Построение желаемой ЛАХ

Система с пропорциональным регулятором не может обеспечить заданного качества управления. Улучшить свойства системы можно с помощью введения в нее корректирующего устройства КУ включаемого последовательно в разомкнутую цепь системы и обеспечивающего выполнение следующих условий:

1) все требования по качеству САР, указанные в техническом задании,

2) минимизация частоты среза замкнутой системы,

3) простота структуры синтезируемого КУ.

Синтез систем автоматического регулирования методом логарифмических амплитудных характеристик является в настоящее время одним из самых удобных и наглядных, данная методика синтеза основывается на использовании частотных критериев качества. Синтез проводится следующим образом. Строится желаемая ЛАХ, исходя из требований ТЗ.

 Эта желаемая характеристика сравнивается с той, которую данная система имеет без коррекции. Определяется передаточная функция корректирующего устройства так чтобы, при его включении в систему, в последней получалась желаемая форма ЛАХ. Затем оценивается получающаяся при этом величина запаса устойчивости системы и другие качественные показатели.

Основные этапы метода желаемой ЛАХ:

1. Построение располагаемой ЛАХ разомкнутой системы .

2. Построение желаемой ЛАХ разомкнутой системы  на основе требований, предъявляемым к проектируемой системе.

3. Определение передаточной функции КЗ  и соответствующих и .

Построение желаемой ЛАХ ведется отдельно для каждого участка ЛАХ: для низких, средних и высоких частот. Низкочастотный диапазон определяет точность работы системы в установившемся режиме, среднечастотный диапазон определяет качество переходных процессов, высокочастотный диапазон влияет на помехоустойчивость системы.

Построим низкочастотную часть желаемой ЛАХ. Для обеспечения заданных требований по точности в установившемся режиме низкочастотный участок ЛАХ должен проходить выше так называемой запретной области.

Требования по точности, представленные в техническом задании:

.

F₁=0.15 Гц; F₂=0.5 Гц: F₃=1.6 Гц.

Вычислим координаты контрольных точек, определяющей границу запретной области по точности, в которую не должна заходить ЛАХ желаемой системы по формулам:

.                                       (2.1)

.                                              (2.2)

L₁=37.08 дБ.                                                                                                        

L₂=26.38 дБ.

L₃=11.06 дБ.

Полученная запретная область  показана на рисунке 2.1.

С целью упрощения процедуры динамического синтеза асимптотическую желаемую ЛАХ выбираем симметричной с типовыми наклонами асимптот (-20-40-20-40-60…)

Так как желаемая ЛАХ не должна заходить в запретную область, а при частоте сопряжения w₁ реальная желаемая ЛАХ пройдет ниже точки сопряжения (на частоте w_a) на 3дБ, то желаемая ЛАХ должна быть поднята вверх на 3дБ, что соответствует увеличению коэффициента усиления разомкнутой системы в  раз:

,                        (2.3)

дБ.                     (2.4)

Определим частоту сопряжения , для этого через третью контрольную точку проведем асимптоту с наклоном -40 дБ/дек. При пересечении этой асимптоты с асимптотой с наклоном -20 дБ/дек получим первую частоту сопряжения =3.63с^-1.

Определим постоянную времени , соответствующей частоте : 

с,                       (2.5)

Определим базовую частоту :       .                  (2.6)

.                                          (2.7)

Найдем частоту среза желаемой ЛАХ из формулы:

,               (2.8)

.                                                       (2.9)

Определим вторую постоянную времени и соответствующую ей частоту:

с,                (2.10)

с^-1.                                    (2.11)

 .                                                       (2.12)

Начиная с частоты  желаемая ЛАХ имеет наклон -20 дБ/дек, характерный для среднечастотного участка «симметричной» типовой желаемой ЛАХ.

При построении высокочастотного участка желаемой ЛАХ по методике Бесекерского необходимо помимо требования близости желаемой и располагаемой ЛАХ, рассмотреть еще одно требование. Это требование позволяет обеспечить нужный запас по фазе в среднечастотном диапазоне:

                                     ,                               (2.13)

где М=1.37 , возьмем из ТЗ.

Для упрощения передаточной функции КЗ выберем постоянные времени  и  следующим образом:

с,                                         (2.14)

с.                                        (2.15)

Частоты сопряжения, найденные как обратные величины постоянных времени:

с^-1,                                             (2.16)

,                                              (2.17)

с^-1,                                             (2.18)

.                                                (2.19)

По формуле (2.13) определим постоянную времени :

c. (2.20)

Значение подбиралось так, чтобы M максимально приближалось к требованию по качеству переходного процесса, а также для улучшения помехоустойчивости на высокочастотном участке ЛАХ. В результате выбрано значение с.

Соответствующая частота сопряжения:

с^-1,                                              (2.21)

,                                        (2.22)

Последовательно уменьшая наклон на -20 дБ/дек при переходе через очередную частоту сопряжения, получим высокочастотный участок желаемой ЛАХ.

Полученная желаемая ЛАХ приведена на рисунке 2.1.

Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы, полученная по скорректированной желаемой ЛАХ имеет следующий вид:

,                     (2.23)

.                      (2.24)

Запретная область для ЛФХ строится по формулам:

,                                    (2.25)

,                                   (2.26)

.                                      (2.27)

Определим дополнительные величины для построения запретной области по ЛФХ:

дБ,                      (2.28)

дБ.                     (2.29)

Значение показателя колебательности скорректированной системы оказалось меньше заданного:  при заданном ограничении . График АЧХ замкнутой системы, по которому определялось значение М, приведен на рисунке 2.2.

ЛАХ и ЛФХ располагаемой и скорректированной систем изображены на рисунке 2.1. Из рисунка можно сделать следующий вывод: так как ЛФХ скорректированной системы не заходит в запретную зону, а ЛАХ  лишь касается ее на частоте сопряжения с^-1, то требования по качеству удовлетворяются с минимальным запасом, что как раз удовлетворяет инженерным рекомендациям по построению оптимизированной системы.

Рисунок 2.2 – АЧХ замкнутой скорректированной системы