1. Найти область определения функции.

2. Исследовать четность и периодичность функции.

3. Исследовать критические точки и точки разрыва.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции. y′

6. Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости. y′′

7. Построить график функции.

Пример: Исследовать функцию у = -  и построить график.

Решение.

1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть D( y) = (−∞;+∞) .

Точек разрыва нет

2) Точки пересечения с осями координат: у = -

X = 0, y = -

3) Функция общего вида, так как у = -

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

у^| = -

Находим критические точки: x = 0, x = 2 . Исследуем знак производной на интервалах,

на которые критическая точка делит область определения функции.

 5)Строим таблицу

5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.  

У^{| |} =       x = 1

             +                         -

                                1

Функция выпукла вверх на интервале (1;+∞) , выпукла вниз на интервале (−∞;1) . Точка

перегиба: x =1, y(1) = −0,5 .

6) Строим график функции, отметим ключевые точки:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = f ( x ) на отрезке [ a , b ]

1) Найти производную функции;

2) Найти стационарные и критические точки, лежащие внутри отрезка [a,b];

3) Вычислить значение функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, в точках a и b, выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение функции

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x² - 8x+19 на

  [-1,5]

1)

2) 2x - 8=0

2x = 8

X = 4

У = 5² – 8*5 + 19 = 4 при х = 5

3)

4)

Интегральное исчисление.

Студент должен знать: определение первообразной функции, определенного и неопределенного интеграла, правила интегрирования, основные способы нахождения интегралов, таблицу интегралов, формулу Ньютона - Лейбница.

Уметь находить первообразную функции, применять правила интегрирования и таблицу интегралов при решении интегралов, применять формулу Ньютона – Лейбница при решении определенного интеграла, находить площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

 F ^|(x) = f (x). 

Множество всех первообразных F (x) + c для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом  . Таким образом, по определению:

, где c – const.

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, а сам процесс отыскания множества первообразных F (x) + c – интегрированием. Интегрирование – это восстановление функции по её производной (обратное действие по отношению к дифференцированию).

Достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.