Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по организации самостоятельной работы
студентов заочного отделения

ЕН.01 Математика
 по специальности 46.02.01

«Документационное обеспечение управления и архивоведение»

 

Разработал преподаватель Левченко В.А.

 

 

Донецк, 2019

 

 

Методические рекомендации предназначены для организации самостоятельной работы студентов заочного отделения специальности 46.02.01 «Документационное обеспечение управления и архивоведение» по дисциплине ЕН.01 Математика.

 

Содержание

 

Пояснительная записка	4
Тематический план	5
Содержание программы и рекомендации к её самостоятельному изучению	6
Перечень и содержание практических работ	10
Методические рекомендации по выполнению и оформлению домашней контрольной работы (образец выполнения контрольной работы)	46
Критерии оценивания выполнения домашней работы	64
Перечень экзаменационных вопросов	65
Критерии оценивания знаний по дисциплине	67
Литература	68

1. Пояснительная записка

Программа учебной дисциплины ЕН.01 Математика предназначена для изучения в образовательных учреждениях среднего профессионального образования, при подготовке специалистов среднего звена.

Дисциплина ЕН.01 Математика относится к дисциплинам математического и естественнонаучного цикла подготовки специалистов среднего звена.

На освоение учебной дисциплины отведено 72 часа.

В результате изучения учебной дисциплины студенты должны:

уметь:

 - решать задачи на нахождение производной сложной функции;

 - решать задачи на нахождения производных второго и высших порядков;

 - применять основные методы интегрирования при решении задач;

 - применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

знать:

 - основные понятия и методы математического анализа;

 - основные численные методы решения прикладных задач.

Содержание дисциплины должно быть ориентировано на использовании математического аппарата в специальных дисциплинах, подготовки курсовых работ.

Базовыми дисциплинами для изучения дисциплины ЕН.01 Математика являются учебные дисциплины «Алгебра и начала математического анализа», «Геометрия»

 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

учебной дисциплины
ЕН.01 Математика
для заочной формы обучения специальности 46.02.01

«Документационное обеспечение управления и архивоведение»
 на основе среднего образования

  

№ п/п

Наименование раздела и темы

Количество часов

всего по учебному плану

Аудитор.

Занятий

В том числе

самост.

Работа

лекций практич. занания   Раздел 1. Теория пределов и непрерывность 12 1,5 0,5 1 10,5 1 Тема 1.1 Предел функции 6,25 0,75 0,25 0,5 5,5 2 Тема 1.2 Непрерывность функции 5,75 0,75 0,25 0,5 5   Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной 30 2 0,75 1,25 28 3 Тема 2.1 Производная первого порядка 10,75 0,75 0,25 0,5 10 4 Тема 2.2 Производные высших порядков 9,75 0,75 0,25 0,5 9 5 Тема 2.3 Исследование функции и построение графиков функции 9,5 0,5 0,25 0,25 9   Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной действительной переменной 30 2,5 0,75 1,75 27,5 6 Тема 3.1 Первообразная функции и неопре-делённый интеграл 10,5 1 0,25 0,75 9,5 7 Тема 3.2 Определённый интеграл 9,75 0,75 0,25 0,5 9 8 Тема 3.3 Геометрическое и физическое приложение определённого интеграла 9,75 0,75 0,25 0,5 9

Итого:

72 6 2 4 66

 

 

3. Содержание программы и рекомендации к её самостоятельному изучению

Раздел 1. Теория пределов и непрерывность

Тема 1.1 Предел функции

Понятие бесконечной числовой последовательности. Возрастающие и убывающие числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой. Предел последовательности. Ограниченные величины. Основные теоремы о пределах. Свойства пределов. Признаки существования пределов. Неопределённости, виды неопределённостей. Предел функции. Число е. Натуральные логарифмы. Вычисление пределов функции. Два замечательных предела.

Практическое занятие. Вычисление пределов

 

Вопросы для самопроверки:

1. Какая последовательность называется числовой последовательностью?

2. Каким может быть характер изменение переменной величины?

