Исходные данные: ежедневные суммарные зачисления по счетам юридических лиц за апрель месяц.

число месяца	день недели		сумма (тыс. руб)
1	ср		47
2	чт		44
3	пт		31
4	сб		28
5	вс
6	пн		42
7	вт		48
8	ср		39
9	чт		40
10	пт		38
11	сб		15
12	вс
13	пн		45
14	вт		53
15	ср		41
16	чт		27
17	пт		56
18	сб		25
19	вс
20	пн		51
21	вт		32
22	ср		49
23	чт		21
24	пт		35
25	сб		13
26	вс
27	пн		58
28	вт		59
29	ср		29
30	чт		30
числовой ряд (хi)		частота (mi)		частость ( =mi/n)		выборочная функция распределения
13		1		0,04		0,04
15		1		0,04		0,08
21		1		0,04		0,12
25		1		0,04		0,15
27		1		0,04		0,19
28		1		0,04		0,23
29		1		0,04		0,27
30		1		0,04		0,31
31		1		0,04		0,35
32		1		0,04		0,38
35		1		0,04		0,42
38		1		0,04		0,46
39		1		0,04		0,50
40		1		0,04		0,54
41		1		0,04		0,58
42		1		0,04		0,62
44		1		0,04		0,65
45		1		0,04		0,69
47		1		0,04		0,73
48		1		0,04		0,77
49		1		0,04		0,81
51		1		0,04		0,85
53		1		0,04		0,88
56		1		0,04		0,92
58		1		0,04		0,96
59		1		0,04		1,00

График выборочной функции распределения .

Теперь построим интервальный вариационный ряд. Рассчитаем длину интервала по формуле , где а — верхняя граница и b — нижняя граница для интервалов, v  — количество интервалов. Для данного примера а = 59, b = 13, v = 6, а h = 9.

интер-валы [ai-ai+1)	сере- дина интер-вала (yi)	частота (mi)	частость ( )	выборочная функция распределе-ния	выборочная плотность ( )
9-18	13,5	2	0,08	0,08	0,22
18-27	22,5	2	0,08	0,16	0,22
27-36	31,5	7	0,27	0,43	0,78
36-45	40,5	6	0,23	0,66	0,67
45-54	49,5	5	0,19	0,85	0,56
54-63	58,5	4	0,15	1	0,44

График функции распределения  выглядит следующим образом.

Многоугольник интервальных частостей дает более наглядное представление о закономерности изменения ежедневных денежных потоков, т.к. суммы зачислений в разные дни различны и их можно анализировать только по их вхождению в какой-либо интервал.

Выборочное среднее считается следующим способом:

1. непосредственно по исходным данным , .

2. по дискретному вариационному ряду

, где v — число вариантов выборки, но в данном примере v = n. .

3. по интервальному вариационному ряду

, таким образом можно найти лишь приближенное значение выборочной средней. .

Аналогом дисперсии является выборочная дисперсия:

1. непосредственно по исходным данным , .

2. по дискретному вариационному ряду , .

3. по интервальному вариационному ряду приблизительное значение , .

Среднее квадратическое отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.

1.

2.

3.

Исследуемая нами большая совокупность называется генеральной совокупностью. Теоретически может быть бесконечной В данном примере выборка состоит из 26 элементов. Понятия генеральной совокупности и случайной величины взаимозаменяемы.

Любая функция от выборки называется статистикой.

Пусть — некоторый параметр с.в. Х. Мы хотим определить хотя бы приближенно, значение этого параметра. С этой целью подбираем статистику , которая должна оценивать, может быть приближенно, параметр .

Заметим, что любая статистика есть с.в., поскольку она определена на выборках. Статистику , определенную на выборках объемом n, будем обозначать .

Статистика должна удовлетворять следующим требованиям: 

1. состоятельность. Статистика-оценка должна сходиться к оцениваемому параметру при .

2. несмещенность.  для всех достаточно больших n.

Генеральная средняя удовлетворяет обоим условиям, поэтому составляет , но генеральная дисперсия удовлетворяет лишь первому условия, поэтому ее “подправляют”, умножая на . В результате, . Это и является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Для построения графика выборочной функции плотности рассчитывается выборочная плотность  (см. выше).

Теперь отметим на графике  и интервалы и , если .

Площадь многоугольника, опирающегося на интервал , примерно равна 3/4, а площадь многоугольника, опирающегося на интервал , равна единице.

Предположим, что размер ежедневного суммарного зачисления по счетам юридических лиц, обозначим его через случайную величину Х, имеет нормальный закон распределения , тогда плотность распределения вероятностей равна , а функция распределения .

Отметим полученные точки на графике

Положение о нормальном законе распределения не противоречит исходным данным.

Вероятность попадания ежедневного суммарного зачисления по счетам юридических лиц в интервал  равна 0.364, в интервал  — 0,996.

Теперь рассчитаем, за сколько дней надо иметь информацию, чтобы с вероятностью не менее 0.9 можно было ожидать, что вычисленное по этой информации среднее зачисление отличается от генерального среднего зачисления по абсолютной величине не более, чем на 10% величины среднего зачисления.

1. Используя неравенство Чебышева.

2. Используя центральную предельную теорему.

Исходные данные — ежедневные суммарные списания со счетов юридических лиц за апрель месяц.

Построим интервальный вариационный ряд и график выборочной функции плотности.

интер-валы [ai-ai+1)	сере- дина интер-вала (yi)	частота (mi)	частость ( )		выборочная функция распределе-ния	выборочная плотность ( )
8-16	12	1	0,04	0,04		0,005
16-24	20	2	0,08	0,12		0,010
24-32	28	5	0,19	0,31		0,024
32-40	36	4	0,15	0,46		0,019
40-48	44	6	0,23	0,69		0,029
48-56	52	5	0,19	0,88		0,024
56-64	60	3	0,12	1,00		0,014

Выборочная функция плотности.

Найдем несмещенные выборочные оценки

1. генеральной средней

2. дисперсии , .

Предположим, что размер ежедневных суммарных списаний со счетов юридических лиц — нормально распределенная случайная величина, тогда функция плотности .

Нанесем точки на график

Предположение о нормальном законе распределении не противоречит исходным данным.