В развитии теории общего равновесия в XX в. можно, хотя и с определенными оговорками, выделить два направления. Первое, которое условно можно назвать микроэкономическим, связано с именами А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хикса, М. Алле, К. Эрроу и Ж. Дебре . Исследования в рамках данного направления сконцентрировались вокруг различных аспектов проблемы существования равновесия; наиболее заметные достижения были сделаны в период с конца 20-х до начала 60-х годов.
Второе направление - условно макроэкономическое - возникло под влиянием общего интереса к макроэкономическим проблемам и прежде всего к проблемам безработицы и денег, анализ которых неразрывно связан с важнейшей для представителей этого направления методологической проблемой - соотношение между макро- и микроподходами. Называя тех, кто внес вклад в развитие этого направления, безусловно, следовало бы начать с Дж.М. Кейнса, который, хотя и являлся в определенном смысле ниспровергателем равновесного подхода, предопределил проблематику будущих исследований, в том числе и в области теории равновесия. Среди ученых, которых можно отнести к данному направлению, следует назвать О. Ланге, Д. Патинкина, Р. Клауэра, Р. Бэрроу, Г. Гроссмана. Между указанными направлениями пролегает некоторая область общих интересов, связанная с проблемами неопределенности, ожиданий, ограниченности информации и т.д.
Строгий анализ общего равновесия начал А. Вальд. В серии статей, наиболее известная из которых была опубликована в 1936 г. , он дал строгое определение равновесия и математически доказал существование конкурентного равновесия для некоторых моделей. Иными словами, он показал, что при некоторых условиях в системе типа Вальраса существует такой вектор неотрицательных цен, что равенство спроса и предложения, которое устанавливается в результате действий производителей и потребителей, максимизирующих свои целевые функции, исходя из этих цен, определит именно эти цены.
Вальд также попытался исследовать проблему единственности решения и выдвинул в качестве альтернативных условий существования слабую аксиому о выявленных предпочтениях для рыночных функций спроса (суммы индивидуальных функций спроса для каждого товара) и условие валовой субституции всех товаров (т.е. dEi/dpj > 0 для всех i¹j). Оба эти условия стали центральной темой всех последующих работ в данной области. Доказательство достаточности последнего условия было предложено в 1943 г. М. Алле.
Другим заметным достижением этого периода было доказательство существования равновесной траектории для пропорцией ширяющейся экономики, предложенное в 1937 г. Дж. фон Нейманом. Эта работа замечательна не только тем, что понятие равновесия в ней было использовано применительно к изменяющейся экономике, но и тем, что впервые при доказательстве существования равное использован инструментарий теории игр. Тем самым был о альянс теории общего равновесия и теории игр, основанный, факте (который, однако, был строго доказан значительно позже), что модель типа Вальраса можно трактовать как игру, а следователе иск равновесия есть не что иное, как нахождение решенияигры.
В экономике существуют два товара, которые создаются в ходе двух производственных процессов и полностью в них потребляются (отсутствует конечное потребление). Каждый производственных процесс характеризуется определенным уровнем интенсивно коэффициенты затрат и выпуска соответствуют единичному уровню его интенсивности.
Условия сбалансированности задаются следующим образом.
Для каждого товара агрегированный выпуск должен быть не меньше, чем затраты, необходимые, чтобы процесс продолжался в следующем периоде в расширенном масштабе:
(I)
b11X1 + b12X2 ³(1+g)(a11X1+a12X2),
b21X1+b22X2³ (l+g)(a21X1+a22X2 ),
где aij - затраты i-го товара в процессе j на единицу выпуска, bij - выпуск товара i в процессе. j на единицу затрат, Xj – интенсивноcть процесса j, g - темпы роста, r -процент.
Для каждого производственного процесса издержки с учете цента должны быть не меньше, чем получаемый доход, так как в противном случае соответствующий процесс расширяется, вызывая изменение структуры цен
(II)
(1 + r)(a11p1 + a21p2) ³ b11p1 + b21р2,
(1 + r)(а12p1 + a22p2) ³ b12p1 + b22p2.
Вопрос в том, существуют ли интенсивность производственных процессов, уровень цен, процента и темп роста, удовлетворяющие двум группам условий, и каково их экономическое содержание?
Нейман доказал, что при некоторых условиях решение существует причем максимально возможный темп роста равен минимально допустимому проценту, т.е. max g = min r.
Это означает, что если выбран некий g, и для некоторых товаров условия (I) нарушаются, то требуется уменьшать g до тех пор, пока для всех товаров эти условия не будут выполняться, причем для какого-то (одного или нескольких товаров) как равенство. Этот товар (или несколько товаров) и будет экономическим, т.е. иметь положительную цену. Темп роста производства будет в этом случае максимальным из возможных.
Если r зафиксирован на очень низком уровне, многие процессы оказываются прибыльными - условия (II) нарушаются. Повышая r, можно добиться ситуации, когда для всех процессов условия будут выполняться, причем по крайней мере для одного процесса - как равенство. Определенный в этом равенстве r и будет минимальным из допустимых.
Нейман показал, что модель расширяющейся экономики может трактоваться как игра двух участников с нулевой суммой, один из участников которой максимизирует выигрыш - темп роста экономики при ограничениях на предложение, а другой - минимизирует проигрыш - процент при ограничениях на прибыль. Он доказал, что при некоторых условиях существует седловая точка (решение) такой игры, характеризующаяся равенством значений обеих целевых функций - темпа роста и процента. Это и есть точка равновесия, задающая траекторию сбалансированного роста.
Полученный фон Нейманом результат позволяет осознать важный аспект равновесия, который не был выявлен в модели Вальраса, а именно: равновесие - это максимум выпуска в денежном выражении и минимум доходов факторов. Этот вывод представляет собой выраженное другим языком утверждение Смита о равенстве стоимости произведенной продукции и суммы доходов в экономике.
Теория игр открыла новые способы доказательства существования равновесия в моделях типа Вальраса и анализа ситуаций, которые традиционный равновесный подход исключал из рассмотрения. Начав с простого случая так называемых антагонистических игр с Двумя участниками, когда проигрыш одного является выигрышем Другого, теория игр постепенно перешла к анализу более сложных ситуаций - неантагонистических игр с п участниками. Применительно к миру экономики это, в частности, означает отказ от идеи, согласно которой цены на рынке не зависят от поведения отдельного участника. Иными словами, игровой подход позволяет перейти мира атомизированных и не влияющих на рынок индивидом реалистичной ситуации, когда от каждого участника зависит рыночная ситуация, например, как в случае олигополии.
