Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Одним из первых явлений, которое стали рассматривать любопытные греки, было движение. На первый взгляд можно предположить, что движение является признаком жизни; в конце концов, люди и, например, кошки свободно двигаются, а камни и неживые тела — нет. Можно придать камню движение, но обычно посредством импульса, данного ему живым существом.

Однако этот первоначальный взгляд — не верен, так как имеется много примеров движения, в которые жизнь не вовлечена. Движение небесных тел или порыв ветра происходят сами по себе. Конечно, можно было бы предположить, что небесные тела передвигаются ангелами и что ветер является дыханием бога штормов, и действительно, такие объяснения были общеприняты в большинстве обществ в течение многих столетий. Греческие философы, однако, принимали только те объяснения и вовлекали в них только ту часть Вселенной, которая могла бы быть объяснена на основе явлений, поддающихся определению человеческими чувствами. Это исключило и ангелов, и штормовых богов. Кроме того, имелись и менее глобальные примеры движения. Дым костра поднимался вверх. Камень, отпущенный в воздушном пространстве, быстро падал вниз, хотя он не получал никакого импульса в этом направлении. Конечно же даже наиболее мистически настроенный индивидуум не был готов предположить, что каждый клуб дыма, каждый кусочек падающего материала содержит маленького бога или демона, заставляющего его двигаться туда или сюда.

Греческие понятия по данному вопросу были обобщены в достаточно сложной форме философом Аристотелем (384−322 до н.э.). Он утверждал, что каждая из различных фундаментальных видов материи («элементов») имеет свое собственное естественное место во Вселенной. Элемент «земля», в который были включены все окружающие нас твердые материалы, естественно, был расположен в центре Вселенной. Вся материальная, «земляная», часть Вселенной собралась там и сформировала мир, в котором мы живем. В том случае, если бы каждая часть элемента «земля» расположилась так близко к центру, насколько это возможно, Земля должна была бы принять форму сферы (это в действительности было одной линией в рассуждениях, использованных Аристотелем, для доказательства того, что земля имеет сферическую форму, а не плоскую).

Элемент «вода» располагался естественным образом относительно поверхности сферы «земли», элемент «воздух» располагался естественным образом относительно поверхности сферы «воды», и элемент «огонь» располагался естественным образом вне поверхности сферы «воздуха».

Понятно, что можно вывести любую схему строения Вселенной, но в то же время понятно, что не имеет смысла тратить время на то, что ни в коей мере не подтверждается реальностью, то есть на то, что не находит подтверждения благодаря нашим органам чувств, В данном случае наблюдения на первый взгляд поддерживают аристотелевское представление о Вселенной. Наши чувства сообщают нам, что Земля действительно находится в центре Вселенной; водное покрытие в виде океанов и морей занимает большую часть Земли; воздух простирается относительно земли и моря и в воздушных просторах даже имеются свидетельства существования сферы огня, которая проявляет себя во время штормов и гроз в виде молнии.

Рассуждение Аристотеля о том, что каждая форма материи имеет свое естественное место во Вселенной, — типичный пример «аксиомы». Аксиому принимают без доказательств, некорректно говорить об истинности или ложности аксиомы только потому, что не доказано иное. (Если имелось бы доказательство иного, то это больше бы не было аксиомой.) Аксиомы лучше рассматривать с точки зрения их полезности или бесполезности в зависимости оттого, насколько выводы из них соотносятся с реальностью. Если две различные аксиомы или серии аксиом приводят к выводам, которые соответствуют действительности, то более полезна та, которая объясняет больше.

С другой стороны, кажется очевидным, что именно аксиомы являются наиболее слабыми точками в любом аргументированном споре, поскольку они должны быть приняты «на веру», в то время как основой философской науки является ее рационализм. Но ведь для того чтобы начать, нужно иметь «отправную точку», то есть аксиому. Мы должны постараться ограничить себя минимальным количеством аксиом, насколько это возможно. Поэтому из двух теорий, которые объясняют одни и те же области Вселенной, более правильной следует считать ту, которая основывается на меньшем количестве аксиом. Эту точку зрения высказал средневековый английский философ Уильям Оккам (1300? — 1349?), и в честь его метод уменьшения ненужного количества аксиом назван «бритвой Оккама».

Аксиома о «естественном месте» казалась грекам весьма полезной. Предположив, что такое естественное место существует, казалось разумным предположить, что всякий раз, когда объект оказывается вне своего естественного места, он старается вернуться в него, как только представится случай. Например, камень, который мы держим в руке, в воздухе дает нам понять о своем «желании» вернуться на поверхность земли — свое естественное место — силой, которой он давит на нашу руку. Из этого можно сделать вывод, что он имеет вес. Если мы перестанем поддерживать камень рукой, то он быстро начнет перемещаться к своему естественному месту, то есть падать вниз. При помощи такого же рассуждения мы можем объяснять, почему языки огня стремятся вверх, почему галька падает сквозь воду на дно и почему воздушные пузыри поднимаются сквозь воду вверх.

Ту же аргументацию можно использовать, чтобы объяснить, почему идет дождь. Когда под действием тепла солнца вода испаряется («превращается в воздух», как сказали бы древние греки), пары быстро поднимаются вверх в поиске своего естественного места. Но как только те же пары снова преобразуются в жидкость, воду, последняя падает на землю в виде капель в поисках своего естественного места.

Из аксиомы о «естественном месте» можно сделать и дальнейшие выводы. Как известно, одни объекты тяжелее других. Более тяжелый объект «толкает» руку вниз с большим «рвением», чем это делает более легкий объект. Конечно же если освободить каждый из них, то более тяжелый объект выразит свое большее «рвение» возвратиться на свое естественное место, падая быстрее, чем более легкий объект. Так что Аристотель поддерживал и это, действительно кажущееся естественным, заключение, потому что легкие объекты типа перьев, листьев и снежинок дрейфовали вниз медленно, в то время как камни или кирпичи падали быстро.

Но может ли эта теорий выстоять против искусственно созданных трудностей? Например, объект может быть вынужден покинуть свое естественное место, как в случае, когда мы бросаем камень в воздух. Первоначально движение камня вызвано мускульным импульсом, но, как только камень отделяется от руки, она больше не прикладывает импульс к нему. Почему же тогда камень сразу не возобновляет свое естественное движение и не падает на землю? Почему он продолжает подниматься в воздух?

Аристотель объяснял это тем, что данный импульс от камня был передан воздуху и что воздух как бы несет камень. Но поскольку импульс передается от точки к точке, в воздухе он слабеет, и начинает возобладать естественное движение камня. Восходящее движение камня замедляется и в конечном счете превращается в нисходящее движение, пока, наконец, камень не возвратится на свое естественное место — на землю. Сила руки или катапульты не может в конечном счете преодолеть естественное движение камня. (Как говорится: «Кто поднялся — упадет» — «Whatever goes up must come down».)

Из этого следует, что вынужденное движение (отрыв от естественного места) должно неизбежно уступить естественному движению (обратно к естественному месту) и что естественное движение в конечном счете приведет объект к его естественному месту. Оказавшись там, объект прекратит перемешаться, так как ему некуда больше двигаться. Поэтому состояние «покоя», или недостаток движения, является естественным состоянием любого объекта.

Это также соотносится с наблюдением, что все брошенные объекты возвращаются на землю и останавливаются; вращение или скольжение объектов тоже останавливается и даже живые объекты не могут двигаться вечно. Если мы поднимаемся в гору, то делаем это с усилием, и, поскольку импульс в наших мускулах постепенно слабеет, мы вынуждены периодически отдыхать. Даже самые слабые движения требуют некоторого усилия, и импульс, находящийся в пределах каждого живого существа, в конечном счете бывает растрачен. Живой организм затухает и возвращается к естественному состоянию покоя. («Все люди смертны».)

Но как же быть с небесными телами? В отношении их позиция кажется весьма отличной от той, с которой мы рассматривали объекты на земле. Естественное движение небесных тел кажется круговым, в отличие от движения вверх-вниз земных тел, и они не кажутся приближающимися или удаляющимися от земли.

Аристотель мог только заключить, что небеса и небесные тела сделаны из материи, которая не была ни землей, ни водой, ни воздухом, ни огнем. Этот пятый «элемент» он назвал «эфир» (греческое слово, означающее «сверкание», ведь, как известно, небесные тела часто испускают свет).

Естественное место пятого элемента было вне сферы огня. Почему же тогда, несмотря на то что божественные тела находились в своем естественном месте, они не оставались в покое? Некоторые школяры в конце концов высказали предположение, что небесные тела двигаются под воздействием ангелов, которые катают их по небесам, но Аристотеля не могли удовлетворить такие легкие объяснения. Вместо этого он был вынужден ввести новую аксиому, предполагающую, что законы, управляющие движением небесных тел, отличаются от законов, управляющих движением земных тел. Если естественным состоянием земных тел является покой, то на небесах естественным состоянием является бесконечное круговое движение.

 

 

Недостатки в теории

 

Я так подробно рассматриваю представление греков о движении потому, что это была физическая теория, разработанная одним из самых великих умов в истории человечества. Эта теория, казалось, объясняла так много, что она была признана большими учеными на протяжении более чем двух тысяч лет; однако в конце концов все ее положения были заменены другими теориями, которые различались с ней практически по всем пунктам.

Аристотелевское представление Вселенной казалось таким логическим и верным. Почему же тогда оно было заменено? А если было неверным, то почему так много людей в течение такого долгого времени полагали, что оно верно? И что же в конечном счете случилось такое, что заставило их изменить свое мнение относительно правильности теории строения мира «по Аристотелю»?

Метод «сомнения в любой теории» (уважаемый и установленный еще в давние времена) показывает, что из постулатов Аристотеля могут быть выдвинуты два противоречащих друг другу заключения.

Например, камень, брошенный в воду, падает более медленно, чем тот же самый камень, брошенный в воздух. Можно бы было сделать вывод, что чем тоньше материя, сквозь которую падает камень, тем быстрее он движется по пути к своему естественному месту. Но если на пути камня нет вообще никакой материи («вакуум» — от латинского слова, означающего «пустой»), то и камень будет двигаться с бесконечно большой скоростью.

Некоторые ученые отмечали этот момент, и так как они чувствовали, что бесконечная скорость была невозможна, то утверждали, что этот аргумент доказывает невозможность существования вакуума. (Поговорка, которая возникла тогда и которую мы до сих пор употребляем: «Природа не терпит пустоты» — «Nature abhors a vacuum».)

С другой стороны, согласно представлениям Аристотеля, когда камень брошен, на него воздействует импульс, проводимый воздухом, что и делает возможным движение камня в заданном направлении. Если бы воздуха не было, а был бы вакуум, не существовало бы ничего, что могло бы переместить камень. Хорошо, что же тогда бы делал камень в вакууме: перемещался бы с бесконечно большой скоростью или вообще не двигался? Любое утверждение кажется справедливым.

Пожалуйста, вот еще одно противоречие. Предположим, что имеются два груза: весом в один фунт и в два фунта. Позвольте им упасть. Двухфунтовый вес, являющийся более тяжелым, больше стремится достичь своего естественного места и поэтому падает быстрее, чем однофунтовый вес. Теперь положите эти два груза вместе в крепко завязанный мешок и отпустите их. Можно утверждать, что двухфунтовый груз будет сдержан в этих гонках вниз своим менее торопливым однофунтовым соседом. Таким образом, средняя скорость падения будет промежуточная — меньше, чем у двухфунтового груза, падающего в одиночку, и больше, чем у однофунтового груза, если бы он падал один.

