример.
а) .
Данное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Проинтегрируем обе его части:
, получим:
.
б). .
Для решения данного уравнения используем тот факт, что . Так как переменные в данном случае разделить нельзя, то выразим
, отсюда по правилу пропорции получаем:
, или
.
В данном случае ;
.
Следовательно, данное уравнение – однородное. Делаем замену переменной
,
,
. После замены получим:
,
,
.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим: ,
.
Интегрируя, находим общее решение
,
,
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем общий интеграл
.
в). .
Данное уравнение линейное. Ищем решение в виде ,
.
,
.
Решаем уравнение. ,
,
,
,
.
Подставляя полученное значение в уравнение, имеем:
,
,
.
Общее решение или
.
,
,
,
.
141–150. Найти общее решение дифференциального уравнения:
141. а). ; б).
; в).
.
142. а). ; б).
; в).
.
143. а). ; б).
; в).
.
144. а). ; б).
; в).
.
145. а). ; б).
; в).
.
146. а). ; б).
; в).
.
147. а). ; б).
; в).
.
148. а). ; б).
; в).
.
149. а). ; б).
; в).
.
150. а). ; б).
; в).
.
Пример. а). .
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
,
.
Так как корни характеристического уравнения действительные, различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
, то есть имеем
.
б). .
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
.
Так как корни характеристического уравнения действительные, одинаковые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
, то есть имеем
.
в). .
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
. Решим его при помощи вычисления дискриминанта:
. Так как в данном случае
, то для вычисления квадратного корня
используем равенство
. Так как
(комплексная единица), то в данном случае
. Таким образом, имеем в данном случае комплексные корни:
.
Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
, где
и
- соответственно действительная и мнимая части комплексных корней. В данном случае
. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 390.