Некто занял pv денежных единиц на nper периодов при процентной ставке в rate процентов за период. Платежи ppmt по займу должны иметь одинаковую современную стоимость и производиться в конце (type=0) или начале (type=1) каждого периода. Определить величину платежа в период per (per=1,2,…,nper).

Решение. Данная задача может быть решена с помощью встроенной в Excel функции ppmt(rate,per,nper,pv,type). Получим её рекурсивную реализацию. Пусть pk (k=1,2,…,nper) - последовательные платежи.

Рассмотрим сначала случай type=0. Современные стоимости всех платежей должны совпадать. Отсюда

 (25)

Но

 (26)

Аналогично при type=1 получим

 (27)

Из соотношений (25), (26) и (27) нетрудно получить соответствующие формулы для случая произвольного значения type. Выглядят они так:

Теперь ясно, что брать в качестве базы рекурсии, и как организовать декомпозицию по периодам при построении функции ppmt(), а также как получить конечную формулу (ppmt1) для решения исходной задачи:

Контрольные примеры.

Задача о платежах на проценты

Некто взял заем в pv денежных единиц при ставке rate процентов за период. Возврат долга должен быть произведен nper равными платежами в конце каждого периода. Подсчитать платеж ipmt в период per (1£per£nper), составляющий часть общего платежа, равную приросту долга по процентам за этот период.

Решение. Данная задача может быть решена с помощью встроенной в Excel функции ipmt(rate,per,nper,pv). Получим её рекурсивную реализацию. Общая величина платежа pmt в каждый из периодов может быть вычислена так (см. задачу 11 при type=0):

Базой рекурсии будем считать случай per=1. К концу первого периода часть долга, приходящаяся на проценты, будет равна pv×rate/100. Декомпозицию проведем, опираясь на такие соображения. Решать исходную задачу, вычисляя ipmt в период per - это то же самое, что решать укороченную на один период задачу, но с начальным займом в pv×(1+rate/100) -pmt денежных единиц. Тогда решение задачи можно получать с помощью пары функций ipmt() и ip(). Первая из них вычисляет вспомогательную величину pmt - размер общих платежей в конце каждого периода, и передает её в качестве формального параметра функции ip(), в которой и организуется описанный рекурсивный процесс:

Вывести конечную формулу (ipmt1) для решения задачи можно так. Остаток долга после завершения (k-1) - го периода равен:

Тогда увеличение долга по процентам за k-ый период можно подсчитать так:

Но это и есть прирост долга по процентам за k-ый период. И окончательно имеем:

Контрольные примеры.

Разные задачи