Анализ линейной САР с пропорциональным регулятором

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Задание на работу

Аннотация

Исламов И.Р. Динамический синтез системы управления. - Челябинск: ЮУрГУ, ПС; 2010, 39 с., 23 ил., библиогр. список – 4 наим., 2 прил., 1 лист чертежа А4.

В данной работе предложен синтез системы автоматического регулирования (САР). Объект управления предполагается абстрактным.

Основной задачей курсовой работы является синтез корректирующего блока (устройства) КБ, расположенного в цепи ошибки: определение передаточной функции W_кб(p), обеспечивающей выполнение заданных в Задании требований к показателям точности, и к показателям качества переходного процесса в САР. При этом нужно, чтобы W_кб(p) была наиболее более простой для реализации, а полоса пропускания САР была, по возможности, меньше.

Кроме того, в КР проводится исследование линейной не скорректированной САР с минимально необходимым коэффициентом усиления и скорректированной САР, а также анализ влияния естественных нелинейностей (ограничение и люфт) на свойства скорректированной системы.

Оглавление

Введение...........................................................................................................................5
1 Анализ линейной САР с пропорциональным регулятором.....................................6
1.1. Получение структурной схемы линейной САР................................................6
1.2. Определение значения коэффициента передачи регулятора.............................7
1.3 Исследование устойчивости САР с пропорциональным регулятором..........8
1.4 Исследование замкнутой САР..........................................................................12
2 Динамический синтез и исследование скорректированной САР..........................17
2.1 Построение асимптотической желаемой ЛАХ...................................................17
2.2 Определение корректирующего устройства......................................................21
2.3 Определение показателей качества ПП оптимизированной САР....................22
2.4 Коэффициенты ошибок скорректированной САР.............................................33
2.5 Исследование реакций САР по ошибке..............................................................34
2.6 Область устойчивости САР……………..............................................................37

3 Анализ САР с учетом нелинейностей……………………………..........................41
3.1 Отработка ступенчатых сигналов……………………….................................41
3.2 Исследование возможных автоколебаний САР………………..........................46
Заключение.....................................................................................................................51
Библиографический список .........................................................................................52
Приложения……………………………………………………………………………53

Введение

Синтез системы автоматического управления (САУ) представляет собой расчет, имеющий конечной целью отыскание оптимальной структуры системы, и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. При синтезе необходимо обеспечить, указанные в ТЗ требования к системе.

В настоящее время для целей синтеза широко используют вычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. Однако моделирование на вычислительных машинах не может заменить расчетных методов проектирования, которые позволяют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений найти оптимальное. В данной работе для синтеза САР используется метод логарифмических амплитудных характеристик. Этот метод решения поставленной проблемы является наиболее распространенным, он достаточно хорошо изучен и прост в реализации.

Требования к качеству работы системы заданы в ТЗ как требования по точности и требования к качеству переходного процесса.

Заданные в техническом задании требования по качеству системы обеспечиваются за счет введения в систему специализированного корректирующего устройства. В результате синтеза САУ определяются расположение и тип корректирующего устройства, а также необходимые значения параметров всех элементов системы.

Далее полученная система исследуется с помощью различных тестовых сигналов и рассматривается влияние нелинейностей (насыщения в усилителе мощности и люфта кинематической обратной связи) на качество системы.

Для исследования проектируемой САР и проведения расчетов удобно пользоваться ЭВМ. В данной работе использовались следующие инженерные и математические пакеты: VisSim 7.0, MathCAD 14.

В приложениях А и В приведены структурные схемы VisSim, а также расчет формул и построение графиков в среде MathCAD.

Анализ линейной САР с пропорциональным регулятором

Исследование замкнутой САР

График переходной функция h(t) (по выходу ДОС) для замкнутой системы, полученный методом компьютерного моделирования в среде Vissim приведен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Переходная функция h(t) для замкнутой САР

Как видно из графика переходной функции h(t), , следовательно, система устойчива.

Определим прямые показатели качества переходного процесса.