3. Какому условию должна удовлетворять ограниченная переменная величина?

4. Приведите примеры ограниченных переменных величин.

5. Дайте определение бесконечно малой величины.

6. Дайте определение бесконечно большой величины.

7. Какая связь существует между бесконечно малой и бесконечно большой величинами?

8. Перечислите основные свойства бесконечно малых.

9. Перечислите теоремы о пределах и следствия из них.

10. Перечислите теоремы и следствия из них, на которых основано вычисление предела функции.

11. Что представляет собой число е?

12. Что называется приращением аргумента и приращением функции?

13. Какие два предела называются замечательными?

14. Какие виды неопределённостей вам известны?

15. Назовите основные теоремы о пределах?

 

Решение задач

 Пример . Найти

Решение . Подставляя x = 3 в выражение получим не имеющее смысла выражение . Поэтому решим по-другому:

 Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 3 , он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем:

поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6 .

Замечательные пределы

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

Пример . Функция y = является бесконечно малой при x,

стремящемся к 4, так как

 

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

Символ (бесконечность ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях x, это отражается в записи. Например, при x 0 функция y = x² бесконечно большая, но она положительна как при x > 0, так и при x < 0 ; это выражается так:

Наоборот, функция y =  x ^2 всегда отрицательна, поэтому

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

Вычисление пределов (для самостоятельного выполнения заданий)                                             

1.Найдите пределы последовательностей:

1) ;               3) ;

2) ;         4) .

2.Найдите пределы функций:

 

1) ;

2)  ;          

3) ;

4) ;

5) .

3. Раскрытие неопределенностей вида . Найдите пределы:

1) ;               3) ;

 2) ;                4) .

4. Раскрытие неопределенностей вида . Найдите пределы:

1) ;            2) .

 

 

 

Практическое занятие. Исследование функций на непрерывность.

Цель: Формировать умения и навыки исследования функций на непрерывность

 

Решение задач

Пример 1 Пусть и . Тогда и . Эти значения совпадают, значит, функция непрерывна в точке .

(Функция ‒ элементарная функция; ‒ точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить любой элементарной функцией, а -- любой внутренней точкой области , и вывод остался бы тем же.)

Пример 2 Рассмотрим функцию и точку . При функция задаётся формулой , при этом имеем (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при : . Итак, , что означает непрервыность функции при .

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Определение точек разрыва

Дадим теперь определение точек разрыва функции.

Определение Точка называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть, определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется, хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева ;

2) не существует предела справа ;

3) пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу: ;

4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: , но не совпадают со значением функции в точке : , или функция не определена в точке .

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки называется разрывом первого рода в точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.

Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки ‒ разрывом второго рода в точке .

Итак, если функция имеет разрыв первого рода в точке , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": и , но точка не является точкой непрерывности.

. -- точка разрыва первого рода

 

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва ‒ устранимый.

. -- точка устранимого разрыва

 

Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.

. -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты

 

Пример 3 Рассмотрим функцию , для которой

Функция имеет разрывы при и при . Нетрудно видеть, что при В точках  и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем:

(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке ‒

(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).

 

График функции

 

Пример 4 Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при .

 

Рис.3.6.График функции

 

Пример 5 Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при .

 

Рис. График функции

Первый замечательный предел равен

Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль, как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Второй замечательный предел существует. Его значение ‒ число, лежащее между 2 и .

Более подробное изучение числа показывает, что ‒ иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

Пример 6. Найдём предел .

Здесь основание степени имеет предел

а показатель степени . Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину . Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно , где

Значит,

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому

(

Практическое занятие. Исследование функции и построение её графика

Цель: Проверить на практике знание понятия производной функции, понимание геометрического смысла производной, умение применять их для решения задач, умение находить производные функций, умение находить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы, промежутки выпуклости, точки перегиба, асимптоты функции, применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме.

Примеры исследования функций и построения графиков

Пример 1. Построим график функции .

1). Функция -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: .

