Наделение объектов именами позволяет приступить к выявлению сходств и различий между ними. Например, можно обнаружить, что одни студенты более успешны, чем другие, автомобили одних марок быстрее автомобилей других марок, одни блюда вкуснее других и т. д.

В том случае, когда между объектами возможно установление отношений типа «быстрее», «успешнее», «вкуснее», «ярче», «громче», «тверже», «популяр­нее» и др., появляется возможность расположить объекты в порядке возраста­ния или убывания определенного признака. После этого остается наделить упорядоченную последовательность числами таким образом, чтобы, например, большее число соответствовало большей степени выраженности признака. В результате получим шкалу порядка, в которой отношения между числами будут соответствовать отношениям между объектами. Такие шкалы широко ^ используются в повседневной жизни.

Одна из наиболее распространенных шкал порядка — шкала школьной или университетской успеваемости. Чем более успешен студент, тем большее чис­ло в этой шкале ему соответствует. Существуют и другие, столь же широко применяемые шкалы порядка, например шкала твердости минералов Мооса, шкала Бофорта для силы ветра, сейсмические шкалы для оценки силы земле­трясений и др.

В то же время расположение объектов в порядке возрастания определенно­го свойства (например, минералов по твердости) еще не дает ответа на вопрос: на сколько больше? Шкала порядка не позволяет определить «расстояние» между объектами. Об этом особенно необходимо помнить в тех случаях, когда из соображений удобства шкальные значения отделяют друг от друга равные интервалы. Например, четыре студента получили на экзамене оценки 75, 85, 90 и 100 баллов. Оценка второго студента отличается от оценки первого также, как оценка четвертого студента отличается от оценки третьего, — на 10 баллов.

Но из этого не следует, что знания вто­рого студента больше знаний первого на столько же, на сколько знания чет­вертого больше знаний третьего.

Шкала Мооса содержит значения от 1 до 10, но из этого не следует, что гипс (вторая позиция в шкале) тверже таль­ка (первая позиция) на столько, на сколько алмаз (десятая позиция) твер­же корунда (девятая позиция).

Таким образом, выбор чисел, ис­пользуемых в шкале порядка, в извест­ных пределах произволен. Числа могут быть любыми, но они должны подчиняться основному требованию: объекту с большей выраженностью определенного признака должно быть приписано большее число. Так, наши суждения о студентах по результатам экзамена не изменились бы при переходе, например, к шкале оценок от 0 до 50. В любом случае более успевающий студент получил бы более высокую оценку.

Особенности шкалы порядка позволяют определить для нее группу допус­тимых математико-статистических преобразований. Результаты, представлен­ные в шкале порядка, нельзя использовать для пропорций (знания, оцененные на 100, не являются вдвое большими знаний, оцененных на 50). Эти резуль­таты нельзя складывать (знания получившего на экзамене 100 баллов не рав­ны сумме знаний получивших 40 и 60 баллов). Если говорить о мерах цен­тральной тенденции, то из них можно применять только моду и медиану. Вычисление среднего (например, средней успеваемости) является недопус­тимой операцией для шкалы порядка (к сожалению, это требование повсеме­стно нарушается).

Шкалы порядка широко используются в психологии, социальной работе, педагогике и др. Многие непараметрические методы статистики были специ­ально разработаны для шкал порядка. С этими шкалами связана одна из наи­более популярных в непараметрической статистике процедур — процедура ранжирования.

Если какие-либо результаты расположены в порядке возрастания или убы­вания, то можно определить, какое место занимает каждый из них. Ранжи­рование — это процедура определения места, которое должен занять данный результат в упорядоченной последовательности всех результатов.

Часто ранжирование идет по направлению убывания каких-либо значений (например, оценок на экзамене). Тогда первый, наивысший ранг получает об­ладатель наибольшего значения (например, обладатель наивысшей оценки).

Допустим, 11 студентов получили на экзамене следующие оценки³:

³ В Израиле используется 100-балльная шкала академической успеваемости.

Необходимо проранжировать полученные оценки и определить, какое место (ранг) каждая из них занимает. Вначале упорядочим результаты в порядке убывания:

Сейчас определим, какое место (ранг) занимает каждая из них:

Обратите внимание, что «расстояние» между рангами не соответствует «рас­стоянию» между оценками: ранги отстоят друг от друга с постоянным интер­валом 1, а интервал между оценками колеблется от 1 до 4. В этом проявляется та особенность шкалы порядка, о которой мы говорили: в данной шкале мож­но определить порядок следования результатов (этот порядок задается рангами), но нельзя определить, насколько один результат отличается от другого.

Трудности, возникающие в процессе ранжирования, связаны с ситуацией, когда среди значений встречаются повторяющиеся. Это приводит к возникно­вению так называемых связанных рангов.

Например, 11 студентов получили на экзамене следующие оценки:

Как и прежде, необходимо проранжировать полученные оценки и определить ранг каждой из них. Упорядочим результаты в порядке убывания:

Как видно из результатов, оценка 92 повторяется дважды, а оценка 88 — три­жды. При ранжировании ранги совпадающих значений не должны отличаться друг от друга⁴.

⁴ Здесь как в спорте. Если два бегуна показали одинаковый результат, наилучший среди ре­зультатов остальных бегунов, то они делят между собой первое и второе место. Фактически ранг каждого из них равен 1,5.

В том случае, если среди ранжируемых результатов встречаются группы одинаковых значений, ранг внутри каждой из таких групп определяется как среднее арифметическое тех рангов, которые имели бы результаты, будь они отличными друг от друга.

Предположим, что совпадающие результаты немного отличаются друг от друга:

В этом случае проблема ранжирования решается просто:

Найдем среднее арифметическое рангов для искусственно измененных значений:

Вернемся к исходным данным и припишем повторяющимся значениям
одинаковые (связанные) ранги:    

Рассмотрим еще пример.

В таблице 1.5 были приведены значения IQ родителей и их детей.

Проранжируем эти значения и создадим новую таблицу, где вместо значений 10 будут стоять соответствующие ранги.

Поскольку значения IQ родителей уже упорядочены по возрастанию, мож­но сразу приступить к процедуре ранжирования (так как значения IQ упоря­дочены по возрастанию, первый ранг будет приписан наименьшему значению IQ). Среди значений IQ много повторяющихся, поэтому при ранжировании получим много связанных рангов (табл. 2.3).

Таблица 2.3