а) Перерегулирование определяется согласно формуле:

. (1.22)

б) Время регулирования — время, за которое график переходного процесса укладывается в 5% «коридор» от установившегося значения.

По графику найдем .

Определим корневые показатели качества.

Решим характеристическое уравнение (1.15):

(1.23)

Решая уравнение (1.22) в среде MathCAD, получим следующие корни:

(1.24)

(1.25)

(1.26)

(1.27)

Расположение характеристических корней на комплексной плоскости изображено на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Расположение характеристических корней на комплексной плоскости

Определим корневые показатели качества:

а) степень устойчивости h определим по формуле:

η=min|Re p _k|=0.149135 (1.28)

б) коэффициент колебательности m определим по формуле:

μ=max(Im p_k /Re p_k)=145.54 (1.29)

Определим частотные показатели качества.

АЧХ и ВЧХ замкнутой системы приведены на рисунках 1.6 и 1.7.

Рисунок 1.6 – АЧХ замкнутой системы

Рисунок 1.7 – ВЧХ замкнутой системы

Показатель колебательности М:

(1.30)

Частота амплитудного резонанса: . (1.31)

Граница полосы пропускания: . (1.32)

Максимальное и минимальное значение ВЧХ:

, , .

Полученные в результате исследования частотные показатели качества сведены в таблицу 1.5.

Таблица 1.5 – Частотные показатели качества

, дБ	, °	, с^-1	, с^-1	, с^-1	M
0.51	1.05	21.78	21.73	31.1	9.39

Для данной исследуемой системы с пропорциональным регулятором были получены дБ и . Эти значения запасов устойчивости меньше типовых значений дБ, .

Выводы

В данном разделе была исследована система с пропорциональным законом регулирования. Система получилась устойчивой при заданных требованиях по точности, но данная система не обеспечивает требований по качеству ПП, заданному в техническом задании. Целесообразно ввести в систему специализированное корректирующее звено, которое позволит обеспечить выполнение необходимых требований к качеству переходного процесса.

Построение желаемой ЛАХ

Система с пропорциональным регулятором не может обеспечить заданного качества управления. Улучшить свойства системы можно с помощью введения в нее корректирующего устройства КУ включаемого последовательно в разомкнутую цепь системы и обеспечивающего выполнение следующих условий:

1) все требования по качеству САР, указанные в техническом задании,

2) минимизация частоты среза замкнутой системы,

3) простота структуры синтезируемого КУ.

Синтез систем автоматического регулирования методом логарифмических амплитудных характеристик является в настоящее время одним из самых удобных и наглядных, данная методика синтеза основывается на использовании частотных критериев качества. Синтез проводится следующим образом. Строится желаемая ЛАХ, исходя из требований ТЗ.

Эта желаемая характеристика сравнивается с той, которую данная система имеет без коррекции. Определяется передаточная функция корректирующего устройства так чтобы, при его включении в систему, в последней получалась желаемая форма ЛАХ. Затем оценивается получающаяся при этом величина запаса устойчивости системы и другие качественные показатели.

Основные этапы метода желаемой ЛАХ:

1. Построение располагаемой ЛАХ разомкнутой системы .

2. Построение желаемой ЛАХ разомкнутой системы на основе требований, предъявляемым к проектируемой системе.

3. Определение передаточной функции КЗ и соответствующих и .

Построение желаемой ЛАХ ведется отдельно для каждого участка ЛАХ: для низких, средних и высоких частот. Низкочастотный диапазон определяет точность работы системы в установившемся режиме, среднечастотный диапазон определяет качество переходных процессов, высокочастотный диапазон влияет на помехоустойчивость системы.

Построим низкочастотную часть желаемой ЛАХ. Для обеспечения заданных требований по точности в установившемся режиме низкочастотный участок ЛАХ должен проходить выше так называемой запретной области.

Требования по точности, представленные в техническом задании:

F₁=0.15 Гц; F₂=0.5 Гц: F₃=1.6 Гц.