С другой стороны, можно утверждать, что двухфунтовый груз и однофунтовый груз вместе сформировали единую систему, весящую три фунта, которая должна падать более быстро, чем один двухфунтовый груз. Хорошо, тогда все-таки система падает быстрее или медленнее, чем двухфунтовый груз? Похоже, что и здесь две различные, но одинаково справедливые точки зрения на один и тот же вопрос.

Такое более внимательное рассмотрение указывает на слабости в теории, но в реальности оно редко приводит к ее отрицанию. Сторонники теории обычно выдвигают контрдоводы. Например, можно сказать, что в вакууме естественное движение становится бесконечным по скорости, в то время как принудительное движение становится невозможным. Можно было бы доказывать, что скорость падения двух связанных весов зависит от того, насколько сильно и прочно они скреплены, и так далее.

Второй метод испытания теории (который оказывается гораздо более действенным) состоит в том, чтобы, получив необходимое заключение из теории, затем тщательно проверить его на практике.

Например, двухфунтовый объект осуществляет давление на руку в два раза сильнее, чем однофунтовый. Достаточно ли этого, чтобы сказать, что двухфунтовый объект упадет быстрее, чем однофунтовый? Если двухфунтовый объект «показывает» в два раза большее «рвение» возвратиться к своему естественному месту, говорит ли это о том, что он должен падать в два раза быстрее? Почему бы не проверить этот факт? Почему бы не получить точные данные и не сравнить их, чтобы выяснить: действительно ли двухфунтовый объект падает в два раза быстрее однофунтового? Если данные не совпадут, то, конечно, греческую теорию движения следует пересмотреть. Если, с другой стороны, двухфунтовый вес действительно падает в два раза быстрее, то это послужит лишним подтверждением греческой теории движения.

И все же такое преднамеренное испытание (или, как мы его теперь называем, — «эксперимент») не было проведено не только Аристотелем, но и в течение двух тысяч лет после него. Причина этого двойственна. Во-первых, теоретический аспект.

Древние греки достигли самых больших успехов в геометрии, которая имеет дело с абстрактными концепциями типа точек нулевого размера и прямых линий, не имеющих ширины. Они достигли результатов большой простоты и общности, которых они не могли бы получить, измеряя реально существующие объекты. Это привело, в частности, к возникновению мнения, что реальный мир груб, неправильно устроен и что, основываясь на нем, нельзя разрабатывать абстрактные теории Вселенной. Безусловно, были древние греки, которые экспериментировали и получали важные заключения именно в результате этих экспериментов; например, Архимед (ок. 287 — 212 до н.э.) и Герон (начало I века н.э.). Однако и в древние, и в Средние века была более широко принята форма вычитания из нескольких предположений по сравнению с испытанием экспериментированием.

Вторая причина была чисто практическая. Эксперимент не всегда столь же легко поставить, как это можно было бы предположить. Нетрудно проверить скорость падающего тела в наш век секундомеров и электронных методов измерения коротких интервалов времени. Но всего лишь три столетия назад не существовало никаких часов, приспособленных для измерения коротких интервалов времени, и немногие хорошие измерительные приборы любого типа ценились на вес золота.

Положив в основу «чистую» теорию, древние философы действительно сделали то, на что они больше всего были способны, что же касается их кажущегося презрения к экспериментированию — тут типичный случай, когда из вынужденной необходимости делают достоинство[2].

Ситуация медленно начала изменяться только в конце Средневековья. Все большее число ученых начали оценивать значение экспериментирования как метода испытания теорий и повсеместно начали пробовать разрабатывать методики проведения экспериментов.

Экспериментаторы не имели значительного влияния на науку вплоть до появления на сцене итальянского ученого Галилео Галилея (1564–1642). Он не изобретал экспериментирования, но сделал его показательным, захватывающим и популярным. Его эксперименты с движением были настолько изобретательны и убедительны в доказательстве, что они не только начали разрушение аристотелевской физики, но и продемонстрировали раз и навсегда потребность науки в экспериментаторстве. Именно от Галилео (он больше известен по имени[3]) и начинается отсчет даты рождения «экспериментальной науки», или просто — «современной науки».

 

Глава 2.

ПАДЕНИЕ ТЕЛ

 

Наклонные плоскости

 

Главной трудностью, с которой столкнулся Галилео, была проблема хронометрирования. Он не имел часов, достойных своего названия, так что был вынужден импровизировать. Например, он использовал контейнер с маленьким отверстием в основании, из которого вода капала в кастрюлю с достаточной равномерностью. Узнав вес воды, которая перетекла между двумя событиями, можно узнать затраченное время.

Конечно, данный способ не подходит для измерения времени нахождения тел в «свободном падении», то есть беспрепятственном падении вниз. Свободное падение с любой разумной высоты закончится слишком быстро, и количество воды, собранной за время падения, слишком мало, чтобы сделать даже приблизительно точные замеры времени.

Поэтому Галилео решил использовать наклонную плоскость. Гладкий шар будет катиться вниз по гладкому углублению на такой плоскости с явно более низкой скоростью, чем двигался бы в свободном полете. Кроме того, если уменьшить наклон этой плоскости к горизонтали, то шар будет катиться все менее и менее быстро; при точно горизонтальной плоскости шар не будет катиться вообще (по крайней мере, из состояния покоя). Этим методом можно замедлить скорость падения до уровня, при котором даже грубые устройства измерения времени начинают выдавать достаточно точные результаты.

Можно спросить: а может ли движение вниз по наклонной плоскости дать результаты, которые справедливо применять и для случая свободного падения? Кажется вполне разумным предположить, что может. Если что-то истинно для любого из углов, под которым находится наклонная плоскость, оно должно быть истинно и для свободного падения, поскольку свободное падение можно рассматривать как качение вниз по наклонной плоскости, максимально отклоненной по отношению к горизонтали, то есть под углом 90 градусов.

Например, можно легко видеть, что достаточно тяжелые шары различных весов катятся вниз по одной и той же наклонной плоскости с одной и той же скоростью. Это правило является истинным для любого угла к горизонтали, под которым отклонена наклонная плоскость. Если плоскость отклонить более резко, шары покатятся быстрее, но все они одинаково увеличат скорость своего движения и в конечном итоге покроют одно и то же расстояние за одно и то же время. Справедливо будет заключить, что свободно падающие тела пролетят равные расстояния за равное время независимо от их веса. Другими словами, тяжелое тело не будет падать более быстро, чем легкое тело, что не соответствует точке зрения Аристотеля.

(Существует известная история о том, что Галилео доказал это, бросив два объекта различного веса с наклонной Пизанской башни, и они ударились о землю одновременно. К сожалению, это — только легенда. Историки совершенно уверены, что Галилео никогда не проводил такого эксперимента, но вот голландский ученый Симон Стевин (1548–1620) производил подобные измерения за несколько лет до экспериментов Галилео. В холодном мире науки, однако, осторожные и исчерпывающие эксперименты вроде тех, что проводил Галилео с наклонными плоскостями, иногда значат больше, чем некоторые сенсационные демонстрации.)

Все же можем ли мы действительно так легко расстаться с аристотелевскими представлениями о движении? Нет никаких сомнений в справедливости утверждения того, что скорости движения шаров по наклонной плоскости равны, но, с другой стороны, не менее справедлив и тот факт, что мыльный пузырь падает гораздо медленнее, чем шарик от пинг-понга того же самого размера, и что шарик от пинг-понга падает гораздо более медленно, чем твердый деревянный шар того же самого размера.

Однако этому имеется объяснение. Объекты не падают сквозь ничто, они падают сквозь воздух, и, чтобы падать, они должны, если можно так выразиться, «раздвинуть» воздух. Мы можем принять точку зрения, что процесс «раздвигания» воздуха занимает время. Тяжелое тело осуществляет сильный нажим и легко «раздвигает» воздух, «проталкивая» его мимо себя, и поэтому не теряет фактически никакого времени. Не имеет значения, сколько весит тело: один фунт или сотню фунтов. Однофунтовый вес испытывает такое малое сопротивление воздуха в процессе его «раздвигания», что вес в сотню фунтов едва ли может улучшить этот результат. Поэтому оба веса падают на равные расстояния за равное время[4]. Действительно, легкое тело типа шарика для пинг-понга нажимает на воздух настолько мягко, что из-за этого испытывает значительное сопротивление в «раздвигании» воздуха на своем пути и поэтому падает медленно. По той же причине мыльный пузырь падает вообще еле заметно.

Можно ли использовать это объяснение «воздушного сопротивления» как соответствующее истине? Или это только выдумка, призванная объяснить неудачу обобщения Галилео для реальных условий жизни? К счастью, данный вопрос может быть проверен. Сначала предположите, что у вас есть два объекта равного веса, причем первый — сферический и компактный, а другой — широкий и плоский. Широкий плоский объект вступает в контакт с воздухом по более широкому фронту и, чтобы упасть, должен «раздвинуть» большее количество воздуха на своем пути. Поэтому он будет испытывать большее сопротивление воздуха, чем компактный сферический объект, и будет падать медленнее, несмотря на то что оба объекта имеют равный вес. Проверка показывает, что все верно. Действительно, если лист бумаги смят в шарик, то он падает быстрее, потому что он преодолевает меньшее сопротивление воздуха. Я упомянул этот эксперимент как один из тех, которые древние греки могли бы легко выполнить и благодаря которому они могли бы обнаружить, что что-то неладно с аристотелевским представлением о движении.

Еще более безошибочным тестом было бы избавиться от воздуха и позволить телам падать в вакууме. В среде, где отсутствует сопротивление воздуха, все тела, независимо от того, легкие они или тяжелые, должны падать на равные расстояния за равные промежутки времени. Галилео был убежден, что это так, но в его время проверить это было невозможно, так как не существовало способов создания вакуума. В позднейшие времена, когда вакуум уже научились создавать, эксперимент по совместному падению перышка и свинцовой глыбы, с целью подтверждения факта их одновременного приземления, стал достаточно заурядным. Таким образом, можно сказать, что сопротивление воздуха — вполне реальное явление, а не только средство спасения престижа.

Конечно, это поднимает вопрос, оправданно ли, ради изложения простого правила, описывать Вселенную в нереальных условиях? Правило Галилео о том, что все объекты любого веса падают на равные расстояния в равное время, может быть выражено в очень простой математической форме. Однако правило это истинно только в физическом вакууме, который фактически не существует. (Даже лучший вакуум, который мы можем создать, даже вакуум межзвездного пространства не является абсолютным.) С другой стороны, мнение Аристотеля о том, что более тяжелые объекты падают более быстро, чем легкие, — истинно, по крайней мере до некоторой степени, в реальном мире. Однако его нельзя привести к простому математическому выражению, поскольку скорость падения тел зависит не только от их веса, но также и от их формы.

Можно считать, что следует придерживаться реальности любой ценой. Однако хотя это может быть и правильно с моральной точки зрения, такой подход далеко не самый полезный и удобный. Сами греки в своей геометрии предпочли идеальный подход реальному и продемонстрировали, что гораздо больших результатов можно достигнуть рассмотрением абстрактных линий и форм, чем изучением реальных линий и форм мира; большее понимание, полученное при помощи абстракции, можно удачно применять при подходе к той самой действительности, которая игнорировалась в процессе получения знания.

