Характеризация бесконечно-удалённой точки.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Когда мы вычисляем предел в точке , он может быть конечным, бесконечным либо не существовать. Аналогично этому, подобные ситуации могут быть и при вычислении предела при . Бесконечность не является точкой в плоскости, тем не менее, тип такого объекта как «бесконечно-удалённая точка» можно тоже классифицировать как и типы особых точек, с помощью предела.

Существует геометрическая модель, в которой бесконечно-удалённая точка присутствует на равных с другими точками. Поместим сферу над плоскостью в начало координат. Если от верхней точки S провести любую наклонную прямую, то она 1 раз пересечётся со сферой и 1 раз с плоскостью. Таким образом, каждой точке комплексной плоскости можно однозначно поставить в соответствие точку на сфере. При этом единственная точка, для которой нет образа на плоскости - это точка S. Она соответствует горизонтальной касательной, и можно поставить ей в соответствие «бесконечно удалённую точку».

Классификация как особой точки происходит аналогично, как и было для точки :

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример	=	=	=

Только в данном случае наоборот, полюс если степень m в числителе, а не в знаменателе. Например, для полюс порядка m.

В задачах можно делать замену и таким образом сводить изучение к изучению поведения функции в точке .

Пример. Определить тип точки для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого функция изменит вид так: = = .

Попутно заметим, что а значит и - полюс 3-го порядка.

Для точки , соответствующей , видим нуль 3-го порядка в числителе и 5-го порядка в знаменателе. Сократив дробь, можно получить . Тогда видно, что полюс 2-го порядка, а значит, полюс 2-го порядка.

Пример. Определить тип точки для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого функция станет , то есть полюс порядка m, значит полюс порядка m.

Пример. Определить тип точки для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого .

Если устремить к 0 со стороны положительной полуоси, то получается . Если со стороны отрицательной полуоси, то . А если со стороны мнимой оси, то предел вообще не существует: при , , и при этом , при этом = , т.е. при не существует предел ни действительной, ни мнимой части. Итак, приближаясь к (0,0) на плоскости с разных сторон, получаем разные результаты, а при приближении по некоторым траекториям предел даже не существует. Вывод: предел в точке не существует, а значит это существенно-особая точка.

Определение. Пусть замкнутый контур, внутри него точка , на самом контуре и внутри него нет особых точек, кроме . Тогда интеграл называется вычетом функции в точке и обозначается .

Теорема. Если простой полюс (т.е. 1-го порядка) то верна формула вычисления вычета: = .

Доказательство (ДОК 23). Если полюс 1-го порядка, то функцию можно представить в виде: , тогда верно . В то же время по интегральной формуле Коши: .Тогда .

= = = .

Что и требовалось доказать.

Выведем формулу для полюса порядка m.

Теорема. Если - полюс порядка m, то верна формула вычисления вычета: = .

Доказательство (ДОК 24). Запишем обобщённую формулу Коши для какой-нибудь функции , т.к. обозначение у нас уже использовано, оно будет применяться ко всей функции, которая в интеграле.