Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть неравенству вида  или , где и - рациональные алгебраические выражения относительно переменной . Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

(1)

или

(2),

называется уединением радикала.

    Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. .

II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. .

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого неравенства является в то же время решением неравенства (при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства (поскольку ). Значит, неравенство

(3)

равносильно системе неравенств:

где и следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

           Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).

Теорема 1. Неравенство вида равносильно системе неравенств:

           Аналогично для неравенств вида .

Теорема 2. Неравенство вида равносильно системе неравенств

    Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

(4)

    Оно равносильно системе

(5)

    Но в отличие от неравенства (3) может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев и , получим совокупность систем:

    В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как следствие двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего неравенства можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).

Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств

    Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить - оно является следствием последнего неравенства системы.

Теорема 3. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

Аналогично.

Теорема 4. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств

    Неравенства вида , , , являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда .

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме 1 оно равносильно системе неравенств:

           Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях . Поэтому решения последней системы таковы: .

Ответ:  

Пример 2. Решить неравенство

Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем неравенств

Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.

Решение первой системы:

Второй:

Получаем совокупность

Ответ: и .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если и .

Итак, решением неравенства является исключая .

Ответ: .

II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. . Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

При при возведении в степень знак не изменится, т.к. , . Значит при .

может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может стоять как отрицательная, так и положительная функция.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Возведем в куб обе части неравенства:

или

Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ: .