Расчеты на прочность

Знать распределение нормальных напряжений по сечению бал­ки при чистом изгибе, расчетные формулы и условия прочности.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом m (рис. 32.1а).

При чистом изгибе выполняются ги­ потезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

   Сечения бруса, плоские и перпенди­кулярные продольной оси, после дефор­мации остаются плоскими и перпенди­кулярными продольной оси.

   Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

   Действуют только нормальные на­пряжения.

   Поперечные размеры сечений не ме­няются.

   Продольная ось бруса после дефор­мации изгиба искривляется и образует  дугу

окружности радиуса р (рис. 32.16). Материал подчиняется закону Гука.

   Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.16). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется

                                                                  Тема 2.6. Изгиб                                                                263

слой, в котором нормальные напряжения а равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; р — радиус кривизны ней­трального слоя.

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:                                               

           Формула для расчета нормальных напряжений

При изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

dN — элементарная про­дольная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относитель­но нейтрального слоя.

264                                                    Лекция 32

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

где J_x — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изо­бражена на рис. 32.3.

      По эпюре распределения нор­мальных напряжений видно, что максимальное напряжение возника­ет на поверхности.

      Подставим  в    формулу     напряжения значение     у = у_тах.

                           J x                                                      J x

Отношение ---- принято обозначать W_x : W_x = ----.

yтах                                                  yтах

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

Размерность — мм³.

W_x характеризует влияние формы и размеров сечения на проч­ность при изгибе.

Напряжение    на поверхности  

                                                           Тема 2.6. Изгиб                                                                      265

     Рациональные сечения при изгибе

Определим рациональные сечения при изгибе, для этого срав­ним моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4, вывод формулы в лекции 25) равен 

Осевой момент сопротивления прямо­угольника

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).

Вариант на рис. 32.5b обладает большим сопротивлением изги­бу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен

Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инер­ции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1).

266                                                                          Лекция 32

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжа­тие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг ко­торой совершается изгиб (рис. 32.7).

Пример

Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой пло­щади: двутавра (рис. 32.7г) и круга (рис. 32.7а).

Двутавр № 10 имеет площадь 12 см², осевой момент инерции 198 см⁴, момент сопротивления 39,7 см³.

Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения.

Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямо­угольные, квадратные, круглые и ромбовидные нерациональны (рис. 32.7а, б).

Для материалов, обладающих разной прочностью при растяже­нии и сжатии (хрупкие материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение), выбирают асимметрич­ные сечения тавр, рельс и др.