Почти четыре столетия опытов, начиная с эпохи Галилео, показали, что часто более полезно отбыть из реального мира и построить «модель» изучаемой системы; в такой модели отбрасываются некоторые из усложнений, поэтому из оставшегося Может быть создана простая и обобщенная математическая структура. Как только это сделано, мы можем начать восстанавливать один за другим факторы усложнения и соответственно изменять взаимоотношения. Попытка же учесть все взаимосвязи сложностей действительности без предварительной разработки упрощенной модели является настолько трудным делом, что фактически никогда не была предпринята, и мы смеем предположить, что если бы такая попытка и была предпринята, то вряд ли бы увенчалась успехом.

Таким образом, бесполезно судить, являются ли взгляды Галилео «истинными», а Аристотеля «ложными» или наоборот. В отношении скоростей падения тел имеются аргументы, которые поддерживают как одну точку зрения, так и другую. Что мы можем сказать наверняка, так это то, что взгляды Галилео на движение, как оказалось, объяснили намного больше и в более простой форме, чем это сделали взгляды Аристотеля. Поэтому Галилеево представление о движении было гораздо более пригодным. Последнее было признано вскоре после того, как были описаны эксперименты Галилео и аристотелевская физика рухнула.

 

 

Ускорение

 

Если мы будем измерять расстояние, пройденное телом, катящимся вниз по наклонной плоскости, мы обнаружим, что тело последовательно покрывает все большие и большие расстояния за равные временные интервалы.

То есть мы видим, что в первую секунду тело прошло расстояние в 2 фута; в следующую секунду оно прошло уже 6 футов при полном расстоянии в 8 футов; в третью секунду — 10 футов при расстоянии в 18 футов; в четвертую секунду — 14 футов при полном расстоянии в 32 фута. Ясно, что с течением времени шар катится все более и более быстро.

Это само по себе не идет вразрез с аристотелевской физикой, поскольку теория Аристотеля не говорит ничего относительно того, как изменяется со временем скорость падающего тела. Фактически это увеличение в скорости соотносится с аристотелевским представлением, поскольку можно сказать, что, так как тело приближается к своему естественному месту, его «рвение» попасть туда усиливается, что приводит к соответствующему увеличению скорости.

Однако важность метода Галилео заключается в том, что он подошел к вопросу изменения скорости не качественным, а количественным способом. Недостаточно просто сказать «скорость увеличивается со временем». Если это представляется возможным, надо сказать, насколько она увеличивается, и постараться разработать точную взаимосвязь скорости и времени.

Например, если шар проходит 2 фута за одну секунду, 8 футов за две секунды, 18 футов за три секунды и 32 фута за четыре секунды, то, казалось бы, имеется взаимосвязь между пройденным расстоянием и квадратом затраченного на его прохождение времени. Как мы видим, 2 равно 2 х 12, 8 равно 2 х 22, 18 равно 2 х 32, и 32 равно 2 х 42. Мы можем определить эти отношения, сказав, что полное расстояние, покрытое шаром, катящимся вниз по наклонной плоскости (или объектом, находящимся в свободном падении) со старта из состояния покоя, — прямо пропорционально[5] квадрату затраченного времени.

Физика приняла этот акцент на точное измерение, который предложил Галилео, аналогично поступили и другие области науки, везде, где это было возможно. (Тот факт, что химики и биологи не приняли математического отношения в полной мере, как это сделали физики, не говорит о том, что химики и биологи являются менее интеллектуальными или менее точными, чем физики. На самом деле это произошло потому, что системы, изучаемые физиками, более просты, чем те, которые изучают химики и биологи, и более легко могут быть приведены к идеализированному виду, в котором их можно было бы выразить в простой математической форме.)

Теперь рассмотрим шар, который проходит 2 фута в секунду. Его средняя «скорость» (расстояние, которое он покрывает в единицу времени) на протяжении этого односекундного интервала равна двум футам, поделенным на одну секунду. Легко разделить 2 на 1, но важно запомнить, что мы также должны разделить и единицы измерения: «футы» на «секунды». Мы можем выразить это деление единиц измерения обычным способом — в виде дроби. Другими словами, 2 фута, разделенные на 1 секунду, могут быть выражены как (2 фута)/( 1 секунду), или 2 фута в секунду. Эта запись может быть сокращена как 2 фт/с, и обычно читается как «два фута за секунду»[6]. Важно, чтобы использование «за» не обмануло нас, создав впечатление, что мы в действительности имеем дело с умножением. Мы имеем дело с дробью, то есть делением, и, несмотря на то что числитель и знаменатель этой дроби содержат единицы измерения, а не числа, она не перестает быть дробью.

Но вернемся к катящемуся шару… За одну секунду он проходит 2 фута при средней скорости 2 фт/с; за две секунды — 8 футов при средней скорости по полному расстоянию 4 фт/с; за три секунды — 18 футов при средней скорости по полному расстоянию 6 фт/с. И как вы можете лично убедиться, средняя скорость в течение первых четырех секунд — 8 фт/с. Средняя скорость, как и сказано, находится в прямой пропорции к затраченному времени.

Здесь, однако, мы имеем дело со средними скоростями. А какова же скорость катящегося шара в каждый конкретный момент? Рассмотрим первую секунду временного интервала. В течение этой секунды шар катится со средней скоростью 2 фт/с. Он начинает двигаться с малой скоростью. На самом деле он начинает двигаться из состояния покоя — его скорость в начале движения (другими словами, после того как прошло 0 секунд) была 0 фт/с. Чтобы получить среднее значение в 2 фт/с, шар должен достичь соответственно более высокой скорости во второй половине временного интервала (то есть после начала движения). Если мы предположим, что скорость повышается плавно по времени, то из этого следует, что если скорость в начале временного интервала была на 2 фт/с меньше, чем среднее значение, то в конце временного интервала (после того как прошла еще секунда) она должна быть больше на 2 фт/с, чем среднее значение, то есть 4 фт/с.

Если следовать той же логике рассуждения, которую мы использовали для средних скоростей в течение первых двух секунд, для первых трех секунд и далее мы получим следующие значения скорости: в 0 секунд — 0 фт/с; через одну секунду (в этот момент) — 4 фт/с; через две секунды — 8 фт/с; через три секунды — 12 фт/с; через четыре секунды — 16 фт/с и так далее.

Обратите внимание на то, что после каждой секунды скорость увеличивалась точно на 4 фт/с. Такое изменение скорости со временем называется «ускорением» (от латинских слов, означающих «добавить скорость»). Чтобы определить значение ускорения, мы должны разделить увеличение скорости в течение специфического интервала времени на значение этого интервала времени. Например, если в первую секунду скорость была 4 фт/с, в то время как в четвертую секунду она была равна 16 фт/с, то за время интервала 2 — 3 секунды она возросла на 12 фт/с. Ускорение в этом случае равно: 12 фт/с разделить на три секунды. (Обратите внимание, что в этом случае мы делим не 12 фт/с на 3, а 12 фт/с на 3 секунды. Во всех выражениях, где есть единицы измерения, они должны быть включены в любое математическое преобразование.)

Когда мы делим 12 фт/с на 3 секунды, получаем ответ, в котором единицы измерения так же, как и числовые значения, подвергаются делению, — другими словами, 4 фт/с разделить на с. Это может быть записано в виде 4 фт/с/с (читается «четыре фута в секунду за секунду»). Как мы знаем, и алгебраическом преобразовании a/b  разделить на b  равно a/b,  умноженному 1/b,  соответственно окончательный результат равен a/b2.  Теперь преобразуем единицы измерения по тому же принципу, мы получим (4 фт/с)/с , то есть 4 фт/с2 (читается «четыре фута на секунду в квадрате»).

Как вы можете видеть в данном случае, если посчитаете ускорение для любого временного интервала, ответ будет всегда тот же самый: 4 фт/с2. Для разных наклонных плоскостей ускорение будет различно в зависимости от степени наклона, но оно останется постоянным (константой) для любой данной наклонной плоскости в любой интервал времени.

Таким образом, мы можем выразить открытие Галилео относительно падающих тел более простым и более наглядным способом. Сказать, что все тела преодолевают равные расстояния за равные промежутки времени, будет правильно; однако это не говорит ничего о том, падают ли тела с равномерными скоростями, равноускоренно или с неравномерными скоростями. Еще раз, если мы говорим, что все тела падают с равными скоростями, мы ничего не говорим относительно того, как эти скорости могут изменяться по времени.

Теперь мы можем сказать, что все тела независимо от веса (мы пренебрегаем сопротивлением воздуха) катятся вниз по наклонным плоскостям или свободно падают с равным и постоянным ускорением. Если сказанное верно, из этого следует неизбежно, что два падающих тела проходят одно и то же расстояние за одинаковое время и что в любой данный момент они падают с одной и той же скоростью (предполагая, что они начали падать в одно и то же время). Это также говорит нам о том, что скорость тел увеличивается со временем и что она увеличивается на постоянную величину.

Общепринято выражать такие взаимоотношения при помощи математических символов. При таком способе мы не привносим в них ничего существенно нового. Используя математические символы, мы выражаем именно то, что мы хотели бы сказать словами, но более кратко и более общо. Математика — язык стенографии, в котором каждый символ имеет точное и согласованное значение. Как только язык изучен, мы понимаем, что это, в конце концов, всего лишь одна из форм английского языка.

Например, мы только что рассмотрели случай ускорения 4 фт/с2 (из состояния покоя). Это означает, что в конце первой секунды скорость объекта равна 4 фт/с, после двух секунд — 8 фт/с, после трех секунд — 12 фт/с и так далее. Короче говоря, скорость равна ускорению, умноженному на время. Если мы обозначим скорость символом v, а время — символом t, мы можем сказать, что в этом случае v равна 4t.

Но фактическое ускорение зависит от угла, под которым отклонена наклонная плоскость. Если наклонная плоскость сделана более крутой, это приведет к увеличению ускорения; если сделать ее менее крутой, то ускорение уменьшится. Для любой данной плоскости ускорение постоянно, но специфическое значение константы может очень измениться от плоскости к плоскости. Позвольте нам поэтому не привязываться к конкретному числовому значению ускорения, давайте просто обозначим это ускорение символом а.  Тогда мы можем сказать:

 

v = at.  (Уравнение 2.1)

 

Важно помнить, что такие уравнения в физике включают в себя не только числа, но и единицы измерения. Таким образом, а  в уравнении 2.1 не представляет собой число, например, скажем, 4, а представляет собой число и его единицы измерения — 4 фт/с2 — единицы измерения, соответствующие ускорению. Так же и t, которым обозначают время, представляет собой число и его единицы измерения, например три секунды (3 с). Рассчитывая at,  мы умножаем 4 фт/с2 на 3 с, перемножая единицы измерения так же, как цифры. Преобразовывая единицы измерения так, как если бы они были дробями (другими словами, как если бы мы должны были умножить a/b2 на b),  получаем произведение, равное 12 фт/с. Таким образом, умножение ускорения (а)  на время (t) действительно дает нам скорость (v), а полученные единицы измерения фт/с, соответствующие скорости, подтверждают правильность нашего преобразования.

В любом уравнении в физике единицы измерения, находящиеся по обеим сторонам знака равенства, должны быть сбалансированы после того, как закончены все необходимые алгебраические преобразования. Если этот баланс не получен, то уравнение не соответствует действительности и не может быть названо верным. Если единицы измерения какого-либо из символов неизвестны, они могут быть определены посредством решения того, какой единицы недостаточно для того, чтобы сбалансировать уравнение (это иногда еще называют «анализом размерностей»).

