1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной: M (C)=C , где С=соnst.

Доказательство: константу C можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1, поэтому М(С)=С*1=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX )=CM ( X ) , С=соnst.

Доказательство: постоянную С можно рассматривать как случайную величину, причем С и X – независимые величины, поэтому:

М(СХ)=М(С)*М(Х)=С*М(Х).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M (X+Y)=M(X)+M(Y).

Доказательство:

Т.к  - представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина Х примет значение х _i . то .

4. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий: M(X-Y)=M(X)-M(Y).

Доказательство: .

5. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

Доказательство:

Пример:

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей:

Решение:

М(Х)=3*0.1+4*0.2+5*0.5+6*0.2+7*0.1=0.3+0.8+2.5+1.2+0.7=5.5

Неравенства выполняются: 3<5.5<7.

Ответ: математическое ожидание данной случайной величины равно 5.5.

2) Мода

Модой дискретной случайной величины называется ее значение, принимаемое, с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями и обозначается через М₀(Х).

Пример: Найти моду случайной величины Х, заданной следующим рядом распределения:

Решение: в силу определения М₀(Х)=1.

3) Моменты случайных величин

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х, называется математическое ожидание k-ой степени этой величины:

v_k(X)=M(X^k)

Для дискретной случайной величины Х начальный момент k-го порядка выражается суммой:

a)   если она принимает конечное множество значений.

b) , если дискретная случайная величина принимает счетное множество значений и при условии, что этот ряд сходится абсолютно.

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания, т.е . Центрирование случайной величины равносильно переносу начала отсчета в точку m_x =M (X).

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени центрированной случайной величины:

Центральный момент дискретной случайной величины Х выражается суммой:

a)  если она принимает конечное множество значений.

b)  если дискретная случайная величина принимает счетное множество значений и при условии, что ряд сходится абсолютно.

4) Дисперсия

Математическое ожидание квадрата соответствующей центральной величины называется дисперсией, или рассеянием:

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство: воспользуемся 1 свойством математического ожидания, D(C)=M[C-M(C)]²=M(C-C)²=M(0)=0.

2. Постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат: D(CX)=C²D(X).

Доказательство: в силу 2 свойства математического ожидания имеем, что .

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий: .

Доказательство: .

Величины X и Y независимы, поэтому величины X-M(X) и Y-M(Y) также независимы, следовательно: . Следовательно, D(X Y)=D(X)+D(Y).

Пример:

Найти дисперсию случайной величины, ряд распределения которой:

Решение:

М[X]=1×0.2+3×0.5+5×0.3=0.2+1.5+1.5=3.2. По определению,

D[X]=(1-3.2)²×0.2 + (3-3.2)²×0.5 + (5-3.2)²×0.3 = (-2.2)²×0.2 + (-0.2)²×0.5 + 1.82×0.3 = 4.84×0.2 + 0.04×0.5 + 3.24×0.3=1.96.

Ответ: дисперсия данной случайной величины равна 1.96.

5) Среднее квадратическое отклонение. Асимметрия и Эксцесс

В качестве характеристики рассеивания намного удобнее пользоваться числом, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины, поэтому дисперсия не всегда удобна и из нее извлекают корень квадратный.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии:

Коэффициентом вариации называют отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется для неотрицательной случайной величины в качестве характеристики «степени ее случайности».

Коэффициентом асимметрии А случайной величины Х, называется величина:

Коэффициентом эксцесса случайной величины Х, называется величина: