Показательные уравнения — уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

 Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида ax = a b, где a > 0, a ≠ 1, x — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием a > 0, a ≠ 1 равны только тогда, когда равны их показатели.

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Примеры: 1.  Решите уравнение: 3 ^4x-5 = 3^x+4 .

Решение. 3 ^4x-5 = 3^x+4

                        4x - 5 = x+4

               3x=9

                x = 3         Ответ:3

3. Решите неравенство : >  

                                            Х + 3 < - 3

                                            Х< - 6

Ответ: х ε ( - ∞; -6 )

Логарифмическое уравнение – это уравнение вида

log_a b(x) = log_a c(x), где а > 0, a ≠ 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими уравнениями.

Логарифмическое неравенство – это неравенство вида

log_a b(x) > log_a c(x), где а > 0, a ≠ 1.

Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими неравенствами.

Для решения логарифмических неравенств log_a b(x) > log_a c(x) обычно применяют систему неравенств следующего вида:

Примеры: 1. log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение.

x² – 3x – 5 = 7 – 2x

x² – 3x – 5 – 7 + 2x = 0

x² – x – 12 = 0

Решив квадратное уравнение, находим его корни:

x₁ = 4, x₂ = –3.

Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл.

Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x) = c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим два неравенства:

x² – 3x – 5 > 0,

7 – 2x > 0.

При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.

При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.

Ответ: 3

2.    log₃ (2x – 4) > log₃ (14 – x).↑

Решение.

1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств:

│ 2x – 4 > 0
│14 – x > 0
│2x – 4 > 14 – x.

Решаем неравенства и получаем:

│x > 2
│x < 14
│x > 6

ответ: 6 < x < 14. 

4.4 Основные тригонометрические формулы. .

Студент должен знать: тригонометрические формулы, определение простейших тригонометрических уравнений, формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Уметь решать тригонометрические уравнения, пользоваться таблицей значений тригонометрических функций .

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента