Распределение Бернулли

Проведем n независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти или не произойти. Все испытания имеют одинаковые условия и вероятность того, что событие произойдет в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через p, а  вероятность не совершения события через q (q=1-p).

Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и q ≡1- p соответственно. Таким образом: P ( X =1)= p , P ( X =0)= q .

Говорят, что событие {X=1} является «успехом», а событие {X=0} — «неудачей». Эти названия условны, и могут быть изменены, в зависимости от условий.

 Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие произойдет ровно k раз (и не произойдет n-k раз) обозначим через P_n(k ), тогда , где . Данную формулу называют формулой Бернулли.

Число k₀, которому при указанном n соответствует максимальная биноминальная вероятность P_n(k₀), называется наивероятнейшим числом появления события А.

При заданных значениях n и p число определяется неравенствами:

Следствие :

1. Если число – целое, то  имеет два значения:

.

2. Если число не является целым, то  - целая часть числа (np+p).

Характеристики распределения Бернулли

2. D[X]=pq

3.

4.

5.

6.

Примеры:

В тире Иван совершает 7 выстрелов по тарелкам с вероятностью попадания каждого 0,8. Какова вероятность того, что будет: а) ровно 4 попадания? б) не менее 5 попаданий?

Решение:

а) совершили n=7 независимых друг от друга испытаний с вероятностью попадания в тарелку в каждом из них p=0.8 . Вероятность того, что будет точно m=4 попаданий вычисляем по формуле Бернулли:

Ответ: вероятность равна 0.1147.

б) событие А, смысл которого в том, что при n=7 выстрелах будет не менее 5 попаданий, можно рассматривать как сумму трех несовместных событий: B – 5 попаданий из 7, событие C – 6 попаданий с 7 и D – все 7 выстрелов метки.

По формуле Бернулли находим вероятности событий:

Ответ: вероятность равна 0.8517.

Биноминальное распределение

Представим, что в одинаковых условиях мы проводим n независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью q ( q =1- p ). В каждой серии из n испытаний событие может либо не произойти, либо произойти 1 раз, 2 раза, … , n раз. Рассмотрим дискретную случайную величину X, где Х - «число произошедших событий при n испытаниях». Найдем закон распределения этой случайной величины. Величина X может принимать следующие значения: x₀= 0 , x₁=1 , x₂=2 , …, x_n=n.

Вероятность p_k того, что случайная величина X принимает значение x_k , вычисляется по формуле Бернулли:

 (k=0,1,2,…,n).

Закон распределения данной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биноминальным.

Постоянные n и p, и входящие в формулу Бернулли, называются параметрами биноминального распределения.

Биноминальный закон распределения дискретной случайной величины X можно представить в виде следующей таблицы:

xi	0	1	…	k	…	n
pi	qn		…		…	pn

Данная таблица строится следующим образом:

a)  при x=0 ,  - это означает, что в n испытаниях событие А не произойдет ни разу,

b)  при x=1, - вероятность того, что событие А произойдет один раз,

и т.д.,

c) при x=n, .