Напомним, что дифференциал функции (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой
Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении аргумента ) как функцию переменного и найдём её дифференциал :
Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции , или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой
Вообще, -й дифференциал , или дифференциал -го порядка, определяется как дифференциал от -го дифференциала (при постоянном приращении ); для него имеет место формула:
Практическое занятие. Нахождение неопределённого интеграла
Цель. Формирование умений и навыков вычисления неопределённого интеграла непосредственным интегрированием, методами интегрирования по частям и заменой переменной.
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
Определение Пусть - функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для называется неопределённым интегралом от и обозначается . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.
Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции состоит из функций вида , где -- какая-либо фиксированная первообразная для , а -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция . Поэтому можно написать такую формулу:
(Точнее было бы , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида , писать в данной ситуации не принято.)
Итак, для того чтобы доказать равенство , достаточно проверить, что -- первообразная для , то есть что .
1 | . | 11 | . |
2 | . | 12 | . |
3 | ( ). | 13 | . |
4 | . | 14 | . |
5 | ; . | 15 | . |
6 | . | 16 | |
7 | . | 17 | . |
8 | . | 18 | . |
9 | . | 19 | . |
10 | . | 20 | ; . |
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v’∙ dx , du = u’∙ dx):
.
Примеры: . .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .
Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
Интегралы вида , , , где Pn(x) - многочлен n-ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы , где - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = Pn(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала не f(x), а её производная. Пример: .
Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).
.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,
решая которое, получаем (константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и (константа переобозначена через С).
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и ( ). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).
Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.
Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:
.
Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;
Практическое занятие. Вычисление определённого интеграла
Дата: 2019-11-01, просмотров: 255.