Среднеквадратичное (стандартное) отклонение
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Стандартное отклонение (sх) соответствует квадратному корню из дисперсии. Наряду с дисперсией является одной из наиболее часто используемых мер вариабельности признака.

                                                                           (5.9) 

 

 

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации ( V ) есть отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому значению, выраженное в процентах:

                                                          100%                                       (5.10)

 

Задачи по теме

Задача 5. 1

В психофизиологическом эксперименте регистрировалось время простой сенсомоторной реакции у 50 испытуемых в ответ на звуковой стимул средней интенсивности. Получены следующие значения времени реакции (ВР) в миллисекундах:

Т, мс Т, мс Т, мс Т, мс Т, мс
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 138 180 160 144 169 140 178 134 141 174 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 137 172 143 126 139 130 127 144 125 132 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 136 132 135 142 129 139 156 130 141 175 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 142 164 147 144 131 150 128 143 133 151 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 149 158 145 155 161 148 166 146 128 153

Задание

1. Определить размах вариаций, междуквартильный и полумеждуквартильный размах, среднее отклонение, дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации.

2. Построить обычную и кумулятивную кривые распределения ВР. Определить процентное соотношение частот при нормировании распределения по стандартному отклонению от – 4 до + 4s с шагом в 1s.

3. Определить размах распределения признака в единицах стандартного отклонения.

Задача 5.2

Условие задачи

Проведено тестирование двух групп испытуемых (по 10 человек в каждой) на уровень личностной тревожности (УЛТ) по Спилбергеру. Получены следующие результаты:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
УЛТ1 24 42 29 39 26 37 40 33 44 38
УЛТ2 34 40 26 47 29 31 38 43 45 42

Задание

 Определить средние значения УЛТ, стандартные отклонения и коэффициенты вариаций для каждой группы испытуемых, сравнить их между собой, сделать выводы.

 


РАЗДЕЛ 6.
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН

 

В разделах 3 и 4 были даны основные представления о распределениях переменных величин (моно-, би-, полимодальные и др.). В этих случаях речь шла о характере эмпирических (экспериментальных) распределениях, которые могут иметь весьма разнообразный (зачастую непредсказуемый) характер. Подойдем к данному вопросу с несколько иной стороны. Кроме эмпирических (построенных на основе данных экспериментального исследования) существуют и теоретические распределения. Любое теоретическое распределение представляет собой определенную математическую модель, которой (с определенной долей вероятности) могут соответствовать (или не соответствовать) экспериментальные распределения. Перед психологом достаточно часто возникает проблема сопоставления экспериментального распределения с теоретическим – в плане выбора наиболее адекватного метода математической обработки результатов (см. раздел 7), для прогнозирования вероятности тех или иных событий и т. д. В данной главе будут рассмотрены лишь те виды распределений, с которыми психологам приходится встречаться особенно часто. Особое внимание будет уделено нормальному распределению. Кроме него, будут рассмотрены равномерное, биномиальное распределение и распределение Пуассона.



Нормальное распределение

6. 1. 1. Основные понятия

Нормальное распределение (распределение Гаусса, распределение Муавра – Лапласа) – это распределение значений переменной величины в тех случаях, когда она варьирует случайным образом и не подвержена влиянию какого-либо систематического фактора.

Формула нормального распределения:

                                                               (6.1 а, б)

где: f – теоретическая частота встречаемости значения xi; s – стандартное отклонение; a, b – константы; p » 3,142 (отношение длины окружности к диаметру); e » 2,718 (основание натурального логарифма).

Теоретическое нормальное распределение имеет вид симметричной колоколообразной кривой, которая подчиняется следующим закономерностям:

1. Правая и левая ветви теоретического нормального распределения абсолютно симметричны и как бы зеркально отражают друг друга.

2.  В нормальном распределении основные показатели центральной тенденции (мода, медиана и среднее арифметическое значение) совпадают и соответствуют самой высокой точке (вершине) распределения.

3.  Правая и левая ветви распределения уходят в бесконечность, никогда не соприкасаясь с осью абсцисс. Другими словами, частота (вероятность) встречаемости того или иного значения признака может быть сколь угодно мала, но никогда не равна нулю. В практическом отношении это свойство нормального распределения весьма неудобно, так как погоня за бесконечностью – занятие весьма неблагодарное. Поэтому принято анализировать полученные данные в диапазоне от –4 до +4 стандартных отклонений (теоретически в этот диапазон должно попадать ~ 99,98% экспериментальной выборки). В то же время сужение диапазона до ±3 σ несколько рискованно, так как значения, даваемые «крайними» испытуемыми, могут выпасть из рассмотрения.

