Постановка всякой задачи многокритериального выбора включает

· множество возможных решений

· векторный критерий  вида (27)

· отношение предпочтения .

Само ЛПР в постановку задачи многокритериального выбора не включено. В этом нет необходимости. Подразумевается, что все его устремления, вкусы, пристрастия и предпочтения, оказывающие влияние на процесс выбора, «материализованы» в терминах векторного критерия и отношения предпочтения.

Как указано выше, решение задачи многокритериального выбора заключается в отыскании множества оптимальных решений . Выясним, каким образом сведения об отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора.

Рассмотрим два произвольных возможных решения  и . Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:

· справедливо соотношение , а соотношение  не выполняется;

· справедливо соотношение , а соотношение  не выполняется;

· не выполняется ни соотношение , ни соотношение .

Следует заметить, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения  и  выполняются, невозможен, поскольку из этих соотношений благодаря транзитивности отношения  сразу вытекает противоречие .

При выполнении соотношения  (т.е. в первом случае) говорят, что решение  доминирует решение , или что  доминируется решением .

Вернемся к задаче выбора. Если из двух возможных решений одно доминируется другим, то, очевидно, доминируемое решение не может оказаться выбранным, оптимальным. Таким образом, всякое доминируемое решение можно исключить из списка решений, претендующих на роль оптимальных.

Исключение всех доминируемых решений приводит к множеству, которое носит специальное название и играет важную роль в принятии решений.

Множество недоминируемых решений определяется равенством

не существует , такого, что .

Поскольку удаление доминируемых решений из множества возможных решений не приводит к потере ни одного оптимального решения, то имеет место включение

.                                                                                               (28)

Включение (28) показывает, что выбор оптимальных решений следует производить только среди недоминируемых решений.

4.21 Множество Парето^[1]

Вернемся к задаче многокритериального выбора. В ней кроме множества возможных решений  и отношения предпочтения  присутствует также векторный критерий . Компонента  векторного критерия характеризует определенную цель ЛПР, а стремление достичь этой цели в математических терминах выражается в максимизации или минимизации этой компоненты на множестве . Для определенности всюду далее будем считать, что ЛПР заинтересовано в получении по возможности бóльших значений каждой компоненты  векторного критерия[2].

Выбрав произвольное возможное решение  и вычислив значение векторного критерия  на этом решении, получим набор  чисел, образующий векторную оценку  данного решения . Таким образом, каждое возможное решение имеет свою собственную векторную оценку.

Теперь рассмотрим два произвольных возможных решения  и  вместе с соответствующими им оценками  и . Допустим, что эти оценки связаны соотношением

,                                                                                               (29)

которое означает справедливость покомпонентных неравенств ³  для всех номеров , причем , т.е. хотя бы для одного номера  верно строгое неравенство > .

Выполнение неравенства (29) означает, что по всем компонентам первая векторная оценка «не хуже» (точнее говоря, не меньше) второй векторной оценки, причем, по крайней мере, какая-та одна компонента первой оценки «лучше» (строго больше) соответствующей компоненты второй оценки. Поскольку, как принято выше, ЛПР заинтересовано в достижении максимального возможного значения по каждому критерию, то в имеющейся ситуации ЛПР из двух представленных ему на выбор решений  и  явно выберет первое.

Иначе говоря, стремление ЛПР максимизировать каждую компоненту векторного критерия можно выразить в терминах следующего требования: отношение предпочтения  и векторный критерий  подчиняются аксиоме Парето, т.е. всякий раз из выполнения неравенства (29) следует справедливость соотношения :

.

Если для некоторой пары возможных решений выполняется неравенство (29), то благодаря аксиоме Парето первое решение будет предпочтительнее второго. Значит, второе решение ни при каких обстоятельствах не окажется оптимальным и его можно исключить из последующего процесса выбора. Исключение всех подобного рода решений приводит к множеству Парето.

Множество парето-оптимальных решений обозначается  и определяется равенством

 =  не существует , такого, что .

Установим теперь взаимосвязь между недоминируемыми и парето-оптимальными решениями. Если решение  не является парето-оптимальным, то для некоторого возможного решения  выполнено неравенство (3). Согласно аксиоме Парето отсюда следует, что , а значит,  – доминируемое решение. Таким образом, всякое решение, не являющееся парето-оптимальным, – доминируемое. Отсюда следует, любое недоминируемое решение должно быть парето-оптимальным. На теоретико-множественном языке этот факт можно выразить в виде включения . С учетом (28) отсюда получаем следующую связь между введенными выше множествами:

.                                                                       (30)

В результате формализации конкретных практических задач выбора становятся известными множество возможных решений  и векторный критерий . Знание векторного критерия и множества возможных решений позволяет найти множество Парето (решений и/или оценок). К настоящему времени свойства множества Парето изучены достаточно подробно, разработаны методы и алгоритмы его построения и все специалисты в области принятия решений единодушно полагают, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.

Из рассмотрения простых примеров следует, что множество парето-оптимальных решений в одном крайнем случае может состоять из одного-единственного элемента, а в другом – каждое возможное решение будет парето-оптимальным. Если парето-оптимальное решение единственно, то в такой задаче оптимальным может быть только это парето-оптимальное решение. В общем случае, чем ýже множество Парето, тем более простым представляется последующее нахождение множества . Однако, практика показывает, что в реальных задачах множество Парето оказывается достаточно широким и его построение полностью не решает задачу принятия решений. Необходимы методы, которые позволили бы сузить область дальнейшего поиска оптимальных решений. Именно такого рода метод разработан в рамках теории относительной важности критериев.