Вычислим координаты контрольных точек, определяющей границу запретной области по точности, в которую не должна заходить ЛАХ желаемой системы по формулам:

. (2.1)

. (2.2)

L₁=37.08 дБ.

L₂=26.38 дБ.

L₃=11.06 дБ.

Полученная запретная область показана на рисунке 2.1.

С целью упрощения процедуры динамического синтеза асимптотическую желаемую ЛАХ выбираем симметричной с типовыми наклонами асимптот (-20-40-20-40-60…)

Так как желаемая ЛАХ не должна заходить в запретную область, а при частоте сопряжения w₁ реальная желаемая ЛАХ пройдет ниже точки сопряжения (на частоте w_a) на 3дБ, то желаемая ЛАХ должна быть поднята вверх на 3дБ, что соответствует увеличению коэффициента усиления разомкнутой системы в раз:

, (2.3)

дБ. (2.4)

Определим частоту сопряжения , для этого через третью контрольную точку проведем асимптоту с наклоном -40 дБ/дек. При пересечении этой асимптоты с асимптотой с наклоном -20 дБ/дек получим первую частоту сопряжения =3.63с^-1.

Определим постоянную времени , соответствующей частоте :

с, (2.5)

Определим базовую частоту : . (2.6)

. (2.7)

Найдем частоту среза желаемой ЛАХ из формулы:

, (2.8)

. (2.9)

Определим вторую постоянную времени и соответствующую ей частоту:

с, (2.10)

с^-1. (2.11)

. (2.12)

Начиная с частоты желаемая ЛАХ имеет наклон -20 дБ/дек, характерный для среднечастотного участка «симметричной» типовой желаемой ЛАХ.

При построении высокочастотного участка желаемой ЛАХ по методике Бесекерского необходимо помимо требования близости желаемой и располагаемой ЛАХ, рассмотреть еще одно требование. Это требование позволяет обеспечить нужный запас по фазе в среднечастотном диапазоне:

, (2.13)

где М=1.37 , возьмем из ТЗ.

Для упрощения передаточной функции КЗ выберем постоянные времени и следующим образом:

с, (2.14)

с. (2.15)

Частоты сопряжения, найденные как обратные величины постоянных времени:

с^-1, (2.16)

, (2.17)

с^-1, (2.18)

. (2.19)

По формуле (2.13) определим постоянную времени :

c. (2.20)

Значение подбиралось так, чтобы M максимально приближалось к требованию по качеству переходного процесса, а также для улучшения помехоустойчивости на высокочастотном участке ЛАХ. В результате выбрано значение с.

Соответствующая частота сопряжения:

с^-1, (2.21)

, (2.22)

Последовательно уменьшая наклон на -20 дБ/дек при переходе через очередную частоту сопряжения, получим высокочастотный участок желаемой ЛАХ.

Полученная желаемая ЛАХ приведена на рисунке 2.1.

Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы, полученная по скорректированной желаемой ЛАХ имеет следующий вид:

, (2.23)

. (2.24)

Запретная область для ЛФХ строится по формулам:

, (2.25)

, (2.26)

. (2.27)

Определим дополнительные величины для построения запретной области по ЛФХ:

дБ, (2.28)

дБ. (2.29)

Значение показателя колебательности скорректированной системы оказалось меньше заданного: при заданном ограничении . График АЧХ замкнутой системы, по которому определялось значение М, приведен на рисунке 2.2.

ЛАХ и ЛФХ располагаемой и скорректированной систем изображены на рисунке 2.1. Из рисунка можно сделать следующий вывод: так как ЛФХ скорректированной системы не заходит в запретную зону, а ЛАХ лишь касается ее на частоте сопряжения с^-1, то требования по качеству удовлетворяются с минимальным запасом, что как раз удовлетворяет инженерным рекомендациям по построению оптимизированной системы.

Рисунок 2.2 – АЧХ замкнутой скорректированной системы

Реакции САР по ошибке

Рассмотрим подачу линейного сигнала на вход САР.

