Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

1-10. Даны координаты вершин треугольника . Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Внутренний угол при вершине A треугольника; 3) Уравнение прямой BC; 4) Уравнение высоты, опущенной из вершины A; 5) Уравнение прямой, проходящей через вершину A, параллельно стороне BC.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Пример.

1) Найдем сначала координаты векторов ,  и . Для этого из координат конца вектора вычитаем координаты его начала:

.

.

.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A и B, A и C, B и C) представляет собой корень из суммы квадратов координат соответствующего вектора:

.

.

.

2) Внутренний угол при вершине A треугольника найдем как угол между сторонами AB и AC треугольника. Этот угол равен углу между векторами  и  и находится по формуле:

.

Тогда ; .

3) Уравнение прямой BC запишем используя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами  и :

.

Подставляя значения координат точек B и C, получим

.

После приведения подобных получим уравнение прямой BC:

.

4) Высота, опущенная из вершины , перпендикулярна стороне . Следовательно скалярное произведение вектора, лежащего на высоте (будем обозначать его ) и вектора  равно нулю. Вектор  имеет координаты , где x и y – координаты произвольной точки, лежащей на высоте. Запишем скалярное произведение :

.

После раскрытия скобок и приведения подобных получим

;

.

Это и есть искомое уравнение высоты.

5) Вектор , параллельный стороне , имеет координаты , где x и y – координаты произвольной точки этого вектора. Из условия параллельности векторов  и  следует . Подставляя в это соотношение координаты соответствующих векторов и приводя подобные получим

;                  ;

;                 .

11-20. Даны координаты вершин пирамиды A₁ A₂ A₃ A₄. Найти: 1) длину ребра A₁ A₂; 2) угол между ребрами A₁ A₂ и A₁ A₄; 3) площадь грани A₁ A₂ A₃; 4) объем пирамиды; 5) уравнение плоскости A₁ A₂ A₃; 6) уравнения прямой A₁ A₄; 7) Угол между ребром A₁ A₄ и гранью A₁ A₂ A₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на плоскость A₁ A₂ A₃.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Пример.

Если точка  - начало вектора, а точка  - его конец, то координаты вектора находятся по формулам

1) Найдем сначала координаты вектора :

.

Модуль вектора (равный расстоянию между точками A₁ и A₂) представляет собой корень из суммы квадратов координат вектора:

.

2) Угол между ребрами A₁ A₂ и A₁ A₄ равен углу между соответствующими векторами и находится по формуле:

, где  - скалярное произведение векторов, записанное в координатной форме.

Координаты вектора  равны:

, .

Тогда ; .

3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид:

.

Подставляя значения координат, вычисляем определитель:

Итак, искомое уравнение плоскости имеет вид

или .

4) Уравнения прямой, проходящей через точки  и , имеет вид

.

Таким образом, получаем искомые уравнения:

.

5) Если даны плоскость  с нормальным вектором  и прямая  с направляющим вектором , то угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

.

Так как , а , то

, .

6) Площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

, где  - векторное произведение векторов.  и .

Так как

,

то

 (кв. ед.).

7) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен одной шестой модуля смешанного произведения этих векторов:

.

Следовательно,

 (куб. ед.)

8) Так как в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку D перпендикулярно плоскости ABC, можно выбрать вектор нормали n к плоскости, то канонические уравнения искомой прямой запишется в виде

.

 

Пример.2. Из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Основаниями перпендикуляров, опущенных из точки P(2;3;-5) на координатные плоскости, служат точки P₁(2;3;0), P₂(2;0;-5) и P₃(0;3;-5). требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, рассмотрим два вектора  и . Они лежат в искомой плоскости, значит,  и . Следовательно,

,

Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) перпендикулярно вектору , имеет вид :

;

.

в) Составить канонические уравнения прямой

Чтобы найти какую – либо точку, принадлежащую прямой, зафиксируем одну переменную, например z, положив z = 0, и решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными

                  

Таким образом, одна из точек, принадлежащих прямой, имеет координаты .

Теперь найдем направляющий вектор прямой. Так как  и , то

.

Канонические уравнения прямой запишутся в виде:

.

 

Элементы линейной алгебры

21-30. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса, Крамера.

21.                    22.  

23.                    24.   

25.             26.

27.                 28.

29.               30.

   Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и Крамера:

Метод Гаусса.

1. Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду, проводя преобразования над строками, позволяющие получить эквивалентную систему (перестановка строк, умножение элементов строк на любое отличное от нуля число, прибавление или вычитание соответствующих элементов строк):

2. Выделяем лидеров строк. Лидер строки - первый ненулевой элемент строки.

3. При необходимости меняем строки в расширенной матрице системы так, чтобы лидер в строке с наименьшим номером был равен 1. (Перестановка строк в расширенной матрице соответствует перестановке уравнений в системе, а, следовательно, при перестановке строк в матрице мы получим эквивалентную систему). Переставим первое и третье уравнение системы.

4. Обнуляем лидеров строк, стоящих в строках с большим номером, воспользовавшись элементарными математическими преобразованиями –умножением строки на число, сложение и вычитание строк. Для этого умножим первую строку на (-1) и складываем со второй строкой, затем необходимо первую строку умножить на (-2) и сложить с третьей строкой.

 

5. После обнуления, снова выделяем лидеров строк.

6. Снова обнуляем лидеров строк стоящих в строках с большим номером.

Умножим вторую строку на (-1/2) и сложим с третьей строкой

                                

7. Привели матрицу к ступенчатому виду.

8. Восстанавливаем по приведенной матрице систему. При этом напомним, что третий столбец соответствует коэффициентам, стоящим при неизвестном , второй - при  и первый -

9. Решаем полученную систему и находим неизвестные.

 

 

Метод Крамера.

 

1. Составляем определитель матрицы системы, который составляют из  коэффициентов системы уравнений. Для этого выписываем коэффициенты: первое уравнение системы имеет при переменной  коэффициент 2, при  - коэффициент – (-4), при  - коэффициент 1.

Записываем все эти коэффициенты в первую строку определителя основной матрицы, коэффициенты второго уравнения во вторую строку и третью соответственно.

.

2. Теперь найдем: ∆ . Для этого первый столбец заменяем столбцом свободных членов.

.

3. Теперь найдем: ∆ . Для этого второй столбец заменяем столбцом свободных членов.

.

4. Аналогично находим ∆ . Для этого третий столбец заменяем столбцом свободных членов.

.

5. Пользуемся формулами для нахождения неизвестных переменных