В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней до­ходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложе­ния капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В пер­вом случае ис­пользуется формула среднеарифметической взвешенной, в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Общую формулу расчета сред­ней доходности инве­стиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

r_i – доходность i-го инструмента;

w_i – доля (удельный вес) стоимости i-го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям раз­личной продолжи­тельности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (ан­нуилизируются). В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя ве­личина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности пе­рио­дов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая, взвешен­ная таким же образом.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка: игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду.

Неправомерность использования средней арифметической становится особенно наглядной, ко­гда наряду с положительными возникают и отрицательные значения доходности.

Причина столь грубой ошибки заключается не в изначальной «порочности» средней арифметической, а в том, что в данном случае она применялась не по назначению. Для расчета до­ходности за каждый отдельный год в качестве величины первоначальных инвестиций бралась новая сумма, включающая в себя реинвестированный доход, полученный за прошлые годы. По умолчанию, для расчета доходности использовалась сложная процентная ставка, поэтому и среднюю доходность за период владения следовало рассчитывать по формуле средней геомет­рической. Такой подход яв­ляется об­щепринятым в финансовой теории и он всегда применяется для операций, длительность ко­торых превышает 1 год. Однако в случае краткосрочных опера­ций (продолжительностью до 1 года) допус­кается использование простой процентной ставки, среднее значение которой рассчитывается по фор­муле средней арифметической. В этом случае, доходность за каждый период должна рассчиты­ваться путем деления суммы полученного до­хода на одну и ту же величину ­– инвестиции в данный финан­совый инструмент, сделанные в начале первого периода.

Расчет средней за несколько периодов времени доходности лучше производить по формуле средней геометрической. Вычисление среднеарифметиче­ской доходности оправдано лишь в тех случаях, когда доходность за каждый период в отдель­ности рассчитывается как простая процентная ставка. Это допускается при анализе краткосроч­ных финансовых операций.

Доходность не обязательно должна изменяться каждый год. Один и тот же уровень до­ходности может наблюдаться в течение ряда лет. В этом случае для расчета средней годовой доходности ис­пользуется формула средней геометрической взвешенной. В качестве весов ис­пользуются длительно­сти периодов, в течение которых наблюдался один и тот же уровень до­ходности.

Во всех вышеприведенных примерах рассматривался только один вид дохода – прирост стои­мости капитала. При определении доходности за единичный период (например – год) дан­ный факт не играет существенной роли, так как и прирост капитала и текущий доход абсолютно равноценны для инвестора, и тот и другой одинаково увеличивают его богатство. Однако, при расчете средней до­ходности за несколько лет необходимо учитывать различия между этими ви­дами дохода. Получая те­кущий доход, инвестор оставляет неизменной сумму первоначальных инвестиций.

Для анализа инвестиций, приносящих оба вида дохода (текущий и прирост стоимости) широкое распространение получило использование еще одного показателя средней за ряд пе­риодов доходно­сти. В данной роли выступает многократно упоминавшаяся ранее внутренняя норма доходности (irr). Данный показатель учитывает все текущие доходы за период инве­стиций и прирост стоимости капитала в конце этого периода. Он незаменим при выполнении прогнозных расчетов по возвратным инвестициям (долгосрочным кредитам, облигационным займам и т.п.), так как позволяет определять полную доходность инвестиций или доходность к погашению (yield to maturity – YTM). Так же как и внутренняя норма доходности, доходность к погашению представляет собой среднюю эффективную процентную ставку, дисконтирование по которой приравнивает приведенную величину совокупных доходов к сумме первоначальных инвестиций:

, где (5.2.2)

P – сумма первоначальных инвестиций;

CF – поток ежегодных текущих доходов от инвестиций;

N – разовая выплата инвестору в конце срока, на который вложен капитал (например, воз­врат основной суммы кредита);

n – общий срок вложения капитала.

Являясь средней процентной ставкой, YTM по своему значению может отличаться как от сред­неарифметической, так и среднегеометрической доходности, хотя часто она близка послед­ней.

Технические трудности вычисления IRR обусловили разработку упрощенного метода приблизительной оценки величины доходности к погашению. Для этих целей используется следую­щая формула:

(5.2.3)

Ни один из рассмотренных выше показателей сред­ней до­ходности (арифметическая, геометрическая и ytm) не является наиболее «точным» или «пра­вильным». Каждый из них имеет четко очерченную сферу своего применения. Средняя арифметическая незаме­нима при расчете средней доходности инвестиционного портфеля за один и тот же период. Средняя геометрическая является инструментом анализа временных ря­дов, поэтому ее следует использовать для нахождение средней доходности за несколько смеж­ных периодов. Как правило, подобные задачи возникают при ретроспективном анализе уже со­вершенных сделок, о ко­торых известны лишь значе­ния их доходности за отдельные периоды. Потребность в расчете YTM появляется при планировании финансовых операций, по которым наряду с текущими доходами ожи­дается возникновение прироста стоимости вложенного капи­тала. Вся сумма этого прироста отно­сится на самую крайнюю дату – срок возврата первона­чальных инвестиций – отсюда название пока­зателя «доходность к погашению».