Напомним, что дифференциал функции (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении аргумента ) как функцию переменного и найдём её дифференциал :

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции , или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

Вообще, -й дифференциал , или дифференциал -го порядка, определяется как дифференциал от -го дифференциала (при постоянном приращении ); для него имеет место формула:

Практическое занятие. Нахождение неопределённого интеграла

Цель. Формирование умений и навыков вычисления неопределённого интеграла непосредственным интегрированием, методами интегрирования по частям и заменой переменной.

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Определение Пусть - функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для называется неопределённым интегралом от и обозначается . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции состоит из функций вида , где -- какая-либо фиксированная первообразная для , а -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция . Поэтому можно написать такую формулу:

(Точнее было бы , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида , писать в данной ситуации не принято.)

Итак, для того чтобы доказать равенство , достаточно проверить, что -- первообразная для , то есть что .

1	.	11	.
2	.	12	.
3	( ).	13	.
4	.	14	.
5	; .	15	.
6	.	16
7	.	17	.
8	.	18	.
9	.	19	.
10	.	20	; .

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):

.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v’∙ dx , du = u’∙ dx):

.

Примеры: . .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .

Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
 Интегралы вида , , , где P_n(x) - многочлен n-ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы , где - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = P_n(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала не f(x), а её производная. Пример: .

  Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).

.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,
решая которое, получаем (константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и (константа переобозначена через С).
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и ( ). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = e^ax dx или u = e^ax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.

Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:

.
Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;

Практическое занятие. Вычисление определённого интеграла