При решении вычислительных задач с использованием средств математических пакетов мы получаем результат, который, как правило, не является точным, поскольку при постановке задачи, и при вводе исходных данных, и в ходе вычислений возникают погрешности.

Источниками погрешностей вычислений могут быть:

1) Неточное математическое описание реальных объектов и процессов.

2) При построении или выборе математических моделей не учитываются многие параметры, которые, по мнению специалистов, оказывают несущественное влияние на результат решения задачи, что естественно, делает формализованное описание объекта исследования приближенным.

3) Неточное задание исходных данных, так как их значения, как правило, могут быть получены в результате эксперимента.

4) Применение приближенных методов решения формализованной математической задачи. Численные методы делятся на точные и приближенные. Вместе с тем, для большинства реальных задач точных методов решения вообще не существует. Получение точного решения задачи часто связано с большими, иногда и непреодолимыми трудностями, поэтому приходится прибегать к их приближенному решению.

5) Округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов. Возникающая при округлении погрешность называется вычислительной погрешностью или погрешностью округления.

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность [22, 23], которая определяется как Δ=|a-a*|, где a * – приближенное значение числа, незначительно отличающееся от его точного значения (a), имеющего те же единицы измерения, что и число а.

Относительная погрешность [20, 23], это погрешность, в которой значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения (a *≠0): 

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных, а измеряются в долях или процентах.

Если некоторые погрешности (например, погрешности, связанные с неточностью исходных данных или неточностью описания реальных процессов) являются неустранимыми, то на погрешность, связанную с использованием численных методов, реализованных в математических пакетах, можно влиять путем задания допустимой погрешности в качестве исходных данных. При этом математические модели, по которым производится оценка той или иной погрешности, могут быть включены в решатели, соответствующих задач.

Если решатели (совокупность средств, реализующих численные математические модели) в качестве параметра не содержат определение допустимой погрешности, то итерационные вычисления проводятся, ориентируясь на минимальное вещественное значение с двойной точностьюи формы выражения погрешностей вычислений.

В общем случае для полного анализа погрешностей желательно учитывать все их виды, но, следует помнить, что при решении нецелесообразно задавать допустимую погрешность существенно меньшей величины, чем погрешности, заложенные при математическом описании задачи и в исходных данных.

При решении инженерных задач оперируют с приближенными значениями величин, но выполнение действий над приближенными числами приводит также к приближенному числу, и имеет практическую ценность лишь тогда, когда можно указать степень точности, то есть оценить погрешность.

Использование выражений для абсолютных и относительных погрешностей не всегда возможно, так как точное число (a) чаще всего бывает неизвестно. Однако можно указать число, оценивающее абсолютное значение погрешности сверху. Максимальное положительное число, являющееся границей абсолютных значений погрешности, называется предельной абсолютной погрешностью [22]. Предельная абсолютная погрешность Δ_n а превышает абсолютное значение погрешности или, в крайнем случае, равна ей: Δ_n а≥ Δ.

В качестве примера определим предельную абсолютную и предельную относительную погрешности числа а=0.33, взятого в качестве приближенного значения числа a*=1/3.

Абсолютное значение погрешности числа а: Δ=|a-a*|=|1/3-0.33|.

Из всех чисел, удовлетворяющих неравенству, обычно выбирают наименьшее и простое по записи число, которое и будет предельной абсолютной погрешностью. В нашем случае предельная абсолютная погрешность будет составлять 1/300 или любое большее число.

Имея значение предельной абсолютной погрешности можно рассчитать и предельную относительную погрешность:

Таким образом, предельная относительная погрешность составляет порядка 10% или любое большее число.

Полиномы

2.1.1. Представление, создание и использование
полиномиальных объектов