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Для функции это не так, значит, не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ; в нашем случае это не так, поэтому -- не периодическая функция.

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью найдём, вычислив значение при : имеем . Для нахождения пересечений графика с осью следует решить уравнение . Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень , лежащий на интервале , причём ближе к точке , чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что . Заметим, что меняет знак с на при переходе через точку .

6). Производная данной функции равна . Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство . Корни квадратного трёхчлена -- это , значит, решением неравенства служит объединение интервалов и . На каждом из этих интервалов функция возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством , то есть . Его решением служит интервал . На этом интервале функция убывает.

В точке возрастание функции сменяется убыванием, значит, -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит, -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от до и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7). Вторая производная функции равна . Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство , то есть , откуда . Значит, функция выпукла на интервале . Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это . В точке направление выпуклости меняется, следовательно, -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно .

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции .

График функции

 

 

Пример 2. Исследуем функцию и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции -- вся ось .

2). Функция -- нечётная, поскольку при смене знака числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

3). Поскольку область определения этой элементарной функции вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем:

Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: , причём -- единственное решение уравнения . Значит, график пересекает сразу и ось , и ось в начале координат.

Очевидно, что при и при .

6). Найдём производную:

Очевидно, что при всех ; единственная точка, в которой -- это . Значит, функция возрастает на всей оси , а в стационарной точке имеет горизонтальную касательную.

7). Найдём вторую производную:

Знаменатель этой дроби положителен при всех . Числитель имеет корни и , при этом на интервалах и -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство , здесь функция вогнута. Все три точки, в которых , то есть точки , являются точками перегиба.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

 

График функции

 

 

Практическое занятие. Нахождение производной функции.

Цель: Приобрести навыки вычисления производной функции.

 

Содержание работы и порядок выполнения:

Справочный материал и примеры

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

                                          (1)

Обозначения производной в точке х₀:

 и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

N

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( ).

Уравнение касательной к кривой  
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

                                    (2)

а уравнение нормали (М₀N):

                                 (3)

Правила дифференцирования

№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции	№ п/п	U = u(x), V=V(x) – дифференцируемые функции
I		VI	Производная сложной функции
II

VII

Функция задана параметрическими уравнениями

III IV

VIII

Если  и  —
взаимно обратные функции,
то

V

Формулы дифференцирования

№	Производная элементарной функции
1
Степенная функция
2
3
4
5
Показательная функция
6
7
Логарифмическая функция
8
9
10
Тригонометрическая функция
11
12
13
14
Обратная тригонометрическая функция
15
16
17
18

Пример 1. Найти производные функций:

а)  б)  в)  г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

в) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим  в уравнения и получим:

или  — уравнение касательной.

 или — уравнение нормали.

Пример 3 . Найти производную , если функция задана параметрически:

Используем правило VII

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а)  б)  в)

Для дифференциала функции  справедлива формула  т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а)

б)

в)

Пример 5. Найти производную функции  логарифмическим дифференцированием

 

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м.  или б.б.  функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

                                     (5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность  или  и затем использовать формулу (5).

Пример 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

 а)   б)  

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

 т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)

Задания для практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)     

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Задание 3. Найти производную  функции y=у(x), заданной параметрически:

1)

2)

3)

4)

5)

6)   

 

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 5. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

1)

2)

3)

4)

5)

Задание 6 . Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Практическое занятие. Нахождение производных высших порядков

 

Цель. Формировать умения и навыки находить производные элементарных функций, сложной функции, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования. Закрепить навык нахождения производной высшего порядка.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Производные высших порядков

Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :

    если эта производная существует. -я производная называется также производной -го порядка, а её номер называется порядком производной.

     При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих -- числом в скобках в верхнем индексе: или .

   Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная задаёт мгновенную скорость изменения значений в момент времени , то вторая производная, то есть производная от , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений . Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, ).

Пример 1. Найдём вторую производную функции . Первая производная равна

далее находим

 

Пример 2. Пусть . Тогда

При все производные оказываются равными исходной функции:

Пример 3. Рассмотрим функцию . Тогда

Поскольку четвёртая производная совпала с исходной функцией , то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при получаем

Заметим также, что

Легко видеть, что имеет место общая формула:

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):

.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v’∙ dx , du = u’∙ dx):

.

Примеры: . .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .

Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
 Интегралы вида , , , где P_n(x) - многочлен n-ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы , где - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = P_n(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала не f(x), а её производная. Пример: .

  Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).

.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,
решая которое, получаем (константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и (константа переобозначена через С).
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и ( ). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = e^ax dx или u = e^ax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.

Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:

.
Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;

 

 

Практическое занятие. Вычисление определённого интеграла

Задания для практической работы

Задание 3. Вычислить определенные интегралы

а)     б)            в)

Задание 4. Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

а)                                                            

б).                                                

в)                                                                         

Задание 5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1.

Задание 6. Решить задачу.

1.Скорость точки задана уравнением  (м/с). Найти её путь за третью секунду движения.

2.Скорость точки задана уравнением  (м/с). Найти путь, пройденный телом за время от начала движения до остановки.

 

 

5. Методические рекомендации по выполнению и оформлению домашней контрольной работы

 

Контрольная работа по учебной дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения составлена согласно учебному плану основной профессиональной образовательной программы среднего профессионального образования Государственного профессионального образовательного учреждения ГПОУ «Донецкий горный техникум им. Е.Т. Абакумова» по специальности
46.02.01 «Документационное обеспечение управления и архивоведение»

Задания контрольной работы охватывают все основные темы учебной программы. Контрольная работа выполняется студентом в тетради, где указывается номер варианта (задания студент выбирает из таблицы вариантов своей учебной группы), код (номера заданий, соответствующие варианту). Студент пользуется методическими указаниями для выполнения контрольной работы и указанной литературой, конспектом. Если студент применяет дополнительную литературу не указанную в списке, то необходимо в конце работы указать используемые источники, интернет-ресурсы и т.д.

Титульный лист заполняется согласно методическим требованиям, с которыми студент знакомится на установочной сессии.

Контрольная работа считается выполненной (выставляется оценка «зачтено»), если студент правильно решил и оформил более 80 % заданий. В противном случае работа возвращается студенту на доработку. Студент должен представить контрольную работу на проверку преподавателю в указанный срок, согласно учебному плану. В противном случае студент получает оценку «неудовлетворительно» и обязан выполнить контрольную работу заново.

Студент имеет право получить консультацию у преподавателя по графику консультаций, с которым может ознакомиться на заочном отделении или выяснить у преподавателя.

 

               

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ
для выполнения контрольной работы
по учебной дисциплине «Математика»
для студентов заочной формы обучения специальности 46.02.01
 «Документационное обеспечение управления и архивоведение»

 

Преподаватель: Левченко В.А.
Группа: 1Д-17/з

№ варианта

Номера заданий

1 10 18 22 36 43 58 69 75 2 2 16 30 33 41 54 70 77 3 8 19 28 31 42 52 68 80 4 6 11 29 32 48 51 65 72 5 4 13 21 35 49 60 64 75 6 5 16 24 36 47 55 61 79 7 3 18 26 40 44 53 66 74 8 7 17 23 31 50 59 67 78 9 10 20 27 37 41 57 68 71 10 8 14 28 38 43 58 70 73 11 6 16 22 39 49 54 63 77 12 2 15 30 35 47 56 62 80 13 4 19 26 37 45 51 62 79 14 9 17 25 32 42 52 69 75 15 3 11 29 31 48 53 70 72 16 2 13 28 33 47 60 68 71 17 5 14 27 40 50 55 65 73 18 4 13 21 35 49 60 64 75 19 5 16 24 36 47 55 61 79 20 3 18 26 40 44 53 66 74 21 7 17 23 31 50 59 67 78 22 10 20 27 37 41 57 68 71 23 8 14 28 38 43 58 70 73 24 6 16 22 39 49 54 63 77 25 2 15 30 35 47 56 62 80 26 4 19 26 37 45 51 62 79 27 9 17 25 32 42 52 69 75 28 3 11 29 31 48 53 70 72 29 2 13 28 33 47 60 68 71 30 5 14 27 40 50 55 65 73

Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру ФИО студента контингента в журнале успеваемости.

Тема: Функции, область определения функции, предел функции

Задания 1-10. Найти область определения функции

 

1.

 

2.

 

 

3.

 

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

 

 

9.

 

 

10.

 

Задания № 11-20. Найти предел функции

11.	а)	б)
12.	а)	б)
13.	а)	б)
14.	а)	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а)	б)
18.	а)	б)
19.	а)	б)
20.	а)	б)

Тема: Метод координат

Задания № 21-30. В треугольнике с вершинами А(х_1,, у₁), В(х_2,, у₂) та С(х₃, у₃) найти:

а) длину вектора

б) косинус внутреннего угла

в) уравнение высоты, проведённой через вершину С;

г) уравнение медианы, которая проходит через вершину С;

д) выполнить рисунок.

21. А(0; 0)      В(6; 3)      С(3; 4)

 

22. А(1; -3)     В(-5; 0)     С(-2; 1)

 

23. А(-1; 1)      В(5; 4)      С(2; 5)

 

24. А(0; 0)      В(6; 3)      С(3; 4)

 

25. А(2; 2)      В(-4; 5)     С(-1; 6)

 

26. А(-1; -2)     В(5; 1)      С(2; 2)

 

27. А(-2; -1)     В(4; 2)      С(1; 3)

 

28. А(2; -1)     В(-8; 4)     С(-5; 5)

 

29. А(-1; -1)     В(-7; 2)     С(-4; 3)

 

30. А(3; -1)     В(-3; 2)      С(0; 3)

 

Задание № 31-40. Найти производную функции

 

31.

 

32.

 

33.

 

34.

 

35.

 

36.

 

 

37.

 

 

 

38. 

 

39.

 

40.

 

Задания №41-50. Исследовать функцию и построить её график

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.   

 

Задание №51-60. Вычислить определённый интеграл

 

51.	а)	б)
52.	а)	б)
53.	а)	б)
54.	а)	б)
55.	а)	б)
56.	а)	б)
57.	а)	б)
58.	а)	б)
59.	а)	б)
60.	а)	б)

 

Задание  №61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

 

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.    

 

 

Задание № 71-80. Задачи на классическое определение вероятности, применение формул комбинаторики для вычисления вероятности

Задание 71.

Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадает чётное число очков?

 

Задание 72.

В одном ящике находятся 8 белых и 12 красных шариков, в другом – 15 синих и 5 чёрных шариков. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шарику, какова вероятность того, что вынули красный и чёрный шарики?

 

Задание 73.

В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шариков. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шарика. Какова вероятность того, что оба шарика белые? Что они разного цвета?

 

Задание 74.

Из ящика, в котором находятся 4 шарика, пронумерованные числами 0, 1, 2, 3, наугад берут два шарика. Составить закон распределения суммы номеров двух вынутых шариков.

 

Задание 75.

При сборке прибора для точной подгонки определённой детали необходимо сделать несколько попыток. При этом деталь, забракованная при сборке одного прибора, уже используется при сборке других. Для установления количества деталей, которыми необходимо обеспечить рабочего, было проведено 100 наблюдений. Оказалось, что в 7 случаях понадобилась одна попытка, в 16 – две, в 55 – три, в 21 – четыре и в одном случае – пять попыток. Найти среднее количество деталей, необходимых для сборки одного прибора.

 

Задание 76.

Найти математическое ожидание Х, равной числу очков, которые выпадают на игральном кубике при одном броске.

 

Задание 77.

Подбросили два игральных кубика и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 8?

 

Задание 78.

В корзине находятся 4 белых и 7 чёрных шариков. Какова вероятность того, что наугад вынутый шарик окажется белого цвета?

 

Задание 79.

Подбросили две монеты. Какова вероятность того, что на каждой монете выпадет герб?

 

Задание  80.

Из полного набора костей домино наугад выбирается одна кость. Какова вероятность появления кости, сумма очков на которой равна шести?

Литература

Основная

1 Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. – М.: Дрофа, 2010.

2 Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика: Підручник. – К.: Вища школа., 2005

3 Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Дидактичні матеріали з математики: Навчальний посібник. – К.: Вища школа., 2005

4 Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. Учебник., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002

5 Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч. посібник. У 2-х ч - К.: КНЕУ, 2001

6 Лопатько О.В. Математичні методи в розрахунках на ЕОМ: Навчальний посібник. – Львів: «Магнолія плюс», 2005

 

 

Дополнительная

1 В.М.Лейфура. Математика: Учебник для высших учебных учреждений І-ІІ уровней аккредитации – К.: Техника, 2003

2 Яковлев Г.М. Алгебра и начало анализа. Учебник ч І-ІІ - М.: Наука, 1987

3 Крамор в.С., Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.

4 Валуце І.І. Математика для техникумов. Учебник. – М.: Наука, 1987

5 Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. Навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1987

6 Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. Учебник. – М.: «Наука», 1982

 

 

Вариант № 5

Код 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75

Задание 5

Найти область определения функции

Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:

Полученное уравнение имеет два корня: . Данные значения не входят в область определения функции. Действительно, подставьте или в функцию и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.

Ответ: область определения:

Задание 15

Найти предел функции

= = = = = =3+3=6

 

 

Задание 25

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁; DA=1; DC=2; DD₁=3. Найти: угол между прямыми CB₁ и D₁B.

Рис. 1.

Решение

 Введем систему координат Dxyz (см. рис. 1) и найдем направляющие векторы D₁B и СB₁. Для этого сначала найдем координаты точек D₁, B, C и B₁, так как через них проходят нужные нам прямые. D₁(0;0;3), B(1;2;0), C(0;2;0), B₁(1;2;3). Зная координаты точек, мы можем найти координаты направляющих векторов, вычитая из координат конца координаты начала вектора: , . Найдем косинус угла между прямыми CB₁ и D₁B: .

Значит, .

Задание 35

Найти производную функции

Решение

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Решаем:

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

Задание 45

Исследовать функцию и построить график функции

Решение:

1) Функция определена по всюду кроме точки в которой знаменатель превращается в ноль ( ). Область определения состоит из двух интервалов

2) При подстановке значения получим

Такую же точку получим если приравняем функцию к нулю. Точка - единственная точка пересечения с осями координат.

3) Проверяем функцию на четность

Итак функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

4) В данном случае имеем одну точку разрыва . Вычислим границы слева и справа от этой точки

Итак – точка разрыва второго рода.

5) Для отыскания интервалов монотонности вычисляем первую производную функции

Приравнивая ее к нулю получим точки подозрительные на экстремум . Они разбивают область определения на следующие интервалы монотонности

Исследуем поведение производной слева и справа от найденных точек разбиения

Графически интервалы монотонности будут иметь вид

Исследуемая функция возрастает на интервалах и убывает .

Точка – точка локального максимума, – локального минимума. Найдем значение функции

6) Для отыскания интервалов выпуклости найдем вторую производную

Таких интервалов нет, поскольку вторая производная не принимает нулевых значений в области определения.

7) Точка – вертикальная асимптота функции. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

где - границы которые вычисляются по правилу

Находим нужные границы

Конечный вид прямой следующий

8) На основе проведенного анализа выполняем построение графика функции. Для этого сначала строим вертикальные и наклонные асимптоты, затем находим значение функции в нескольких точках и по них проводим построение.

--------------------------------------

 

Задание 55

Вычислить определённый интеграл

Используя свойства определённого интеграла, а при нахождении первообразных – табличные интегралы получим

Задание 65

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение

Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь искомой фигуры в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Таким образом имеем всё для нахождения площади фигуры. Находим:

 

 

 

Задание 75

Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора Морозова выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?

