Клиент банка получил заем в S денежных единиц при ставке p процентов. В конце каждого периода заемщик должен возвращать банку по W единиц, за исключением может быть последнего периода, когда его задолженность Z окажется меньшей W. В этом случае необходимо возвратить Z единиц. Подсчитать количество периодов, необходимых для расчета заемщика с банком.

Решение. Организуем рекурсию по величине долга в конце каждого периода. Если R=S×(1+p/100) -W£0, то полностью расплатиться удастся за один период, и условие R£0 можно взять в качестве базы рекурсии. Нетрудно понять, что при R=S долг всегда будет одним и тем же, а при R>S он будет возрастать. Таким образом, при R³S рассчитаться с долгом вообще не удастся. Пусть R<S. Декомпозицию проведем, исходя из такого утверждения. Если с долгом величиной S можно рассчитаться за k периодов, то с долгом величиной R удастся рассчитаться за k-1 период. Эти соображения и легли в основу формирования функции number(S,p,W):

 (38)

Разберем еще один вариант решения данной задачи. Пусть a=1+p/100. Тогда:

 - долг через 1 период;

 - долг через 2 периода;

… … …

 - долг через k периодов;

Отсюда, прежде всего, вытекает, что с долгом удастся расплатиться, если S×p/100<W, то есть его увеличение за первый период должно быть меньше разового платежа. Впрочем, это было ясно и из предыдущих рассуждений. Далее, последнее соотношение говорит о том, что при S×p/100<W долг будет погашен через k периодов, где k - наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству:

Рассмотрим рекурсивную функцию number1(S,p,W,k):

 (39)

с некоторым вспомогательным натуральным аргументом k. Ясно, что при обращении к ней с любыми значениями S, p и W (S×p/100<W) и k=1 получим решение исходной задачи. Обратите внимание на отсутствие отложенных вычислений при реализации number1(S,p,W,k).

Контрольные примеры.

Замечание. Из предыдущих рассуждений вытекает, что решение задачи 16 можно получать так. Вычислить значение функции

(логарифм десятичный) и взять наименьшее целое, большее или равное num(S,p,W).

Рассмотрим еще одну задачу, проливающую свет на то, как банки “делают деньги”. Пусть имеется система из n банков B1, B2,..., Bn, для каждого из которых установлена норма резервов в p процентов. Это означает, что любой из этих банков p процентов своих наличных денег должен хранить в некотором Центральном банке B0 в виде обязательных резервов. Остальные деньги являются свободными резервами банков. Их можно давать в кредит под определенные проценты, вкладывать в различные проекты, а из полученных доходов выплачивать вкладчикам проценты за пользование их деньгами.