Теперь, учитывая все предыдущее, рассмотрим шар, начинающий движение из состояния покоя и катящийся вниз по наклонной плоскости в течение t секунд. Так, шар начинает свое движение из состояния покоя, его скорость в начале временного интервала равна 0 фт/с. Согласно уравнению 2.1, в конце временного интервала во время / его скорость v равна at  фт/с. Чтобы получить среднюю скорость на всем временном интервале равномерного увеличения скорости, мы берем сумму первоначальной и заключительной скорости (0 + at)  и делим ее на 2. Таким образом, средняя скорость в течение временного интервала равна at/2.  Расстояние (d),  которое прошел шар за это время, должно быть равно средней скорости, умноженной на время, то есть at/2xt.  Поэтому мы можем написать, что

 

d = at2/2 , (Уравнение 2.2)

 

Я не буду пытаться проверять единицы измерения для каждого представленного в книге уравнения, но сделаю это для данного. Единицы измерения ускорения (а)  — фт/с2, а единицы измерения времени (t) — с (секунды). Поэтому итоговые единицы измерения равны at2 — (фт/с2) ∙ с ∙ с, то есть (фт∙с2)/с2, упростив это выражение, получаем просто фт (футы). От деления на 2 at2 не изменяется, так же как с2, так как 2 в этом случае — «чистое число», то есть оно не имеет единиц измерения. (Так же как, если вы делите линейку длиной в фут на два, каждая половина имеет длину 12 дюймов, разделенных на 2 или на 6 дюймов. На единицу измерения это же не оказывает эффекта.) Таким образом, получающиеся единицы измерения at2/2  — фт (футы), что соответствует единицам, применяемым для измерения расстояния (d)[7].

 

 

Свободное падение

 

Как я сказал ранее, значение ускорения (а)  шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение а.

В результате экспериментов показано, что для данной наклонной плоскости значение а  находится в прямой пропорциональной зависимости от отношения высоты поднятого конца плоскости к длине плоскости. Если вы обозначите высоту поднятого конца плоскости как Н,  а длину плоскости как L, то предыдущее предложение можно выразить в математических символах как а  ∞ gH/L.  Где символ ∞ означает «находится в прямой пропорциональной зависимости от».

В такой прямой пропорции значение выражения на одной стороне изменяется в точном соответствии со значением выражения на другой стороне. Если H/L  удваивается, то удваивается и а;  если H/L  делится пополам, то пополам делится и а;  если H/L  умножают на 2,529, то и а умножается на 2,529. Такой подход предполагается прямой пропорциональностью. Но предположите, что для некоего значения а  значение H/L  оказывается равным одной трети a.  Если значение а  изменяется каким-либо способом, значение H/L  изменяется точно таким же способом, так что оно все равно остается равным третьей части значения а.  В этом специфическом случае а  — в три раза больше H/L,  причем не только для этого набора значений, а для всех значений вообще.

Общее правило таково: если один член пропорции x  находится в прямой пропорциональной зависимости от другого члена y,  мы всегда можем заменить знак отношения на знак равенства, введя некоторое соответствующее постоянное значение (называемое «коэффициентом пропорциональности»), на которое нужно умножить у,  чтобы получить х.  Обычно вначале мы не знаем точное значение коэффициента пропорциональности. Так что имеет смысл обозначить его некоторым символом. Этот символ обычно k  (от немецкого слова «Konstant»).  Поэтому мы можем сказать, что если (x  ~ y),  то x  = ky.

Нет никакой абсолютной необходимости использовать в качестве символа для коэффициента пропорциональности именно k.  Например, скорость шара, катящегося из состояния покоя, находится в прямой пропорциональной зависимости от времени t, в течение которого он катился, а расстояние, на которое он переместился, d  находится в прямой пропорциональной зависимости от квадрата того же времени; поэтому v ~ t и d = (at2)/2. В первом случае» однако, мы приняли для коэффициента пропорциональности специальное название — «ускорение» — и обозначили его a,  в то время как во втором случае взаимосвязь с ускорением такова, что мы обозначили коэффициент пропорциональности как a/2.  Таким образом, мы имеем, что v = at  и d = (at2)/2.

В случае, который мы сейчас рассматриваем, значение ускорения a  находится в прямой пропорциональной зависимости от H/L,  коэффициент пропорциональности удобно символизировать буквой g.  Поэтому мы можем сказать:

 

a  = gH/L.  (Уравнение 2.3)

 

Обе величины — H  и L  измерены в футах. При делении H  на L  футы делятся на футы и единицы измерения пропадают. В результате мы имеем то, что отношение H/L  является «чистым» числом и не привязано ни к каким единицам измерения. Но единицы измерения ускорения (g) — фт/с2. Чтобы поддержать баланс единиц измерения в уравнении 2.3, необходимо, чтобы единицы измерения g  также были фт/с2, потому что H/L  не вносит в уравнения никаких единиц измерения. Из этого мы можем заключить, что коэффициент пропорциональности g  в уравнении 2.3 имеет единицы измерения как у ускорения и поэтому должен представлять собой ускорение.

Для того чтобы понять, что это значит, поднимаем выше один конец наклонной плоскости; чем более крутой мы делаем данную наклонную плоскость, чем больше высота ее поднятого конца, тем больше значение H.  Длина же наклонной плоскости (L), конечно, не изменяется. Наконец, когда плоскость встала совершенно вертикально, высота поднятого конца равна полной длине плоскости, то есть H равняется L,  a H/L  равняется 1.

Шар, катящийся вниз по совершенно вертикальной наклонной плоскости, фактически находится в состоянии свободного падения. Таким образом, в свободном падении H/L  равно 1, и уравнение 2.3 приходит к виду:

 

a = g.  (Уравнение 2.4)

 

Все сказанное выше показывает нам на то, что g  — не просто ускорение, а специфическое ускорение, которому подвергается тело, находящееся в свободном падении. Тенденция тел — иметь вес и падать на землю — результат свойства называемого «тяжестью» («gravity»)  (от латинского слова «тяжелый», поэтому для обозначения ускорения свободного падения используется символ «g»).

Если измерить действительное ускорение тела, катящегося вниз по любой данной наклонной плоскости, то можно получить цифровое значение g.  Уравнение 2.3 может быть преобразовано в g = aL/H.  Для данной наклонной плоскости можно легко измерить длину (L)  и высоту (H) поднятого конца и, зная a,  можно сразу определить g.  Его значение оказывается равным 32 фт/с2 (по крайней мере, на уровне моря).

До этого места я в целях поддержания дружественных отношений использовал в качестве меры расстояния футы. Это — одна из общепринятых единиц измерения расстояния, используемых в Соединенных Штатах и Великобритании, и мы привыкли к ним. Однако ученые во всем мире используют метрическую систему мер, и мы уже достаточно далеко зашли в изучение предмета, чтобы, как мне кажется, быть способными присоединиться к ним в этом.

Ценность метрической системы в том, что ее различные единицы измерения связаны между собой простыми и логическими отношениями. Например, в обычной системе 1 миля равна 1760 ярдам, 1 ярд равен 3 футам и 1 фут равен 12 дюймам. Преобразование одной единицы измерения в другую — всегда трудная рутинная работа.

В метрической системе единица измерения расстояния — метр. Другие единицы измерения расстояния получаются путем умножения метра на 10 или на число, кратное 10. Благодаря такой системе написания чисел преобразование одной единицы измерения в другую в пределах метрической системы может быть выполнено простым изменением положения десятичной запятой.

Кроме того, в наборе используются стандартизированные префиксы — приставки. Приставка «деци-» всегда подразумевает 1/10 стандартной единицы измерения, так что дециметр — 1/10 метра. Приставка «гекто-» всегда подразумевает увеличение в 100 раз стандартной единицы измерения, так что гектометр — 100 метров. То же самое действительно и для других приставок.

Сам метр имеет длину 39,37 дюйма. Это делает его эквивалентом примерно 1,09 ярда, или 3,28 фута, две другие метрические единицы измерения, наиболее часто используемые в физике, — сантиметр и километр. Приставка «санти-» подразумевает 1/100 стандартной единицы измерения, так что сантиметр — 1/100 метра. Он эквивалентен 0,3937 дюйма, или приблизительно 2/5 дюйма. Приставка «кило-» подразумевает 1000-кратное увеличение стандартной единицы измерения, так что километр равен 1000 метрам, или 100 000 сантиметрам. Длина километра — 39,370 дюйма, то есть примерно 5/8 мили. Сокращения, обычно используемые для метра, сантиметра и километра, — это м, см и км соответственно.

Секунды, как основная единица измерения времени, используются в метрической системе так же, как и в обычной системе. Поэтому, если мы хотим выразить ускорение в метрических единицах измерения, мы должны использовать для этой цели «метры в секунду за секунду», или м/с2. Так как 3,28 фута равняется 1 метру, мы делим 32 фт/с2 на 3,28 и получаем, что в метрических единицах измерения значение g  равно 9,8 м/с2.

Еще раз напомню о важности единиц измерения. Неправильно и некорректно говорить, что «значение g нравно 32» или «значение g равно 9,8». Отдельно взятое число не имеет в этой связи никакого значения. Нужно говорить или 32 фт/с2, или 9,8 м/с2.

Эти два последних значения абсолютно эквивалентны. Числовые части выражения могут быть различны, когда мы берем их самих по себе, но когда мы добавляем единицы измерения, они становятся идентичными величинами. Ни одна из них ни в коем случае не «более истинна» или «более точна», чем другая; выражение в метрических единицах измерения просто более удобно.

Мы всегда должны знать, какие единицы измерения используются. При свободном падении a  равно g,  так что уравнение 2.1 может быть написано (v = 32t), если мы используем обычные единицы измерения, и (v = 9,8t), если мы используем метрические единицы измерения. При записи уравнений в краткой форме единицы измерения не включаются, поэтому всегда имеется шанс некоей путаницы. Если вы попробуете использовать обычные единицы измерения в уравнении (v = 9,8t) или метрические единицы измерения в уравнении (v = 32t), вы получите результаты, которые не соответствуют действительности. По этой причине правила процедуры должны быть совершенно ясными и однозначными. В данной книге, например, впредь будет считаться само собой разумеющимся, что везде используется метрическая система, кроме тех случаев, когда я специально обговариваю иное.

Таким образом, мы можем сказать, что для тел, находящихся в состоянии свободного падения, из стартового состояния покоя:

 

v = 9,8t. (Уравнение 2.5)

 

Таким же образом, для такого тела уравнение 2.2 становится:

 

d  = gt2/2,

 

или:

 

d =  4,9t2 (Уравнение 2.6)

 

В конце первой секунды, когда падающее тело пролетело 4,9 м, оно падает со скоростью 9,8 м/с. Через две секунды его перемещение уже равно 19,6 м, а скорость падения равна 19,6 м/с. Через три секунды расстояние, покрытое телом, уже равно 44,1 м, а падает оно со скоростью 29,4 м/с, и так далее[8].

 

Глава 3.

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ

 

Инерция

 

Работы Галилео о падающих телах были систематизированы столетием позже английским ученым Исааком Ньютоном (1642–1727), который родился, как любят указывать, в год смерти Галилео.

Ньютон систематизировал свои знания в книге «Philosophlae naturalisprincipia mathematical  («Математические принципы естественной философии»), которая была издана в 1687 году. Книга обычно упоминается просто как «Principia»  («Принципы»). Аристотелевская модель физической Вселенной лежала в руинах почти сотню лет, и именно Ньютон теперь заменил ее новой, более точной и более пригодной моделью. Основу новой картины Вселенной составляют три важных научных обобщения относительно движения, которые обычно называются «три закона движения Ньютона»[9].

Его первый закон движения можно выразить следующим образом:

 

«Тело остается в покое или, если оно уже в движении, остается в равномерном прямолинейном движении, если на него не воздействуют неуравновешенной внешней силой».

