Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется символическим методом. Сущность символического метода состоит в том, чтобы, используя комплексные числа, перейти от составления и решения интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений к составлению и решению алгебраических уравнений для функций оператора комплексной плоскости.

В курсе электротехники используются следующие формы записи комплексного числа:

а) алгебраическая ;

б) показательная ;

в) тригонометрическая .

Здесь  – действительная часть комплексного числа ;  – мнимая часть комплексного числа ;  – модуль комплексного числа ;  – аргумент комплексного числа ;  – мнимая единица или оператор поворота на угол p / 2=90⁰ (умножение на +j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 90⁰, а умножение на  – к повороту вектора на угол 90⁰ по часовой стрелке).

Комплексное число изображается в системе координат (+1; +j) следующим образом (рис. 2.3):

Рис. 2.3. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости

Действия над комплексными числами.

а) С использованием алгебраической формы записи комплексного числа (пусть =( a₁+ jb₁), =( a₂+ jb₂)):

- сложение: + =(a₁+jb₁)+(a₂+jb₂)=(a₁+a₂)+j(b₁+b₂)= ;

- умножение: × =(a₁+jb₁) × (a₂ +jb₂)=(a₁a₂ – b₁b₂)+j(a₁b₂+a₂b₁)= ;

- деление: ,

где число  – комплексно-сопряженное числу  (отличаются знаком мнимой части). Произведение комплексно-сопряженных чисел – действительное число, равное квадрату их модуля: .

б) С использованием показательной формы комплексного числа (пусть , ): в этом случае удобнее производить операции умножения, деления, возведения в степень, чем в случае использования алгебраической формы.

- умножение: ;

- деление :  ;

- возведение в степень: ;

- извлечение корня:  .

Различные формы записи комплексного числа объединяются между собой при помощи формулы Эйлера:

.

Мгновенное значение синусоидальной функции есть мнимая часть изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на e^{+j wt}:

a(t)=Im [ _m e^{j w t} ] = Im [ A_me^{j( w t + j )} ] = A_msin( w t+ j ).

Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла представлены в таблице 2.1.

 Таблица 2.1

Временная и комплексная записи	Функция	Производная функции	Интеграл от функции
Запись во временной области	a=Amsin( w t+ y )	w Amcos( w t+ y )	cos( w t+ y )
Комплексная функция времени	Amej × ( w t + y )	w Amej × ( w t + y + p / 2)	× Amej × ( w t + y - p /2)
Комплексная амплитуда	m = A m ej y	j w m	m
Комплексное действующее значение	= A m ej y	j w

Например, для тока i, падения напряжения на активном сопротивлении u_R, индуктивности u_L и емкости u_C соответствующие комплексные амплитуды записываются следующим образом:

(здесь стрелка ® означает знак соответствия).