Важную роль в совершенствовании методов доказательств существования равновесия сыграла теорема Какутани о неподвижна (1941), которая, в частности, позволила предложить элегантна иллюстрацию процесса «tatonnement» на языке современной математики .
В середине 50-х годов, основываясь на этой теореме, а также используя достижения в области линейного программирования, ученых и прежде всего нобелевские лауреаты К. Эрроу (1972) и Ж. Дебре (1983) предложили более простые и общие, чем у Вальда, теоремы существования единственного и экономически значимого решения модели Вальраса. Модель Эрроу-Дебре (1954) является классической в области современной теории общего равновесия . Она представляет собой модифицированный вариант модели Вальрас в которую включено множество производственных возможностей то фиксированных производственных коэффициентов, а вместо функций полезности, обладающих хорошими свойствами, введены функции предпочтения.
В модели Эрроу-Дебре фирмы трансформируют затрат» пуск, причем кривые трансформации выпуклы, отсутствуете экономия на масштабах; домашние хозяйства предлагают труд и потребляют положительное количество товаров; их выбор определен функцией полезности, у которых кривые безразличия выпуклы; у домашниххозяйств есть положительное количество каждого товара и они претендуют на некоторую долю прибыли.
При этих предпосылках они доказали, что существует конкурентное равновесие, которое они определили следующим образом:
максимум прибыли при заданных ценах;
максимум полезности при заданных ценах и долях в прибылях;
цены неотрицательны;
если существует избыточное предложение товара, его цена нулю.
Пои доказательстве теоремы Эрроу и Дебре использовали теорему Нэша о решении игры с п участниками и показали эквивалент-ость понятий конкурентного равновесия и равновесия игры с п участниками.
Существовали и несколько иные подходы к доказательству равновесия в модели Вальраса. Так, Л. Маккензи использовал при доказательстве теоремы Эрроу-Дебре теорему о неподвижной точке и, что особенно важно, предложил достаточно простую интерпретацию процесса поиска равновесия, использовав идею единичного симплекса как пространства допустимых векторов цен . Процесс поиска равновесных цен он трактовал как отображение множества цен в себя, причем процесс отображения проходит промежуточную стадию отображения цен в количества. Таким образом, процедура отображения становится интерпретацией процесса «tatonnement», неподвижная точка - точкой равновесия, а ее координаты - ценами равновесия.
История проблемы существования равновесия достигла своей кульминации, когда в 1959 г. Ж, Дебре опубликовал итоговую работу «Теория стоимости» , где с учетом всего сделанного ранее не только была изложена аксиоматика системы общего равновесия и было предложено доказательство существования равновесия, но и были представлены доказанные в 1951 г. Дебре и Эрроу теоремы благосостояния, устанавливающие (однозначное) соответствие между конкурентным равновесием и оптимумом по Парето. Последние выводят проблему равновесия в новое измерение, затрагивающее этические основы теории равновесия (см. гл. 14).
Наряду и порой параллельно с исследованием проблемы существования и сопряженного с ней широкого круга проблем развивался и анализ проблемы устойчивости. Существование равновесия ничего не говорит о поведении системы, т.е. о ее динамических свойствах. Поэтому проблема устойчивости неотделима от проблемы динамики. В самом общем виде устойчивость ассоциируется с «притяжением» системы к некоторому состоянию или траектории. Самое общее математическое определение устойчивости гласит: «Линия поведения системы называется устойчивой, если, начавшись внутри этой области, она никогда ее не покидает». Очевидно, что конкретизация этого определения может быть различной.
Дж. Хикс, П. Самуэльсон, К. Эрроу, Ф; Хан, Т Негиши, Л. Маккензи, X. Узава - вот неполный перечень тех, кто в разное время следовал проблему устойчивости равновесия. Но начало положили в 30-е годы Дж. Хикс и П. Самуэльсон .
Хикс предложил критерий устойчивости, представлявши существу, попытку формально выразить соображения, котором высказывались в связи с процессом «tatonnement», а именно что увеличение цены данного товара должно вызывать уменьшение избыточного спроса на него, причем этот прямой эффект сильнее возможного вторичного эффекта, связанного с косвенным влиянием цен других товаров, изменение которых было порождено изменением спроса на них в результате изменения цены исходного товара. Хикс сосредоточил внимание на матрице, составленной из частных производных функций избыточного спроса, и пришел к выводу, что главные миноры этой матрицы должны иметь меняющиеся знаки, причем первый минор должен быть отрицательным.
Позже Самуэльсон показал, что критерий Хикса в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным. Он подвергнут критике хиксианское представление об устойчивости на том основана оно определено по аналогии со случаем одного рынка, и пред собственный подход к анализу устойчивости. Самуэльсон исход представления об устойчивости как о «притяжении» к некоторой точке, т.е. понимал ее как свойство системы возвращаться к равновесной траектории после изменения исходных условий. Он обрат динамическим характеристикам процесса «tatonnement», а именно к зависимости, связывающей скорость изменения цены товара и. чины избыточного спроса на него. Для наиболее простого случая -когда эта зависимость линейна, т.е. может быть представлен dp/dt == с (А + Вр), где А и В -матрицы коэффициентов, р - вектор цен, он показал, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является то, что действительные части характеристических чисел матрицы В отрицательны . Для случая одного рынка это условие эквивалентно условию Хикса.
В конце 50-х годов, используя иные методы анализа, Эрроу другие экономисты-математики сформулировали следующие альтернативные достаточные условия устойчивости: все товары - субституты; рынки удовлетворяют слабой аксиоме о выявленных предпочтениях; якобиан (т.е. определитель матрицы, составленной из частных производных функций избыточного спроса) имеет доминантную диагональ элементы которой отрицательны. Последнее условие, очевидно, не что иное, как утверждение о том, что увеличение цены данного товара ведет к уменьшению спроса на него, независимо от воздействия других цен.
Дискуссии, о которых шла речь выше, строго говоря, касались математической стороны теории общего равновесия, экономическая интерпретация полученных результатов часто оказывалась достаточно затруднительной. В этом смысле более экономически содержательными были исследования в рамках того направления, которое выше было обозначено как макроэкономическое.

К списку этих знаменитых экономистов, среди которых пять лауреатов Нобелевской премии, можно добавить Г. фон Штакельберга, Г. Нейзера плодотворно работавших в этой области в 30-е годы.

Wald A. Uber einige Gleichungssysteme der mathematischen Okonomie// eitschrift fur Nationalokonomie 1936, 7(5).

Идея выявленных предпочтений принадлежит Самуэльсону и связана с попыткой обойтись без явного задания функции полезности и построить теорию спроса на основе простого наблюдения поведения потребителя. Базис-1И постулат - слабая аксиома выявленных предпочтений. Суть ее состоит в м, что если потребитель, располагающий некоторым доходом, при некото-цен ^''^P® цен предпочел набор товаров А набору В, то и при другом векторе он выберет набор А, если только будет в состоянии его приобрести.

Упрощенный вариант модели фон Неймана представлен Niehans J. A History of Economic Theory. Classic Contributions. 17" Baltimore, L., 1990. P. 401-403.

Суть этой теоремы состоит в следующем: если к компактному и выпуклому множеству применяется полунепрерывное сверху точечное отображение этого множества в себя, то по крайней мере одна точка этого множества останется неподвижной, т.е. совпадет со своим отображением. Очевидно, что именно эта неподвижная точка и будет точкой равновесия.

Arrow К ., Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Comfi Economy//Econometrica. 1954. Vol. 22. № 2.

Использовать единичный симплекс возможно, поскольку у Вальраса функции спроса однородны нулевой степени от цен, т.е. множитель при ценах может быть вынесен. Если каждую цену разделить на сумму всех цен, то лученные векторы цен будут находиться внутри единичного симплекса.

Debreu G. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. New Haven, 1959.

См.: Хикс Дж. Стоимость и капитал. М., 1988. Гл. 5 и Приложение к ней; Samuelson P. The Stability of Equilibrium: Linear and Non-Linear SySff Econometrica. 1942. Vol. 10. January. The Relation Between Hicksian Stabil True Dynamic Stability // Econometrica. 1944. Vol. 12. July-October.

Характеристические корни матрицы [aij] - корни уравнения степени п от х, полученного для определителя матрицы [А - х1,где 1- единичная матрица.