 

Как вы можете видеть, этот первый закон вступает в противоречие с аристотелевским предположением о «естественном месте» вместе с его заключением, что естественным состоянием объекта является состояние покоя на его естественном месте.

В ньютоновском представлении — для любого объекта не существует никакого естественного места. Везде, где объект находится вне действия какой-либо силы[10], он остается в покое. Кроме того, если он находится в движении без воздействия на него какой-либо силы, то он и останется в этом движении навсегда, не выражая никакого «желания» перейти в состояние покоя. (В данный момент я не даю определения понятию «сила», думаю, что вы, несомненно, уже имеете хотя бы грубое представление о том, что этот термин означает; надлежащее определение будет приведено позже.)

Эта тенденция движения (или покоя) к сохранению своего «устойчивого» состояния без воздействия некой внешней силы может рассматриваться как своего рода «лень» или нежелание перемен. И действительно, первый закон движения обычно еще называют принципом инерции, от латинского слова, означающего «безделье» или «лень». (Привычка к приписыванию человеческих побуждений или эмоций неодушевленным объектам называется «персонификация». Это плохая привычка в науке, хотя и весьма общеупотребимая, я же побаловался ею здесь только для того, чтобы объяснить слово «инерция».)

На первый взгляд принцип инерции не кажется почти столь же самоочевидным, как аристотелевское предположение о «естественном месте». Мы можем видеть собственными глазами, что перемещающиеся объекты действительно имеют тенденцию останавливаться, даже если мы не видим ничего, что могло бы остановить их. Опять же, если камень выпущен в воздушном пространстве, он начинает перемещаться и продолжает перемещаться все быстрее и быстрее, несмотря на то что мы не видим ничего, что вызывало бы это движение. Если принцип инерции верен, мы должны желать допустить присутствие неких тонких сил, которые не проявляют столь очевидно своего существования.

Например, хоккейная шайба, получив быстрый толчок, по тротуару или цементной площадке будет двигаться по прямой линии, но будет делать это с так быстро уменьшающейся скоростью, что скоро остановится. Если той же самой шайбе дают тот же самый быстрый толчок, но на гладком льду, то она будет двигаться намного дальше, опять же по прямой линии, но на сей раз — с медленно уменьшающейся скоростью. Если мы еще поэкспериментируем, то достаточно быстро выясним, что чем более шершавая поверхность, по которой перемешается шайба, тем быстрее она остановится.

Кажется, что крошечные неровности грубой поверхности цепляются за крошечные неровности хоккейной шайбы и замедляют движение. Это «цепляние» одних неровностей за другие называется «трением» (friction)  (от латинского слова, означающего «трется»), и это трение действует в качестве силы, которая замедляет движение шайбы. Чем меньше трение, тем меньше сила трения и тем медленнее уменьшается скорость шайбы. На очень гладкой поверхности, типа упомянутого выше льда, трение настолько мало, что шайба перемещается на большие расстояния. Если мы представим себе горизонтальную поверхность без трения вообще, то хоккейная шайба будет перемещаться по этой поверхности по прямой линии с постоянной скоростью, вечно.

Ньютоновский принцип инерции действует поэтому только в несуществующем, идеальном мире, в котором никаких вмешивающихся сил не существует: нет ни трения, ни сопротивления воздуха.

Далее давайте рассмотрим камень, находящийся в воздушном пространстве. Он находится в состоянии покоя, но в момент, когда мы отпускаем его, начинает двигаться. Ясно, тогда должна иметься некоторая сила, которая заставит его двигаться, так как принцип инерции требует, чтобы при отсутствии силы тело осталось в покое. Так как движение камня, если он просто отпущен, происходит всегда в направлении земли, то и сила должна быть направлена туда же. Так как свойство, которое заставляет камень подать, долго называли «тяжестью» (gravity),  было естественным назвать силу, которая вызвала это движение, «силой тяготения» (гравитационной силой), или «силой тяжести».

Поэтому казалось бы, что в доказательстве принципа инерции существует некий «порочный круг». Мы начинаем, заявляя, что тело будет вести себя некоторым способом, если на него не действует никакая сила. Затем всякий раз, когда выясняется, что тело не ведет себя таким «предсказанным» образом, мы изобретаем силу, чтобы объяснить это отклонение.

Такая круговая аргументация была бы действительно плоха, если бы мы приступали к доказательству первого закона Ньютона, но мы не делаем этого. Ньютоновские законы движения представляют собой предположения и определения и не требуют доказательств. В частности, понятие «инерция» — такое же предположение, как и понятие Аристотеля о «естественном месте». Однако между ними существует разница: принцип инерции доказал свою чрезвычайную полезность в изучении физики в течение почти трех столетий и не вовлек физиков ни в какие противоречия. Именно по этой причине (а не из каких-либо соображений «правды») физики продолжают держаться за законы движения.

Безусловно, новое релятивистское представление о Вселенной, выдвинутое Эйнштейном, однозначно дает понять, что в некоторых отношениях ньютоновские законы движения — только результат аппроксимации, приближение. При очень больших скоростях и очень больших расстояниях аппроксимации значительно расходятся с действительностью. Однако при обычных скоростях и расстояниях аппроксимации чрезвычайно хороши[11].

 

 

Силы и векторы

 

Термин «сила» происходит от латинского слова, обозначающего «силу», и мы знаем его обычное значение, когда говорим о «силе обстоятельств», «силе аргументов» или «военной силе». В физике, однако, сила определена ньютоновскими законами движения. Сила — то, при приложении чего может произойти изменение скорости движения материального тела.

Мы ощущаем такие силы обычно (но не всегда) как мускульные усилия. Мы сознаем, кроме того, что они могут быть приложены в определенных направлениях. Например, мы можем приложить силу к объекту, находящемуся в состоянии покоя, таким образом, чтобы заставить его двигаться от нас. Или мы можем приложить подобную же силу таким способом, чтобы заставить его двигаться к нам. Когда направления приложения силы ясно видны, в обычной разговорной речи мы даем таким силам два отдельных названия. Сила, направленная непосредственно от нас, — толчок; направленная непосредственно к нам — рывок. По этой причине сила иногда определяется как «толчок или рывок», но это не является определением, а только сообщает нам, что данная сила является одним или другим видом силы.

Величина, которая обладает и размером и направлением, как сила, называется «векторной величиной» или просто — «вектором». Та же величина, которая имеет только размер, называется «скалярной величиной». Например, с расстоянием обычно обращаются как со скалярной величиной. Можно сказать, что автомобиль прошел расстояние в 15 миль — при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал.

С другой стороны, при некоторых обстоятельствах важное значение имеет объединить направление с расстоянием. Если город B находится на 15 миль к северу от города A, то недостаточно направить автомобилиста, указав расстояние в 15 миль, чтобы он мог достигнуть города В. Необходимо определить направление движения. Если он поедет 15 миль на север, он туда доберется, если же он проедет те же 15 миль на восток (или в любом другом направлении, кроме северного), он туда не попадет. Если мы назовем комбинацию размера пройденного расстояния и направления движения «перемещением», то можно сказать, что перемещение — векторная величина (или просто — вектор).

Важность понимания различий между векторами и скалярами состоит в том, что эти два вида величин управляются по-разному. Например, при сложении скаляров достаточно использовать обычное правило сложения, преподаваемое в начальной школе. Если вы путешествуете 15 миль в одном направлении, потом — 15 миль в другом направлении, полное расстояние, пройденное вами, равно 15 плюс 15, или 30 милям. Безотносительно направления полное расстояние равно 30 миль. Если вы перемещаетесь на 15 миль на север, потом — еще на 15 миль на север, то полное перемещение составляет: север — 30 миль. Предположим, однако, что вы путешествуете 15 миль на север, а потом 15 миль на восток. Чему же тогда равно ваше полное перемещение? Как далеко, другими словами, находитесь вы от своей отправной точки? Полное расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение: северо-восток — 21,2 мили. Если вы путешествуете на север на 15 миль, а затем на юг на 15 миль, расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение составляет 0 миль, поскольку вы вернулись назад к вашей отправной точке.

 

Скаляр и вектор

 

Таким же образом, имеется обычное приращение — скалярное и «приращение векторное». Обычное приращение 15 + 15 — всегда равно 30; в векторном приращении 15+15 может быть равно чему угодно в пределах от 0 до 30, в зависимости от обстоятельств.

Так как сила — вектор, две силы складываются вместе согласно правилам сложения векторов. Если одна сила прикладывается к телу в одном направлении, а другая, равная ей сила прикладывается в противоположном направлении, сумма этих двух сил равна нулю; в таком случае, несмотря на то что силы приложены, тело, к которому они приложены, не изменяет свою скорость. Если оно находится в состоянии покоя, то оно и остается в покое. Фактически в каждом случае, когда тело в реальном мире находится в состоянии покоя, мы можем быть уверенными, что это не подразумевает, что не имеется никаких сил, которые могли бы изменить его состояние. Всегда на него действуют какие-либо силы (сила тяготения, как минимум). Если тело находится в состоянии покоя или постоянного движения, то это потому, что имеется более чем одна сила, и векторная сумма всех приложенных сил равна нулю.

Если векторная сумма всех приложенных к телу сил не равна нулю, то имеется неуравновешенная сила (упомянутая в моем определении первого закона Ньютона), или суммарная сила. Надо понимать, что всякий раз, когда я говорю о силе, приложенной к телу, я подразумеваю равнодействующую (результирующую) силу.

Специфическая сила может оказывать один из нескольких эффектов на перемещающееся тело. Сила тяжести, например, направлена вниз, к земле, и падающее тело, перемещающееся в направлении гравитационного притяжения, двигается со все возрастающей скоростью, испытывая при этом ускорение в 9,8 м/с2.

Тело, брошенное вверх, наоборот, перемещается в направлении, противоположном направлению силы тяжести. Следовательно, его как будто тянет назад силой, заставляя перемещаться все медленнее. Это, наконец, приводит к тому, что тело останавливается, полностью изменяет свое направление движения и начинает падать. Такое изменение скорости может называться «замедлением» или «отрицательным ускорением». Однако было бы удобно, если бы специфическая сила, как та, которую мы рассматриваем, производила бы специфическое ускорение. Чтобы избежать разговоров о замедлении, мы вместо этого будем говорить об отрицательной скорости.

Другими словами, будем считать, что скорость является вектором. Это означает, что движение со скоростью 40 м/с вниз — не идентично движению со скоростью 40 м/с вверх. Самый простой способ обозначить различия между противоположными величинами состоит в том, чтобы обозначить одну величину положительным, а другую отрицательным значением. Поэтому будем говорить, что нисходящее движение равно +40 м/с, а восходящее равно -40 м/с.

Так как нисходящая сила порождает и нисходящее ускорение[12] (ускорение также является вектором), мы можем выразить размер ускорения, вызванного действием силы тяжести, не как просто 9,8 м/с2, но и как +9,8 м/с2.

Если тело перемещается со скоростью +40 м/с (вниз, другими словами), эффект ускорения должен увеличить это число. Сложение двух положительных чисел векторным способом дает результат, аналогичный полученному от обычного сложения, поэтому после первой секунды тело перемещается со скоростью +49,8 м/с, после другой секунды +59,6 м/с и так далее. Если, с другой стороны, тело перемещается со скоростью -40 м/с (вверх), векторное сложение положительной и отрицательной величин аналогично обычному вычитанию, поскольку изменяется только сама величина. Таким образом, после первой секунды тело будет перемещаться со скоростью -30,2 м/с, после двух секунд -20,4 м/с и после четырех секунд -0,8 м/с. Вскоре после четырехсекундной отметки тело достигнет скорости 0 м/с, и в этой точке оно придет к мгновенной остановке. Тогда оно начнет падать, и после пяти секунд его скорость будет +9,0 м/с.