Решение

Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора Морозова может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.

А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.

По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4

Ответ: 0,4

 

Таблица перевода баллов в оценку

  

Количество набранных баллов	Оценка
61-80	зачтено
меньше 61	не зачтено

 

Максимальное количество баллов за задание – 10, студент получает, когда правильно решил задачу, дал пояснения, записал ответ, придерживался математической культуры записи.

7-9 баллов – студент получает, когда решил задание, однако объяснение содержит неточности или неполное, допустил незначительные ошибки в вычислениях.

4-6 баллов – студент получает, если ход решения задачи правильных, однако нет объяснения, допущены ошибки в вычислениях.

 Меньше 4 баллов – студент получает, если задание выполнено не правильно, однако выдержаны некоторые этапы решения, не дано объяснения хода решения, ответ получен не правильный.

 

 

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ

по учебной дисциплине ЕН.01 Математика

 

«5» (отлично) – за глубокое и полное овладение содержанием учебного материала, в котором студент легко ориентируется; научно-понятийным аппаратом; за умение практически применять теоретические знания, качественно выполнять все виды работ, высказывать и обосновывать свои суждения. Отличная отметка предполагает грамотное и логичное изложение ответа (в письменной форме) на практико-ориентированные вопросы, обоснование своего высказывания с точки зрения известных теоретических положений.

«4» (хорошо) – если студент полно освоил учебный материал, владеет научно-понятийным аппаратом, ориентируется в изученном материале, осознанно применяет знания на практике, грамотно излагает ответ (в письменной форме), но содержание и форма ответа имеют отдельные неточности.

«3» (удовлетворительно) – если студент обнаруживает знание и понимание основных положений учебного материала, но излагает его неполно, непоследовательно, допускает неточности в определении понятий, в применении теоретических знаний при ответе на практико-ориентированные вопросы; не умеет доказательно обосновать свои суждения.

«2» (неудовлетворительно) – если студент имеет разрозненные, бессистемные знания по дисциплине, допускает ошибки в определении базовых понятий, искажает их смысл; не может практически применять теоретические знания.

 

 

 

Литература

 

1. Богомолов Н.В., Математика: учебное пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2010

2. Бродский Я.С., Павлов А.Л., Слипенко А.К., Математика: Учебник.-

К.:Высшая школа.,2005

3. Бродский Я.С., Павлов А.Л., Слипенко А.К. Дидактические материалы по математике: Учебное пособие.- К.: Высшая школа.,2005

4. Валеев К.Г., Джаллатова И.А. Высшая математика: Учеб. пособие. в 2-х ч - К.:КНЭУ,2001

5. Лейфура В.М. Математика: Учебник для студентов эконом. Специальностей вуз. учеб. заведений I-II уровней аккредитации - К.:Техника, 2003

6. Алгебра и начало анализа. ч II под. ред. Яковлева Г.М. –М.:наука,1987

7. Геометрия. Под. Ред. Яковлева Г.М. –М.: наука, 1988

8 . Математика для техникумов. под. ред. Валуце И.И –М.: Наука, 1989

 

Интернет- ресурсы:

 

1. http://en.edu.ru - естественно-научный портал

2. http://www.bestlibrary.ru - On–line библиотека

3. http://www.km.ru/literature/ - электронная библиотека LIB.KM.ru

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по организации самостоятельной работы
студентов заочного отделения

ЕН.01 Математика
 по специальности 46.02.01

«Документационное обеспечение управления и архивоведение»

 

Разработал преподаватель Левченко В.А.

 

 

Донецк, 2019

 

 

Методические рекомендации предназначены для организации самостоятельной работы студентов заочного отделения специальности 46.02.01 «Документационное обеспечение управления и архивоведение» по дисциплине ЕН.01 Математика.

 

Содержание

 

Пояснительная записка	4
Тематический план	5
Содержание программы и рекомендации к её самостоятельному изучению	6
Перечень и содержание практических работ	10
Методические рекомендации по выполнению и оформлению домашней контрольной работы (образец выполнения контрольной работы)	46
Критерии оценивания выполнения домашней работы	64
Перечень экзаменационных вопросов	65
Критерии оценивания знаний по дисциплине	67
Литература	68

1. Пояснительная записка

Программа учебной дисциплины ЕН.01 Математика предназначена для изучения в образовательных учреждениях среднего профессионального образования, при подготовке специалистов среднего звена.

Дисциплина ЕН.01 Математика относится к дисциплинам математического и естественнонаучного цикла подготовки специалистов среднего звена.

На освоение учебной дисциплины отведено 72 часа.

В результате изучения учебной дисциплины студенты должны:

уметь:

 - решать задачи на нахождение производной сложной функции;

 - решать задачи на нахождения производных второго и высших порядков;

 - применять основные методы интегрирования при решении задач;

 - применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

знать:

 - основные понятия и методы математического анализа;

 - основные численные методы решения прикладных задач.

Содержание дисциплины должно быть ориентировано на использовании математического аппарата в специальных дисциплинах, подготовки курсовых работ.

Базовыми дисциплинами для изучения дисциплины ЕН.01 Математика являются учебные дисциплины «Алгебра и начала математического анализа», «Геометрия»

 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

учебной дисциплины
ЕН.01 Математика
для заочной формы обучения специальности 46.02.01

«Документационное обеспечение управления и архивоведение»
 на основе среднего образования

  

№ п/п

Наименование раздела и темы

Количество часов

всего по учебному плану

Аудитор.

Занятий

В том числе

самост.

Работа

лекций практич. занания   Раздел 1. Теория пределов и непрерывность 12 1,5 0,5 1 10,5 1 Тема 1.1 Предел функции 6,25 0,75 0,25 0,5 5,5 2 Тема 1.2 Непрерывность функции 5,75 0,75 0,25 0,5 5   Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной 30 2 0,75 1,25 28 3 Тема 2.1 Производная первого порядка 10,75 0,75 0,25 0,5 10 4 Тема 2.2 Производные высших порядков 9,75 0,75 0,25 0,5 9 5 Тема 2.3 Исследование функции и построение графиков функции 9,5 0,5 0,25 0,25 9   Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной действительной переменной 30 2,5 0,75 1,75 27,5 6 Тема 3.1 Первообразная функции и неопре-делённый интеграл 10,5 1 0,25 0,75 9,5 7 Тема 3.2 Определённый интеграл 9,75 0,75 0,25 0,5 9 8 Тема 3.3 Геометрическое и физическое приложение определённого интеграла 9,75 0,75 0,25 0,5 9

Итого:

72 6 2 4 66

 

 

3. Содержание программы и рекомендации к её самостоятельному изучению

Раздел 1. Теория пределов и непрерывность

Тема 1.1 Предел функции

Понятие бесконечной числовой последовательности. Возрастающие и убывающие числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой. Предел последовательности. Ограниченные величины. Основные теоремы о пределах. Свойства пределов. Признаки существования пределов. Неопределённости, виды неопределённостей. Предел функции. Число е. Натуральные логарифмы. Вычисление пределов функции. Два замечательных предела.

Практическое занятие. Вычисление пределов

 

Вопросы для самопроверки:

1. Какая последовательность называется числовой последовательностью?

2. Каким может быть характер изменение переменной величины?

3. Какому условию должна удовлетворять ограниченная переменная величина?

4. Приведите примеры ограниченных переменных величин.

5. Дайте определение бесконечно малой величины.

6. Дайте определение бесконечно большой величины.

7. Какая связь существует между бесконечно малой и бесконечно большой величинами?

8. Перечислите основные свойства бесконечно малых.

9. Перечислите теоремы о пределах и следствия из них.

10. Перечислите теоремы и следствия из них, на которых основано вычисление предела функции.

11. Что представляет собой число е?

12. Что называется приращением аргумента и приращением функции?

13. Какие два предела называются замечательными?

14. Какие виды неопределённостей вам известны?

15. Назовите основные теоремы о пределах?