Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется (1)
Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение r2+pr+q=0
Которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой функции с соответствующими степенями r, причём сама функция заменяется единицей. Тогда общее решение (1) строиться в зависимости от характера r1 и r2 уравнения (2).Здесь возможно 3 случая.
Решение: Запишем характеристическое уравнение. Для этого заметим функцию y и её производные y’ и y” соответствующими степенями r: r0=1,r и r2
тогда получим r2-5r-6=0
откуда r1=-1, r2=6.
Т.к. корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно 1 случая имеет вид
y=C1e-x+C2e6x.
Пример 2:Найти общее решение уравнения y”-4y’+4y=0
Решение: Составляем характеристическое уравнение r2-4r+4=0 из которого находим r1,2=2. Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни , поэтому согласно 2 случая общее решение запишется следующим образом:
y=e2x(C1+C2x)
Пример 3 : Найти решение уравнения y”+9y=0
Используя 3 случай при a=0 и b=3, получаем общее решение
y=C1cos3x+C2sin3x.
Пример 4:Найти общее решение уравнения y”+6y’+25y=0
Согласно 3 случая при a = -3 и b=4 получаем общее решение
Пример 5: Найти решение уравнения у”-3y’+2y=0 удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=1, y’(0)=-1.
Решение. Запишем характеристическое уравнение r2 – 3r + 2 = 0; его корни r1=1, r2 = 2 Следовательно, общее решение имеет вид
y=C1e2x.
Далее, используя начальные условия, определяем значение постоянных C1 и C2. Для этого подставим в общее решение заданные значения x=0, y=1; В результате получим одно из уравнений, связывающее C1 и С2: 1= C 1 + C 2
Второе уравнение относительно C1 и С2 получим следующим образом. Продиффиринцируем общее решение y’= C1e2x+2С2e2x и подставим в найденное выражение заданные значения x=0, y’=-1: -1= C 1 +2С2
Находим C1=3, С2=-2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
y=3ex-2e2x
Дата: 2019-11-01, просмотров: 190.