Как мы можем видеть, ускорение, вызванное силой тяжести, одно и то же независимо от того, перемещается ли тело вверх или вниз, и все же имеются различия в этих двух случаях. Тело покрывает все большее расстояние за каждую секунду нисходящего движения, но все меньшее расстояние за каждую секунду восходящего движения. Величина расстояния, которое проходит тело за единицу времени, мы называем «скоростью»[13].

В разговорной речи скорость и векторная скорость — синонимы, другое дело — в физике. Скорость — скалярная величина и не включает в себя направление. Объект, перемещающийся на север со скоростью 16 м/с движется с той же скоростью, что и объект, перемещающийся на восток со скоростью 16 м/с, но эти два объекта перемещаются с различной векторной скоростью. При определенных обстоятельствах можно направить силу таким образом, чтобы заставить тело двигаться кругами. Скорость в таком случае может не изменяться вообще, но векторная скорость (которая включает в себя направление) будет постоянно меняться.

Из этих двух терминов термин «векторная скорость» используется физиками намного чаще, поскольку это — более широкий и более удобный термин. Например, мы могли бы определять силу как «то, что изменяет скорость тела или направление его движения, или и то и другое» или как «то, что изменяет вектор скорости тела» — это более краткая, но сохраняющая первоначальное значение фраза.

Так как изменение в скорости — это ускорение, мы могли бы также определять силу как «то, что прикладывает ускорение к телу, причем ускорение и сила приложены в одном том же направлении».

 

 

Масса

 

Первый закон Ньютона объясняет концепцию силы, но, чтобы позволить нам измерить величину силы, необходимо еще что-то. Если мы определяем силу как то, что порождает ускорение, казалось бы логичным измерить размер силы размером ускорения, которое ее вызывает. Это имеет смысл, когда мы ограничиваем себя рассмотрением одного специфического тела, например баскетбольного мяча. Если мы толкаем баскетбольный мяч по земле с постоянной силой, он перемещается все быстрее и после десяти секунд такого перемещения развивает скорость, например, 2 м/с. Его ускорение — 2 м/с поделить на 10 секунд — 0,2 м/с2. Но если вы опять начнете с нуля и будете толкать мяч не так сильно, то после десяти секунд баскетбольный мяч будет перемешаться со скоростью только 1 м/с и поэтому подвергнется ускорению, равному только лишь 0,1 м/с2. Так как в первом случае ускорение в два раза больше, чем во втором, кажется справедливым предположить, что и сила в первом случае была в два раза больше, чем во втором.

Но если бы вы попробовали применить те же самые силы к твердому пушечному ядру вместо баскетбольного мяча, то обнаружили бы, что пушечное ядро не будет подвержено таким же ускорениям, как указаны выше. Потребуется применить гораздо большую силу для того, чтобы вообще заставить пушечное ядро двигаться.

Опять же, когда баскетбольный мяч катится со скоростью 2 м/с, вы можете достаточно легко его остановить. Изменение скорости с 2 м/с до 0 м/с требует приложения силы, и вы вполне можете создать достаточную силу, чтобы остановить баскетбольный мяч. Или вы можете пнуть баскетбольный мяч во время его движения и таким образом заставить его изменить направление движения. Пушечное же ядро, перемещающееся со скоростью в 2 м/с, однако, может быть остановлено только приложением очень большого усилия, и, если пнуть его во время движения, это изменит его направление весьма незначительно (а вы отобьете ногу).

Пушечное ядро, другими словами, ведет себя так, как если бы оно обладало большим количеством инерции, чем баскетбольный мяч, и поэтому требует соответственно большего количества силы для получения заданного ускорения. Ньютон использовал термин «масса», чтобы указать величину инерции, которой обладает тело. Таким образом, его второй закон движения гласит: «Ускорение, полученное в результате действия какой-либо силы, действующей на тело, — прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела».

Как я уже объяснил, когда x считают прямо пропорциональным к y,  это означает, что x = ky.  С другой стороны, если мы говорим, что х  является обратно пропорциональным к другой величине, например z,  то мы подразумеваем, что любое увеличение z  приводит к уменьшению х  на соответствующую величину, и наоборот. Таким образом, если z  увеличена в три раза, х  получается равным 1/3; если z  увеличена в одиннадцать раз, x  получается равным 1/11, и так далее. Математически это понятие обратной пропорции наиболее просто может быть выражено как x ~ 1/z,  тогда, когда z  равно 3, х  равна 1/3, когда z  удваивается до 6, x  в два раза уменьшается и становится равным 1/6 и так далее. Мы можем заменить пропорциональность на равенство, умножив какую-либо часть на константу таким образом, чтобы величина x  была обратно пропорциональна z,  то есть x  = ky/z.  Но если x  является одновременно прямо пропорциональной к y  и обратно пропорциональной к z,  то это означает, что x  = ky/z.

Учитывая это, давайте обозначим ускорение как a , величину силы как f, а массу тела как m.  Тогда второй закон движения Ньютона приобретает такой вид:

 

a = kf/m (Уравнение 3.1)

 

Давайте теперь рассмотрим единицы, в которых будем измерять каждую из величин, начиная с массы, так как мы пока еще не упоминали ее в этой книге. Вы можете подумать, что, если я говорю, что пушечное ядро более массивно, чем баскетбольный мяч, я подразумеваю, что оно и более тяжелое. На самом деле я так не делаю. «Массивный» — не то же самое, что «тяжелый», и «масса» — не то же самое, что «вес», как я объясню вам чуть позже в этой книге. Однако между этими двумя концепциями имеется некоторое подобие, и их часто путают. В повседневной жизни, по мере того как тела становятся более массивными, они также становятся и более тяжелыми, кроме того, физики тоже внесли свой «элемент беспорядка», используя для измерения массы тела единицы, которые нефизики обычно считают единицами веса.

В метрической системе измерений приняты две основные единицы измерения массы тела — грамм (г) и килограмм (кг). Грамм — мелкая единица измерения массы. Например, кварта молока имеет массу приблизительно 975 граммов. Килограмм, как вы и можете ожидать (от приставки), равен 1000 граммам и, таким образом, представляет собой массу чуть больше, чем кварта молока.

(В обычных единицах массу часто представляют в виде «унций» и «фунтов», эти единицы также используют и для веса. В этой книге, однако, я буду ограничиваться метрической системой, насколько это представится возможным, и буду использовать обычные единицы, например кварты, только тогда, когда они действительно необходимы для ясности.)

При измерении величины силы необходимо рассматривать две величины: ускорение и массу. При использовании метрических единиц ускорение обычно имеет размерность м/с2 или см/с2, в то время как масса измеряется в г или кг. Традиционно всякий раз, когда расстояние дается в метрах, масса дается в килограммах, то есть в сравнительно больших единицах. С другой стороны, всякий раз, когда расстояние дается в сравнительно мелких единицах — сантиметрах, масса тоже дается в сравнительно мелких единицах — граммах. В любом из указанных случаев единица времени — секунда.

Следовательно, единицы измерения многих физических величин могут быть составлены из сантиметров, граммов и секунд в различных комбинациях или из метров, килограммов и секунд в различных комбинациях. Первый вариант известен как система СГС, второй вариант — как система МКС. Еще полвека назад более часто использовали систему СГС, но теперь более популярной стала система МКС. В этой книге я буду использовать обе системы.

В системе СГС за единицу силы принята такая сила, которая заставляет тело массой 1 г двигаться с ускорением 1 см/с2. Поэтому единицы размерности там 1 см/с2, умноженный на 1 г. (При умножении двух алгебраических величин a и b мы можем выразить произведение просто как ab.  Мы обращаемся с единицами измерения так, как если бы они были алгебраическими величинами, но, поскольку прямое присоединение одних слов к другим выглядит запутывающе, я буду использовать дефис, который, в конце концов, обычно и используется, чтобы присоединить одни слова к другим). Таким образом, единица силы, равная произведению 1 см/с2 на 1 г, будет называться 1 г∙см/с2 (грамм-сантиметр в секунду за секунду. — Пер.).  Единица силы, г∙см/с2, часто используется физиками, но так как звучит она довольно «громоздко», то для этого выражения было придумано более короткое название «дина» (от греческого слова, означающего «сила»).

Теперь давайте решим уравнение 3.1 для k.  Получается, что:

 

k = ma/f (Уравнение 3.2)

 

Значение k  остается одним и тем же для любого совместимого набора значений a, m  и f, так что мы также можем брать простые числа. Предположим, что мы присваиваем т  значение, равное 1 г, а a  — равное 1 см/с2. Количество силы, которое соответствует такой массе и ускорению, по нашему определению, 1 г∙см/с2 (или 1 дина).

Подставив эти значения в уравнение 3.2, мы получаем, что:

 

k = (1 см/с2 ∙ 1 г)/( 1 г∙см/с2) = (1 г∙см/с2)/( 1 г∙см/с2) = 1 (Уравнение 3.2)

 

В этом случае, по крайней мере, k  — безразмерная величина.

Так как к  равна 1, мы можем привести уравнение 3.2 к виду ma/f =  1, откуда мы получаем, что:

 

f = та  (Уравнение 3.3)

 

при условии, что мы используем надлежащие наборы единиц измерения, то есть если мы измеряем массу в граммах, ускорение — в сантиметрах в секунду за секунду, а силу — в динах.

В системе измерений МКС ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате, а масса в килограммах. Единица силы может быть определена как количество силы, которое производит ускорение, равное 1 м/с2, будучи приложенной к телу массой 1 кг. Единицы силы в этой системе поэтому 1 м/с2, умноженные на 1 кг, или 1 кг∙м/с2.[14] Эта единица силы более кратко называется 1 ньютон, и конечно же в честь Исаака Ньютона. Уравнение 3.3 справедливо и для второй комбинации совместимых единиц измерения, когда масса измеряется в кг, ускорение — в м/с2, а сила — в ньютонах.

Зная, что килограмм равен 1000 граммам, а метр — 100 сантиметрам, можно получить, что 1 кг∙м/с2 равен (1000 г)∙(100 см)/с2, или 100 000 г∙см/с2. То есть более кратко: 1 ньютон = 100 000 дин.

Перед тем как оставить второй закон движения, давайте рассмотрим случай, когда к телу не приложена никакая суммарная сила. В этом случае мы можем сказать, что f = 0, таким образом, уравнение 3.3 приобретает вид: ma =  0. Но любое материальное тело должно иметь массу больше нуля, то есть единственный вариант, при котором та  может равняться 0, это — когда мы имеем a  равное 0.

Другими словами, если на тело не действует никакая суммарная сила, то оно не испытывает никакого ускорения и поэтому должно находиться в покое или в состоянии равномерного движения.

Это последнее замечание, однако, представляет собой не что иное, как выражение первого закона движения Ньютона. Из этого следует, что второй закон движения включает в себя первый закон как частный случай. То есть если справедливость второго закона признана, нет никакой необходимости в первом законе. Значение первого закона в значительной степени психологическое. Частный случай f = 0, будучи однажды принятым, освобождает от того, чтобы учитывать основанное на «здравом смысле» аристотелевское понятие того, что естественной тенденцией объектов является стремление к состоянию покоя. Приняв такой частный случай, можно уже рассматривать и более общий.