Входной сигнал с постоянной скоростью и его изображение по Лапласу имеют соответственно вид:

х(t) = а × t, (2.63)

(2.64)

где а = 11 В/с – заданное в техническом задании значение скорости.

Реакцию системы на сигнал с постоянной скоростью по выходу ошибки определим как оригинал от изображения Лапласа:

. (2.65)

Вынужденную составляющую ошибки, определим по формуле:

(2.66)

где , , – коэффициенты ошибок, найденные выше.

Таким образом, получим

(2.67)

График реакции САР по ошибке e (t) на линейный входной сигнал и график вынужденной реакции приведены на рисунке 2.12.

Рисунок 2.12 - Графики и при линейном входном сигнале

При воздействии на систему линейного сигнала, переходная составляющая ошибки с течением времени затухает, следовательно, при . Ошибка устанавливается в постоянное значение.

Рассмотрим подачу квадратичного сигнала на вход САР.

Входной сигнал с постоянным ускорением имеет соответственно вид:

х(t) = а × t+b∙t², (2.68)

где а = 11 В/с , b=30 B/c – заданное в техническом задании значение.

Вынужденную составляющую ошибки, определим по формуле:

(2.69)

где , , – коэффициенты ошибок, найденные выше.

Таким образом, получим

. (2.70)

График реакции САР по ошибке e (t) на квадратичный входной сигнал и график вынужденной реакции приведены на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13 - Реакция САР по ошибке e (t) на квадратичный

входной сигнал и график вынужденной реакции

Из рисунка 2.13 видно, что при квадратичном входном сигнале ошибка в системе в установившемся режиме постоянно возрастает, поэтому применение данной системы при квадратичном входном воздействии невозможно.

Область устойчивости

При расчете и проектировании САУ необходимо исследовать влияние её различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, то есть определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

Рассмотрим постановку задачи построения области устойчивости.

Для проектируемой САР необходимо в плоскости параметров системы построить область устойчивости. Граница этой области соответствует нахождению системы на границе устойчивости. Точки, находящиеся внутри области, соответствуют устойчивости рассматриваемой САР.

Построение областей устойчивости возможно с помощью любого из критериев устойчивости. Для построения области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения.

Метод D-разбиения заключается в разделении n-мерного пространства параметров на области, каждой из которых соответствует определенное число правых корней характеристического уравнения. Область, которой соответствует ноль правых корней, является областью устойчивости.

Построим область устойчивости в плоскости и .

Характеристический полином системы имеет вид:

, (2.71)

где .

(2.72)

Определим основные формулы для построения границ области устойчивости.

Подставим в выражение (2.72) :

Уравнение (2.72) будет выполнено, при условии, что действительная и мнимая части равны нулю, то есть данное уравнение можно записать через систему уравнений:

(2.73)

где

Решим полученную систему уравнений методом Крамера:

(2.74)

(2.75)

(2.76)

, (2.77)

. (2.78)

В итоге мы получили параметрическое уравнение (параметр – ω) для основной границы D-разбиения.

Построим зависимости (2.77) и (2.78). Из рисунка 2.14 видно, что при возрастании частоты асимптотически стремиться к нулю, а – к бесконечности.

Рисунок 2.14 – График зависимости и

Основная граница области D-разбиения отмечается 2-х кратной штриховкой. При движении по кривой D-разбиения в сторону возрастания штриховку наносят слева, если определитель положителен, и справа, если отрицателен. Зависимость представлена на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15 – Зависимость

Нанесем штриховку согласно правилу: при перемещении по кривой в направлении возрастания частоты кривая штрихуется слева, если определитель положителен, или справа, если определитель отрицателен.

Из рисунка 2.15 видно, что якобиан положителен (имеет знак «+») при положительных значениях частоты. Следовательно, на плоскости параметров - штриховку основной границы D-разбиения нанесем слева по возрастанию частоты .

Определим особые границы области D-разбиения.

Для построения особой границы необходимо в характеристическом уравнении замкнутой системы (2.72) приравнять к нулю старший и младший коэффициенты, при этом получим:

= 0, при

= 0, при .

