Передаточная функция замкнутой скорректированной системы «вход – выход ДОС»:
. (2.56)
Передаточная функция замкнутой скорректированной системы «вход–ошибка системы» определяется согласно выражению:
, (2.57)
Запишем передаточную функцию скорректированной системы по ошибке:
, (2.58)
Точность системы можно определить по коэффициентам ошибок (КО). Коэффициенты ошибок характеризуют влияние каждой производной входного сигнала на вынужденную составляющую ошибки системы.
Вычислим коэффициенты ошибок по формуле:
. (2.59)
Запишем формулы для КО 
, 
и 
:
, (2.60)
, (2.61)
. (2.62)
Равенство нулю первого коэффициента ошибок свидетельствует о том, что исследуемая САР имеет первый порядок астатизма.
Найденные значения коэффициентов ошибок зависят от коэффициента усиления разомкнутой системы. Кроме того, коэффициенты ошибок более высокого порядка также будут зависеть от коэффициента усиления разомкнутой системы. Следует заметить, что характер зависимости – обратный. Следовательно, эффективный способ повышения точности системы – увеличение коэффициента передачи разомкнутого контура.
Реакции САР по ошибке
Рассмотрим подачу линейного сигнала на вход САР.
Входной сигнал с постоянной скоростью и его изображение по Лапласу имеют соответственно вид:
х(t) = а × t, (2.63)
(2.64)
где а = 11 В/с – заданное в техническом задании значение скорости.
Реакцию системы на сигнал с постоянной скоростью по выходу ошибки определим как оригинал от изображения Лапласа:
. (2.65)
Вынужденную составляющую ошибки, определим по формуле:
(2.66)
где , , 
– коэффициенты ошибок, найденные выше.
Таким образом, получим
(2.67)
График реакции САР по ошибке e (t) на линейный входной сигнал и график вынужденной реакции 
приведены на рисунке 2.12.
Рисунок 2.12 - Графики 
и 
при линейном входном сигнале
При воздействии на систему линейного сигнала, переходная составляющая ошибки с течением времени затухает, следовательно, 
при 
. Ошибка устанавливается в постоянное значение.
Рассмотрим подачу квадратичного сигнала на вход САР.
Входной сигнал с постоянным ускорением имеет соответственно вид:
х(t) = а × t+b∙t2, (2.68)
где а = 11 В/с , b=30 B/c – заданное в техническом задании значение.
Вынужденную составляющую ошибки, определим по формуле:
(2.69)
где 
, 
, 
– коэффициенты ошибок, найденные выше.
Таким образом, получим
. (2.70)
График реакции САР по ошибке e (t) на квадратичный входной сигнал и график вынужденной реакции 
приведены на рисунке 2.13.
Рисунок 2.13 - Реакция САР по ошибке e (t) на квадратичный
входной сигнал и график вынужденной реакции 
Из рисунка 2.13 видно, что при квадратичном входном сигнале ошибка в системе в установившемся режиме постоянно возрастает, поэтому применение данной системы при квадратичном входном воздействии невозможно.
Область устойчивости
При расчете и проектировании САУ необходимо исследовать влияние её различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, то есть определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.
Рассмотрим постановку задачи построения области устойчивости.
Для проектируемой САР необходимо в плоскости параметров системы 
построить область устойчивости. Граница этой области соответствует нахождению системы на границе устойчивости. Точки, находящиеся внутри области, соответствуют устойчивости рассматриваемой САР.
Построение областей устойчивости возможно с помощью любого из критериев устойчивости. Для построения области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения.
Метод D-разбиения заключается в разделении n-мерного пространства параметров на области, каждой из которых соответствует определенное число правых корней характеристического уравнения. Область, которой соответствует ноль правых корней, является областью устойчивости.
Построим область устойчивости в плоскости 
и 
.
Характеристический полином системы имеет вид:
, (2.71)
где 
.
(2.72)
Определим основные формулы для построения границ области устойчивости.
Подставим в выражение (2.72) 
:
Уравнение (2.72) будет выполнено, при условии, что действительная и мнимая части равны нулю, то есть данное уравнение можно записать через систему уравнений:
(2.73)
где
,
,
,
,
.
Решим полученную систему уравнений методом Крамера:
(2.74)
(2.75)
(2.76)
, (2.77)
. (2.78)
В итоге мы получили параметрическое уравнение (параметр – ω) для основной границы D-разбиения.
Построим зависимости (2.77) и (2.78). Из рисунка 2.14 видно, что при возрастании частоты 
асимптотически стремиться к нулю, а 
– к бесконечности.
Рисунок 2.14 – График зависимости 
и 
Основная граница области D-разбиения отмечается 2-х кратной штриховкой. При движении по кривой D-разбиения в сторону возрастания 
штриховку наносят слева, если определитель 
положителен, и справа, если отрицателен. Зависимость 
представлена на рисунке 2.15.
Рисунок 2.15 – Зависимость 
Нанесем штриховку согласно правилу: при перемещении по кривой в направлении возрастания частоты кривая штрихуется слева, если определитель положителен, или справа, если определитель 
отрицателен.
Из рисунка 2.15 видно, что якобиан положителен (имеет знак «+») при положительных значениях частоты. Следовательно, на плоскости параметров 
- 
штриховку основной границы D-разбиения нанесем слева по возрастанию частоты 
.
Определим особые границы области D-разбиения.
Для построения особой границы необходимо в характеристическом уравнении замкнутой системы (2.72) приравнять к нулю старший и младший коэффициенты, при этом получим:
= 0, при 
= 0, при 
.
Или
(2.79)
Отметим в плоскости параметров - особые границы (2.79). Штриховка особой границы наносится со стороны асимптотического сближения основной и особой границы, то есть в данном случае сверху оси параметра и правее оси параметра .
Построим в плоскости параметров 
и К основную границу D-разбиения. При построении достаточно рассмотреть изменения частоты от нуля до плюс бесконечности постольку, поскольку 
и 
– четные функции.
Основная граница D-разбиения
Особые границы Т5 , К
+ – номинальная точка
Рисунок 2.16 – Область устойчивости САР
Область, для которой все штриховки направлены внутрь, называется претендентом. И, так как в этой области находится номинальная точка (0.0049; 94.92), в которой система является устойчивой, эта область является областью устойчивости системы.
Также по рисунку 2.16 определим критический коэффициент усиления системы при заданном Т5: 
Если сравнить полученное значение граничного коэффициента усиления с найденным в пункте 2.3 ( 
), то можно говорить, что они практически совпадают.
Дата: 2019-12-10, просмотров: 254.