 

 

Взаимодействие тел

 

Чтобы существовать, сила должна происходить от чего-либо и быть приложена к чему-нибудь. Очевидно, что-то не может быть сдвинуто с места, если другое что-то не подталкивает его. Также должно быть очевидно, что что-то не может подталкивать, если не существует самого предмета подталкивания. Попробуйте представить себе, что вы тянете или толкаете вакуум.

Значит, два тела соединяет сила, и соответственно возникает вопрос: какое же из тел является толкающим, а какое подталкиваемым? Если в процесс вовлечен некий живой организм, мы привыкли думать о нем как об источнике происхождения силы. Мы думаем о себе как о толкающем пушечное ядро, а о лошади — как о том, кто тянет фургон, а не наоборот: о пушечном ядре, толкающем нас, и о фургоне, тянущем лошадь.

В случае же, если рассматриваются два неодушевленных объекта, мы не можем быть настолько уверенными. Стальной шар, падающий на мраморный пол, собирается толкнуть этот пол в момент удара, то есть приложить к нему силу. С другой стороны, в тот момент, когда стальной шар ударяется об пол, пол начинает прикладывать силу по отношению к шару. Принимая во внимание, что сила, которую прикладывает шар, направлена вниз на пол, понятно, что сила, которую прикладывает пол, должна быть направлена вверх на шар.

В этом и во многих других подобных случаях, как мы видим, имеются две силы, равные по величине и противоположные по направлению.

Ньютон сделал обобщение, что такое явление существует всегда и обязательно и истинно во всех случаях. Он отобразил это в своем третьем законе движения. Часто этот закон формулируют в краткой форме: «Для каждого действия имеется равное противодействие». По этой причине третий закон Ньютона иногда упоминается как «закон действия и противодействия».

Возможно, однако, это не лучший вариант формулировки. Говоря относительно действия и противодействия, мы все еще думаем о живом объекте, прикладывающем силу к некоторому неодушевленному предмету, который соответственно реагирует автоматически. Одна сила («действие») кажется более важной и предшествующей по времени другой силе («реакции»).

Но это не так. С точки зрения физики обе силы имеют абсолютно равную важность и существуют одновременно. Любая из них может рассматриваться как «действие» или как «реакция». Поэтому было бы лучше сформулировать закон примерно в такой форме:

 

«Всякий раз, когда одно тело прикладывает силу ко второму телу, это второе тело прикладывает силу к первому телу. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению».

 

В такой форме данный закон может называться «законом взаимодействия».

Третий закон движения может вызвать некоторое замешательство. Люди имеют тенденцию спрашивать: «Если каждая сила вызывает равную и противоположную противосилу, почему же обе силы всегда не уничтожают друг друга при векторном сложении, не оставляя никакой суммарной силы вообще?» (Если бы это было так, то ускорение было бы невозможным и второй закон был бы бессмысленным.)

Ответ заключается в том, что две равные и противоположные по направлению силы уничтожают друг друга в том случае, когда они приложены к одному и тому же телу. Если сила была приложена к данному конкретному камню и равная и противоположная сила была также приложена к этому камню, то не будет никакой результирующей силы: камень будет оставаться в покое независимо от того, насколько большой была каждая из сил. (Силы могут быть достаточно большие, чтобы «растереть» камень в порошок, но они не будут перемещать его.)

Закон взаимодействия, однако, относится к равным и противоположным по направлению силам, приложенным к  двум разным телам. Таким образом, если вы прикладываете силу к камню, равная и противоположная сила приложена камнем к вам; и камень и вы — каждый получает отдельную неуравновешенную силу. Если вы прикладываете силу к камню и в то же время отпускаете его, то камень, в ответ на эту отдельную силу, ускоряется в направлении этой силы, то есть вдаль от вас. Вторая сила приложена к вам, и вы, в свою очередь, ускоряетесь в направлении этой второй силы, то есть в направлении, противоположном тому, в котором полетел камень. Обычно если вы стоите на неровном основании (земле), то трение между вашими ботинками и основанием порождает новые силы, которые предохраняют вас от перемещения. Ваше ускорение поэтому замаскировано, так что истинный эффект закона взаимодействия может пройти незамеченным. Однако если бы вы стояли на очень гладком, скользком льду и швырнули тяжелый камень, например в восточном направлении, то вы бы начали скользить на запад.

Таким же образом газы, сформированные горящим топливом в двигателе ракеты, прикладывают силу к внутренним стенкам двигателя, в то время как стенки двигателя прикладывают равную и противоположную силу к газам. Газы вынуждены ускоряться вниз, в то время как стенки (и присоединенная к ним ракета) вынуждены ускоряться по направлению вверх. Каждая взлетающая в воздух ракета является свидетельством правильности третьего закона движения Ньютона.

В рассмотренных случаях оба вовлеченных объекта были физически разделены или могли бы быть физически разделены. Одно тело могло ускоряться в одном направлении, а другое — в противоположном. Но что же делать в случае, когда эти два вовлеченных тела связаны вместе? Что делать с лошадью, тянущей фургон? Фургон также тянет лошадь в противоположном направлении, с равной силой. И все же лошадь и фургон не ускоряются в противоположных направлениях. Они связаны вместе, и оба движутся в одном и том же направлении.

Если бы силы, соединяющие фургон и лошадь, были единственными из вовлеченных, то действительно не имелось бы никакого совместного движения. Фургон и лошадь, стоящие на очень скользком льду, не сдвинулись бы с места, независимо от того, как барахталась бы лошадь. На обычном же основании (земле) существуют фрикциональные эффекты. Лошадь прикладывает силу к Земле, а Земля прикладывает противосилу на лошадь (и связанный с ней фургон). Следовательно, лошадь перемешается вперед, а Земля — назад.

Но так как Земля имеет массу намного большую, чем лошадь, то ее ускорение назад (помните, что ускорение, произведенное силой, обратно пропорционально массе ускоряемого тела) настолько мало, что практически неизмеримо. Мы видим только движение лошади, и поэтому нам кажется, что лошадь тянет фургон. Достаточно трудно осознать, что фургон в то же время тянет лошадь.

 

Глава 4.

ТЯГОТЕНИЕ

 

Комбинация сил

 

Еще будучи двадцатилетним, Ньютон обратил внимание на очень важный и глубокий вопрос. Законы движения применимы только к Земле или они справедливы и для небесных тел? Наблюдая на ферме матери падение яблока с дерева[15], он стал задаваться вопросом, действуют ли на Луну те же силы, что и на яблоко.

На первый взгляд могло бы показаться, что Луна не может быть во власти той же самой силы, что и яблоко, поскольку яблоко упало на Землю, а Луна этого не делает. Конечно, если бы одна и та же самая сила была приложена к обоим этим объектам, то она вызвала бы одно и то же ускорение, и они бы оба упали. Однако это — упрощение. Что, если Луна действительно находится во власти той же самой силы, что и яблоко, и поэтому перемещается вниз к Земле; но, кроме того, что, если Луна также подвержена второму движению? Что, если комбинацией этих двух движений является такое, которое заставляет Луну кружиться над Землей и никогда не падать на нее?

Это понятие полного движения, составленного из двух или более движений в различных направлениях, было весьма нелегким для восприятия концепцией для ученых того времени. Когда Николай Коперник (1473–1543) предположил, что Земля вращается вокруг Солнца (а не наоборот), некоторые из наиболее ярых возражений были те, что, если Земля вращается на своей оси и (что еще хуже) перемещается в пространстве в своем вращении вокруг Солнца, на поверхности Земли невозможно будет находиться чему-либо подвижному. Любой, кто подпрыгнул бы в воздух, опустился бы на много ярдов дальше, так как земля под ним передвигалась бы в то время, как он был в воздухе. Спорящие таким образом были настолько уверены в очевидности своих аргументов, что даже не принимали никаких возражений.

Те, кто принимал коперниковское понятие о движении Земли, должны были доказать, что для объекта действительно возможно обладать двумя движениями сразу: то есть что прыгающий человек во время перемещения вверх и вниз может также двигаться вместе с поворачивающейся Землей и поэтому опускается на то же самое место, с которого он прыгал вверх.

Галилео показал, что объект, брошенный вниз с верхушки мачты двигающегося судна, упал в точку у основания мачты. Судно не «выехало» из-под падающего объекта, и он не упал в море. Следовательно, падающий объект, в то время как он перемещался вниз, должно быть, также участвовал и в горизонтальном движении судна. На практике Галилео не пробовал выполнить описанное выше, он предложил то, что сегодня мы называем «мысленный эксперимент». Но даже при том, что данный эксперимент был предложен только в мысленной форме, он был крайне убедительным; суда плавали по морям в течение тысяч лет, и множество предметов, должно быть, было сброшено с верхушек мачт в течение всех этих лет, и все же ни один моряк никогда не сообщал о том, что судно выплыло из-под падающего предмета. (И конечно, в наше время мы можем щелкать монетами о край бьющей струи и ловить их, поскольку они снижаются, без того, чтобы переместить нашу руку. Монета участвует в движении струи, а также — в перемещении вверх и вниз.)

Почему тогда некоторые ученые XVI и XVII столетий уверенно утверждали, что объекты не могут обладать двумя различными движениями одновременно? Очевидно, потому, что они все еще «страдали греческой болезнью» — принимать за основу кажущиеся явными основные предположения и не всегда испытывать необходимость проверить эти заключения в условиях реальной Вселенной.

Например, ученые XVI столетия рассуждали, что снаряд, которым выстрелили из орудия или катапульты, потенциально подчиняется воздействию двух движений: во-первых, импульса, данного ему орудием или катапультой и, во-вторых, его «естественного движения» к земле. Предположив для начала, что объект не может обладать двумя движениями одновременно, можно сделать справедливый вывод, что одно движение должно закончиться перед тем, как начнется второе. Другими словами, утверждается, что пушечное ядро будет перемещаться по прямой в направлении выстрела, пока импульс, вызванный взрывом пороха, не исчерпает себя, а затем — упадет вниз, по прямой.

Галилео придерживался весьма отличной от такой точки зрения. Безусловно, снаряд будет перемещаться вперед, в направлении выстрела из орудия. Больше того — он будет делать это с постоянной скоростью, так как сила взрыва пороха была приложена к нему только один раз и больше не прикладывалась. (Как позже объяснил Ньютон — без непрерывной силы не существует и непрерывного ускорения.) Кроме того, однако, пушечное ядро начинает снижаться, как только оно покидает ствол орудия, в соответствии с законами падающих тел, причем с постоянно увеличивающейся скоростью, увеличивающейся из-за постоянного ускорения (вызванного благодаря непрерывному присутствию постоянной силы тяжести). Легко показать геометрическими методами, что объект, который передвигается в одном направлении с постоянной скоростью, а в другом — со скоростью, которая возрастает прямо пропорционально со временем, будет двигаться по кривой, называемой «парабола». Галилео также доказал, что максимальная дальность полета пушечного ядра будет достигаться в том случае, если орудие будет направлено вверх под углом 45° к земле.

Орудие, направленное под некоторым углом к горизонту, способно было бы доставить пушечное ядро на одно расстояние, если ранние представления о движении пушечного ядра были правильны, и на совсем другое расстояние в том случае, если верными были взгляды Галилео. Показать, что именно подход Галилео был верным, не представляло особой трудности.

 

Комбинация движений

 

Действительно, во все времена стрелки, которые, возможно, и не понимали много в теории, нацеливали свои орудия так, чтобы воспользоваться преимуществами параболического движения пушечного ядра[16]. Короче говоря, возможность тела обладать двумя или более движениями одновременно ни разу не была подвергнута сомнению со времен Галилео.