При переводе экспериментальных значений в единицы стандартного отклонения может быть использована мера Пирсона z = (xi - )/sх. На рис. 6.1 показаны теоретические частоты встречаемости значений признака (в процентном соотношении) при разбиении диапазона от –4 до +4 s на восемь равных классов (ширина каждого класса соответствует одному стандартному отклонению), а также соответствующие 8-классовому распределению кумулятивные (накопленные) частоты (рис. 6.2). Эти численные значения могут понадобиться для сравнения экспериментально полученного распределения с теоретическим.

 

Рис. 6.1. Кривая нормального распределения

                        »0,1% »2,3% »15,9% »50% »84,1% »97,7% »99,9% »100%

 

Рис. 6.2. Кумулятивная кривая нормального распределения

Кроме 8-классового, иногда используют 16-классовое распределение – в этом случае диапазон от –4 до +4 s разбивают на 16 равных классов с шагом 0,5 стандартных отклонения.

Зная распределение частот в нормальном распределении, можно решить обратную задачу – определить размах (в единицах стандартного отклонения), в который укладывается определенное количество (процент) значений выборочной совокупности. Так, 90% выборки укладываются в пределах ±1,645s; 95% соответствуют ±1,96s; 99% соответствуют ±2,58s; 99,9% укладываются в ±3,29s. Как будет показано далее, эти соотношения имеют большое значение для определения достоверности некоторых статистических выводов при разных уровнях значимости.

Двумерное нормальное распределение можно получить, измеряя две относительно независимые друг от друга переменные. Оно строится в трехмерном пространстве, в координатах f (x, y) и имеет колоколообразный вид.

Как отмечалось ранее, распределения переменных величин, получаемые в эксперименте, имеют определенную степень приближения к теоретическому (нормальному) распределению. В данном случае степень соответствия эмпирического распределения нормальному позволяет определить, насколько случайно или закономерно варьирует тот или иной показатель, подвержен ли он влиянию каких-либо систематических факторов и т. д.

Существует ряд статистических критериев, позволяющих сравнить экспериментально полученное распределение с теоретическим (нормальным). Основными из них являются коэффициент асимметрии, показатель эксцесса, критерий хи-квадрат Пирсона (c2) и критерий l Колмогорова - Смирнова.

6. 1. 2. Коэффициент асимметрии

 Распределение может быть приблизительно симметричным относительно моды либо обладать отрицательной или положительной асимметрией. Положительно асимметричным считается распределение с более крутым левым и более пологим правым крылом, распределение с отрицательной асимметрией, напротив, имеет более пологий левый фронт нарастания и более крутой правый (см. рис. 6.3.).

   Отрицательная      асимметрия,         As < 0   Симметричное распределение,   As = 0 Положительная   асимметрия,   As > 0

Рис. 6.3. Типы асимметрии

 

Рассчитываемый по соответствующим формулам коэффициент асимметрии (As) может быть использован в качестве одного из критериев соответствия экспериментального распределения теоретическому.

Вычисление коэффициента асимметрии:

Коэффициент асимметрии вычисляется по следующей формуле:

                                                                                        (6.2)           

 где zx – мера Пирсона .

При больших выборках (n > 50) можно использовать упрощенную формулу:

                                                                                                    

                                                                                                                (6.3)

 

Соответствие эмпирического распределения нормальному находится по соответствующим таблицам (в нашем приложении – табл. I). При этом эмпирическое распределение считается соответствующим теоретическому (нормальному), если асимметрия при данной выборке не превышает граничного значения.

Пример

 Распределение значений исследуемого признака для выборки в 100 человек обнаружило коэффициент асимметрии As = 0,55.

Вопрос: соответствует ли данное распределение нормальному?

Решение: в табл. I находим, что для n = 100 Asкр. = 0,39 (для b1 = 0,95) и Asкр. = 0,57 (для b1 = 0,95).

 Ответ: распределение статистически достоверно отличается от нормального с вероятностью 0,95, поскольку Asэксп. > Asкр. С вероятностью же 0,99 аналогичного вывода мы сделать не можем (Asэксп. < Asкр.).