Или

(2.79)

Отметим в плоскости параметров - особые границы (2.79). Штриховка особой границы наносится со стороны асимптотического сближения основной и особой границы, то есть в данном случае сверху оси параметра и правее оси параметра .

Построим в плоскости параметров и К основную границу D-разбиения. При построении достаточно рассмотреть изменения частоты от нуля до плюс бесконечности постольку, поскольку и – четные функции.

Основная граница D-разбиения

Особые границы Т₅, К

+ – номинальная точка

Рисунок 2.16 – Область устойчивости САР

Область, для которой все штриховки направлены внутрь, называется претендентом. И, так как в этой области находится номинальная точка (0.0049; 94.92), в которой система является устойчивой, эта область является областью устойчивости системы.

Также по рисунку 2.16 определим критический коэффициент усиления системы при заданном Т₅:

Если сравнить полученное значение граничного коэффициента усиления с найденным в пункте 2.3 ( ), то можно говорить, что они практически совпадают.

Заключение

В ходе работы было синтезировано автоматическое управляющее устройство (регулятор), которое позволяет системе достичь требуемого в ТЗ качества.

После этого скорректированная САР исследовалась на качество. Были рассмотрены частотные, корневые, прямые показатели качества. По всем показателям качества скорректированная система имеет приемлемые значения.

В пункте 2 были построены области устойчивости и заданного качества для проектируемой САР.

В 3 пункте рассматривалась отработка нелинейной системой ступенчатого сигнала, начального рассогласования и гармонического сигнала. Проанализировано влияние нелинейностей «насыщение» и «люфт» на протекание процессов в системе. При наличии нелинейностей были исследованы возможные режимы автоколебаний. В полученной САР автоколебания вызываются только нелинейностью типа «люфт». Была исследована возможность появления устойчивых автоколебаний в данной системе.

Библиографический список

1. Зырянов, Г.В. Динамический синтез САУ: Учебное пособие по выполнению курсовой работы / Г.В.Зырянов, А.А Кощеев. – Челябинск: ЮУрГУ, 2001.

2. Бесекерский, В.А. Теория автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Спб.: Профессия, 2003.

3. Теория автоматического управления / Под ред. В.Б. Яковлева.– М.: ВШ, 2005.

4. Зырянов, Г.В. Линейные дискретные системы управления. – Челябинск, ЮУрГУ, 2005.

Приложения

Приложение А

Анализ линейной САР с пропорциональным законом регулирования

Рисунок А.1 – Схема моделирования в ППП VisSim

Рисунок А.2 – Нахождение корней A(p) в программе MathCad

Рисунок А.3 – Построение ВЧХ в программе MathCad

Приложение Б

Динамический синтез и исследование скорректированной САР

Рисунок Б.1 – Исследование ПП скорректированной системы

Рисунок Б.2 – Нахождение корней A(p) в программе MathCad

Рисунок Б.3 – Исследование УМ оптимизированной системы

Рисунок Б.4 – Построение ВЧХ скорректированной системы

Приложение В

Анализ влияния нелинейностей

Таблица В.1 – Данные для построения ОЭККП для нелинейности «люфт»

a	L_m(а), дБ	ψ_н(а), град	a	L_m(а), дБ	ψ_н(а), град
1.010	38.00	–98	1.4	9.10	–132
1.020	32.07	–101	1.5	7.82	–136
1.030	28.64	–103	1.6	6.85	–139
1.040	26.24	–105	1.8	5.48	–144
1.050	24.39	–107	2.0	4.54	–148
1.060	22.90	–108	2.5	3.14	–154
1.075	21.10	–110	3.0	2.35	–158
1.100	18.82	–113	4.0	1.52	–163
1.150	15.73	–118	5.0	1.10	–167
1.200	13.64	–122	10.0	0.40	–173
1.250	12.09	–125	20.0	0.15	–176
1.300	10.89	–128	40.0	0.05	–178