Среднее арифметическое значение, или просто среднее ( ), равно сумме переменных, деленной на их число.

Для несгруппированных переменных среднее арифметическое вычисляется по формуле:

                                                                                        (4.1)                         

Для сгруппированных переменных можно воспользоваться другой формулой – среднее будет соответствовать сумме произведений средних значений каждого класса и частоты встречаемости значения признака в данном классе:

                                                                 (4.2)

Среднее арифметическое может использоваться и для тех признаков, для которых не найден способ количественного измерения (шкала порядка). Для этого в качестве x_i используются ранговые числа, а среднее принято называть непараметрическим средним.

Взвешенное среднее арифметическое используется в тех случаях, когда разные составляющие имеют разный «удельный вес» в формировании общей совокупности:

                                                                (4.3)

                                          или:                                     (4.4)

где n – объем выборки, N – число классов.

Пример

Средний балл аттестата учащихся выпускных классов одной из школ соответствует следующим значениям: 11-а – 4,2; 11-б – 4,0 и 11-в – 3,8. Численность этих классов составляет: 11-а – 25 человек, 11-б – 28 и 11-в – 32 человека. В данном случае средний балл аттестата по всем выпускным классам составит (4,2 × 25 + 4,0 × 28 + 3,8 × 32) : (25 + 28 + 32) = 3,98.

 Среднее принято округлять с точностью до знака, следующего за последним знаком x_i (увеличение точности на порядок).

Свойства среднего

1. Сумма всех отклонений от среднего значения равна нулю:

Доказательство:

поскольку `  

2. Если константу с прибавить к каждому значению, то среднее  превратится в  

Доказательство:

3. Если каждое значение множества со средним  умножить на константу c, то среднее станет равным

Доказательство:

4. Сумма квадратов отклонений значений от их среднего арифметического меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки:  (при условии, что b ¹ ` x ).

Доказательство: где

Примем  Тогда:

поскольку

Так как c² > 0, то:                     

4. 4. Среднее геометрическое значение

Среднее геометрическое значение (x_g) используется для вычисления центральной тенденции при прогрессивно возрастающих квантилях (когда распределение значений переменной имеет выраженную положительную (правостороннюю) асимметрию).

Формула среднего геометрического:

                                                        (4.5)

Для вычислений можно использовать логарифмирование каждой переменной по основанию е:

                                                                                                        (4.6)                                                                                                                                      

Переход от ln x_g  к x_g осуществляется с помощью операции антилогарифмирования:

                                                  (4.7)

Задачи по теме

Задача 4.1

Условие задачи

У 50 школьников выпускных классов исследовался коэффициент интеллекта (IQ). Получен следующий вариационный ряд (см. табл.).

Задание

1. Построить ранжированный ряд IQ.

2. Построить таблицу сгруппированных частот для 7 ¸ 8-классового распределения.

3. Построить графическое выражение IQ в виде полигона распределения или столбчатой диаграммы.

4. Определить 1-й, 2-й и 3-й квартили, моду, медиану и среднее арифметическое значение коэффициента интеллектуальности для выборки в 50 испытуемых.

Задача 4.2

Условие задачи

В трех выпускных классах средней школы подсчитывался средний балл успеваемости. Получены следующие результаты:

Задание

 Вычислить средний балл успеваемости у девочек и мальчиков всех выпускных классов.

Задача 4. 3

Имеется следующая совокупность экспериментальных данных: 1,00; 1,26; 1,58; 2,00; 2,51; 3,16; 3,98; 5,01; 6,31; 7,94.

Задание

 Вычислить среднее геометрическое значение данной совокупности двумя способами:

а) вычислением произведения значений и возведения в соответствующую степень;

б) путем логарифмирования по основанию e.

РАЗДЕЛ 5.
МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ (РАЗНООБРАЗИЯ, ВАРИАТИВНОСТИ) исследуемого ПРИЗНАКА

Две выборочные совокупности могут иметь одинаковые или близкие между собой средние значения признака и в то же время существенно различаться по степени вариабельности (вариативности) этого признака.

Например, имеется две группы испытуемых (по 100 человек в каждой), у которых исследуется коэффициент интеллекта (IQ). Средние значения IQ в той и другой группе могут приблизительно совпадать (допустим, IQ₁ = 102 и IQ₂ = 97), и констатация этого факта даст нам очень немного информации. В то же время известно, что индивидуальные значения в первой группе испытуемых изменяются от 85 до 116, а во второй от 60 до 135. На основании этого мы можем сказать, что вторая выборка обладает большим разнообразием признака по сравнению с первой.

Для определения степени разнообразия (изменчивости) исследуемого параметра используются различные критерии: пределы разнообразия, размах вариаций, среднее и стандартное отклонения, дисперсия, коэффициент вариации и др.