Причины асимметрии могут быть различными. Во-первых, это возможное действие побочных однонаправленных факторов. Так, например, в тестах на измерение интеллекта могут преобладать сложные задания, с которыми большинство испытуемых не справляется. Это может явиться причиной положительной асимметрии (центральная тенденция лежит слева от среднего значения). Во-вторых, это ограничение (сверху или снизу) размаха вариаций. Например, при измерении времени сенсомоторной реакции нижний предел реагирования лимитирован физиологическими возможностями субъекта, в то время как верхний жестко не ограничен. Наконец, третьей причиной асимметрии может быть неоднородность выборки (например, если исследование проводится в смешанной группе разного возраста). При этом имеет место наложение друг на друга двух или нескольких разных по численности и сдвинутых относительно друг друга по моде распределений. 

Коэффициент эксцесса

В отличие от коэффициента асимметрии, коэффициент (показатель) эксцесса характеризует компактность или «размытость» распределения, его островершинность или плосковершинность, что связано с разным характером группирования значений переменной вокруг среднего (рис. 6.4).

 

Плосковершинное распределение, Ex < 0   Нормальное распределение,   Ex = 0   Островершинное   распределение,   Ex > 0

Рис. 6.4. Типы эксцесса

Причинами эксцесса могут быть большая или меньшая степень тяготения переменных к центральной тенденции, неоднородность выборки, наложение друг на друга нескольких распределений с одинаковой модой и разной дисперсией и т. д.

Вычисление показателя эксцесса

                                                              (6.4)

Теоретически величина эксцесса может варьировать от – 3 до + ¥. Критерий согласия с нормальным распределением аналогично коэффициенту асимметрии определяется по таблицам граничных значений. Например, для n = 100 и b1 = 0,95 Exкр = 0,83 (см. Приложение, табл. II).

Аналогично определению асимметрии распределение соответствует нормальному (согласуется с нормальным), если Ex < Exкр. При обратном соотношении принято говорить, что по показателю эксцесса эмпирическое распределение статистически достоверно отличается от нормального.

При анализе эмпирического распределения может возникнуть такая ситуация, когда по одному из показателей (асимметрии или эксцессу) распределение соответствует нормальному, по другому же – отличается от него. В этом случае следует использовать следующее правило: если хотя бы по одному из вышеуказанных показателей распределение достоверно отличается от нормального, то следует делать вывод о том, что экспериментальное распределение отличается от теоретического (нормального).

Кроме коэффициента асимметрии и показателя эксцесса, для сравнения экспериментального распределения с теоретическим используют и другие критерии, в частности критерий хи-квадрат и критерий l Колмогорова - Смирнова.

6. 1. 4. Критерий хи-квадрат ( c 2 )

 Критерий хи-квадрат основан на сравнении между собой эмпирических (экспериментальных) частот исследуемого признака и теоретических частот нормального распределения. Для сравнения частот можно пользоваться как 8-классовым, так и 16-классовым распределениями, теоретические частоты которых в интервале от – 4 до + 4 стандартных отклонений даны в приложении (табл. III и IV). В случае необходимости можно вычислять хи-квадрат и по большему числу классов – для этого используют специальные таблицы нормального распределения.

Критерий c2 рассчитывают по следующей формуле:

                                     ,                                   (6.5)    

Где fэ и fт – соответственно, экспериментальные и теоретические частоты в каждом отдельном классе разбиения. Полученное значение сравнивается со стандартным (табличным). Решение о соответствии экспериментального распределения теоретическому принимается, если c2 < χ2кр. при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости. При этом необходимо иметь в виду, что в случае нормального распределения число степеней свободы (n) принимается равным N – 3, где N – число классов (групп разбиения).

Рассмотрим алгоритм вычислений критерия c2 на следующем примере.

Условие задачи

У 100 испытуемых определялся уровень нейротизма по тесту Айзенка. Получены следующие результаты (табл. 6.1):

Таблица 6.1

Нейро-тизм Число испытуе-мых Нейро-тизм Число испытуе-мых Нейро-тизм Число испытуе-мых Нейро-тизм Число испытуе-мых
xi f э xi f э xi f э xi f э
1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 2 3 7 8 9 10 11 12 3 4 6 8 9 7 13 14 15 16 17 18 10 8 9 9 8 6 19 20 21 22 23 24 4 3 1 0 0 0

 

Задание

Определить соответствие экспериментального распределения теоретическому (нормальному) распределению с помощью критерия χ2 Пирсона.

Решение

Задача решается в три этапа:

1.  Определяем среднее значение переменной и ее стандартное отклонение. Поскольку в данном случае мы имеем дело со сгруппированными частотами, то для вычисления среднего арифметического следует использовать следующую формулу (см. раздел 4):

                                                            

Подставляем в формулу значения нейротизма и соответствующие ему частоты из условия задачи:

Стандартное отклонение следует определять по следующей формуле:

        (см. раздел 5)

В нашем случае:

 2. Нормируем полученные результаты в единицах стандартного отклонения с «шагом» в 1σ (8-классовое распределение). Для этого строим шкалу значений в единицах стандартного отклонения от –4 до + 4σ. Далее определяем границы каждого из 8 классов в абсолютных значениях исследуемого показателя (уровней нейротизма). Напомним, что точкой отсчета в данном случае является центральное значение (σх = 0), которому теоретически должны соответствовать основные меры центральной тенденции – мода, медиана и среднее арифметическое значение (см. подраздел 6.1.1). Обозначим среднюю точку значением 13,2 (среднее арифметическое). После этого определяем границы классов в абсолютных единицах (значениях нейротизма), последовательно вычитая из среднего (слева от нулевой точки) или добавляя к среднему (справа от нее) величину стандартного отклонения (σх = 3,8). Наконец, подсчитываем частоты (число испытуемых) в каждом из классов и разносим полученные значения по классам теоретического распределения. Для большей наглядности можно представить результаты в виде следующей схемы:

 – 4 σ      – 3 σ     – 2 σ      – σ         0           σ         2 σ        3 σ       4 σ

-2,0       1,8        5,6       9,4       13,2       17,0      20,8     24,6       28,4

 

3. Составляем таблицу для вычисления критерия χ2  Пирсона (см. табл. 6.2). В столбце 1 обозначаем классы распределения (в единицах стандартного отклонения, в столбце 2 – подсчитанные нами экспериментальные частоты в каждом классе, в столбце 3 – теоретические частоты в процентном соотношении (см. табл. III Приложения). Столбец 4 служит для попарного сопоставления экспериментальных и теоретических частот: для этого следует использовать формулу

 

Таблица 6.2

Границы класса

Частоты

  f э f т
1 2 3 4
– 4 σ ÷ – 3 σ – 3 σ ÷ – 2 σ – 2 ÷ – σ – σ ÷ 0 0 ÷ σ σ ÷ 2 σ 2 ÷ 3 σ 3 ÷ 4 σ 0 2 16 34 30 17 1 0 0,13 2,15 13,59 34,13 34,13 13,59 2,15 0,13 0,13 0,01 0,43 0 0,50 0,86 0,62 0,13

Критерий χ2 вычисляется как сумма значений в столбце 4 таблицы. Проводим соответствующие вычисления:

В табл. VI Приложения находим стандартные (критические) значения χ2. Напомним, что для 8-классового распределения (N = 8) число степеней свободы ν = N – 3 = 5. При этом стандартные значения χ2ст. для двух уровней значимости составляют, соответственно, 11,070 (β1 = 0,95) и 15,086 (β2 = 0,99).    

Вывод

Для двух стандартных уровней значимости χ2 < χ2ст., следовательно, по критерию χ2 Пирсона экспериментальное распределение статистически не отличается от теоретического (нормального) распределения или, другими словами, соответствует последнему. Данный вывод можно считать справедливым для уровня значимости 0,99.

Примечания

1. Если по каким-либо причинам результаты анализа не удовлетворяют исследователя (например, χ2 ≈ χ2ст.), можно воспользоваться таблицей 16-классового распределения (см. Приложение, табл. IV). В данном случае диапазон вариаций также составляет –4 ÷ +4σ, но ширина каждого класса вдвое меньше (0,5 стандартного отклонения). Кроме того, следует учесть, что при сравнении экспериментального значения хи-квадрат с критическим число степеней свободы в данном случае составляет N – 3 = 13.

2. Необходимо помнить о том, что теоретические частоты в табл. III и IV Приложения рассчитаны в процентном соотношении. При решении задачи анализа распределения испытуемых по уровню нейротизма объем выборки составлял 100 человек, поэтому никаких дополнительных преобразований не требовалось. В том же случае, когда n ≠ 100, необходимо уравнять частоты. При этом необходимо соблюдать правило, согласно которому экспериментальные частоты должны быть приведены к теоретическим (но не наоборот). Например, если n = 200, то экспериментальную частоту в каждом классе следует разделить на 2, если n = 50, то умножить на 2, а если, предположим, n = 52, то необходимо каждую экспериментальную частоту умножить на пересчетный коэффициент (в данном случае k = 100:52 = 1,923). 

Дата: 2018-11-18, просмотров: 317.