Каким же образом можно сложить отдельные движения и получить результирующую этих движений? Это может быть сделано при помощи векторного сложения, по методу, наиболее легко представляемому в геометрической форме. Рассмотрим два движения в различных направлениях, эти два направления находятся под углом α друг к другу. (Символ α — греческая буква «альфа». Греческие буквы вообще часто используются в физике в качестве символов, чтобы ослабить нагрузку на обычные буквы алфавита.) Эти два движения могут тогда быть представлены двумя стрелками, находящимися под углом α, а длина этих двух стрелок пропорциональна соответствующим им скоростям. (Если одна скорость вдвое больше другой, то и соответствующая стрелка в два раза больше другой.) Если мы представим эти две стрелки как стороны параллелограмма, то результирующее движение, созданное из двух составляющих движений, может быть диагональю этого параллелограмма, которая находится в промежутке между направлениями составляющих компонентов.

 

Параллелограмм сил  

 

Зная значения этих двух скоростей и угла между ними, можно вычислить значение и направление результирующей скорости даже и без геометрических построений, хотя последние всегда полезны в качестве зрительной помощи. Например, если одна скорость — 3 м/с в одном направлении, а другая — 4 м/с в направлении перпендикулярном (под прямым углом к) первому, то результирующая скорость — 5 м/с, в направлении, которое составляет угол менее чем 37° с большим компонентом и более чем 53° — с меньшим.

Таким же образом данная конкретная скорость может быть разложена на две составляющие скорости. Если мы выразим данную скорость как диагональ параллелограмма, то две из смежных сторон параллелограмма представят собой составляющие скорости. Это может быть проделано бесконечное число раз, так как линия, представляющая скорость или силу, может быть представлена диагональю бесконечного числа параллелограммов. Однако удобно, чтобы скорость была разложена на компоненты, которые находятся под прямыми углами друг к другу. В этом случае параллелограмм превращается в прямоугольник.

Этот метод использования параллелограмма может применяться для сложения или разложения любого количества векторов. Данный метод очень часто используется для расчета сил, и поэтому обычно его называют «параллелограммом сил».

 

 

Движение Луны

 

Теперь позвольте нам вернуться к Луне. Относительно Земли она двигается по эллиптической орбите. Однако эллипс, который она описывает в своем вращении вокруг Земли, очень близок по форме к кругу. Луна путешествует по этой орбите со скоростью, которая близка к постоянной.

Хотя линейная скорость Луны почти постоянна, ее векторная скорость, конечно, — нет. Так как Луна перемещается по кривой, направление ее движения в каждый данный момент времени изменяется, и поэтому ее векторная скорость изменяется тоже. Если мы говорим, что векторная скорость Луны непрерывно изменяется, то, конечно, должны сказать, что она подвергается постоянному ускорению.

Если же мы рассматриваем Луну как перемещающуюся с постоянной скоростью по равномерно круговому пути (что является, по крайней мере приблизительно, истинным), то мы можем сказать, что в каждую последовательную единицу времени направление ее движения изменяется на одну и ту же величину. Поэтому она испытывает постоянное ускорение и, согласно второму закону движения Ньютона, должна быть подчинена воздействию постоянной силы. Поскольку изменение в направлении движения всегда направлено к Земле, то ускорение и соответственно сила тоже должны быть направлены к Земле.

Конечно, если имеется сила, притягивающая Луну к Земле, это может быть та же хорошо известная сила, которая притягивает яблоко к земле. Однако, если это было бы так и Луна испытывала бы постоянное ускорение, направленное к Земле при наличии постоянной силы, почему же она не падает на Землю, как делает яблоко?

Чтобы понять, почему этого не происходит, мы должны разложить движение Луны на две составляющие движения, находящиеся под прямым углом друг к другу. Одна из составляющих направлена как стрелка, указывающая на Землю, по радиусу круговой орбиты Луны. Она представляет собой движение в ответ на силу, притягивающую Луну к Земле. Другая составляющая направлена под прямым углом к первой и, таким образом, представляет собой касательную к кругу орбиты Луны. И Луна бы двигалась по касательному движению, если бы не имелось никакой силы, притягивающей ее к Земле. Фактическое же движение лежит между этими двумя составляющими. Луна, другими словами, всегда падает на Землю, но в то же самое время также «отступает в сторону».

В некотором смысле это «отступление» означает, что поверхность Земли отходит от Луны с такой же скоростью, как Луна приближается к ней, падая. Таким образом, расстояние между Землей и Луной остается неизменным. Чтобы было более понятно, представим себе снаряд, выстреленный горизонтально с вершины горы на земле, и развивающий все большую и большую скорость. Чем больше скорость, тем дальше перемещается снаряд, прежде чем удариться о землю. Чем дальше он перемещается, тем дальше от него сферическая земная поверхность, таким образом увеличивается перемещение снаряда. Ну и наконец, если снаряд выстрелен вперед с достаточной скоростью, высота его падения становится равной величине кривизны земной поверхности, и снаряд «остается на орбите». Именно так на орбиту Земли выводят искусственные спутники, и именно поэтому Луна не падает на Землю, а остается на орбите.

 

«На орбите»

 

При рассмотрении движения Луны мы должны учитывать только ту составляющую движения, которая направлена к Земле. Естественно возникает вопрос: не является ли этот компонент результатом действия той же силы, которая притягивает к земле яблоко? Ну что же, давайте обратимся к яблоку и посмотрим, как интерпретировать силу взаимодействия между ним и землей в свете законов движения.

Во-первых, все яблоки падают с одним и тем же ускорением, независимо от того, насколько они массивны. Но если одно яблоко имеет массу вдвое большую, чем второе яблоко, и все же падает с тем же самым ускорением, то на первое яблоко должна воздействовать вдвое большая сила (согласно второму закону движения). Сила, притягивающая яблоко к земле (часто ее называют весом яблока), должна быть пропорциональна массе яблока.

Но согласно третьему закону движения всякий раз, когда одно тело прикладывает силу к другому, второе прикладывает равную и противоположную силу к первому. Это означает, что, если Земля привлекает яблоко с некоторой нисходящей силой, яблоко привлекает Землю с равной восходящей силой.

Это кажется странным. Как крошечное яблоко может проявлять силу, равную той, что проявлена огромной Землей? Если бы это происходило, то можно было бы ожидать, что яблоко притянет к себе другие объекты, как это делает Земля, но этого, конечно, не происходит. Логично было бы объяснить это предположением, что сила притяжения между яблоком и землей зависит не только от массы яблока, но также и от массы Земли. Она не может зависеть от суммы масс, поскольку, когда мы удвоим массу яблока, суммарная масса яблока и Земли остается примерно прежней, в то время как сила притяжения удваивается. Очевидно, что она должна зависеть не от суммы масс, а от произведения масс.

Если мы умножаем массы, маленькая масса оказывает столь же сильный эффект на конечное произведение, как и большая. Таким образом, результатом умножения малого количества a  на огромное количество b  является произведение ab.  Если теперь мы удвоим a , оно становится равным 2a.  Если мы умножаем его на b,  произведение становится равным 2ab.  Таким образом, при удвоении одного из двух множителей в умножении маленький множитель может удвоить произведение. И удвоение массы яблока удваивает размер силы между яблоком и Землей.

Что же касается притяжения яблоком какого-либо другого объекта обычного размера, оно существует, но столь мало заметно из-за того, что произведение масс этих объектов составляет ничтожно малую часть от произведения массы этого объекта и массы Земли. Сила притяжения между двумя объектами обычного размера соответственно меньшая, и, несмотря на то что такая сила существует, она настолько бесконечно мала, что никак не может обнаружить себя при нормальном состоянии вещей.

Так как Земля притягивает все материальные объекты к себе (даже газообразная атмосфера крепко привязана к планете благодаря силе тяготения), может показаться, что сила тяготения в любой форме порождается массой Земли. Однако Земля вовсе не должна быть вовлечена. Любые две массы должны взаимодействовать гравитационно, и если мы замечаем силу, только когда вовлечена Земля, то потому, что сама наша Земля — единственное тело в нашем окружении достаточно массивное, чтобы породить силу тяготения, достаточно большую, чтобы заявить нам о своем существовании.

Такова сущность вклада Ньютона. Он не открывал закон тяготения в том смысле, что все земные объекты привлечены к земле. (Эта ограниченная концепция, по крайней мере, столь же стара, как Аристотель, а слово «тяжесть» использовалось в этом смысле в течение многих столетий до Ньютона.) Ньютон указал на то, что все существующие массы притягивают другие массы, таким образом, притяжение Земли не является уникальным. Ньютон утверждал, что между любыми двумя материальными телами во Вселенной имеется гравитационное притяжение, его обобщение называется «универсальный закон всемирного тяготения», и прилагательное «универсальный» — наиболее важное слово в этом названии[17].

Если бы это было все, то мы могли бы теперь рассчитать величину составляющей движения Луны, которая направлена к Земле. Все тела, падая на Землю, движутся с одним и тем же ускорением, и поэтому казалось бы логичным решить, что Луна, находясь во власти той же самой силы притяжения, должна делать так же. За одну секунду она должна падать на Землю приблизительно на 4,9 метра. Фактически же составляющая движения Луны к Земле — намного меньше.

Чтобы объяснить это, можно было предположить, что сила тяготения Земли ослабляется с расстоянием, и это кажется разумной гипотезой. Опыт показывает нам, что существует много вещей, которые ослабляются с расстоянием. Так происходит со светом и звуком — двумя наиболее привычными явлениями, с которыми человек всегда был знаком.

И все же — был ли вывод о таком ослаблении поддержан экспериментальным свидетельством?

На первый взгляд может показаться, что не было. Камень, брошенный вниз с высоты 100 метров, падает с ускорением 9,8 м/с2, а другой камень, брошенный вниз с высоты 200 метров, падает с тем же ускорением. Если сила тяготения уменьшается с удалением от Земли, разве не должно паление с большей высоты вызывать меньшее ускорение? Разве ускорение не должно равномерно увеличиваться по мере приближения камня к земле, вместо того чтобы оставаться постоянным, как оно это делает?

Но взгляд Ньютона на эту проблему состоит в том, что все тела привлекают к себе все другие тела. Падающий камень привлекается не только той частью Земли, которая представляет собой ее поверхность непосредственно под ним, но также и той ее частью, которая находится глубже, вплоть до центра и далее, к антиподам, на расстояние 12 740 километров (8000 миль). Он также притягивается и всеми остальными частями во всех направлениях: на север, восток, юг, запад, и во всех промежуточных точках.

Кажется вполне разумным, что для тела, подобного Земле, которая имеет почти правильную сферическую форму, мы могли бы упростить этот вопрос. Притяжение с севера компенсируется притяжением с юга; притяжение с запада компенсируется притяжением с востока; отдаленное притяжение антиподов компенсируется притяжением поверхности непосредственно под нами и так далее. То есть мы можем предположить, что результирующее влияние — полное притяжение Земли — сконцентрировано точно в ее центре.

Радиус Земли равен приблизительно 6370 километрам (3960 милям). Объект, падающий с высоты 100 метров (0,1 километра), начинает свое падение поэтому с точки, находящейся на расстоянии 6370,1 километра от центра Земли, в то время как другой объект, падающий с высоты 200 метров, начинает свое падение с точки, находящейся на расстоянии 6370,2 километра от центра. Различие в силе при такой разнице в расстоянии настолько незначительно, что гравитационное притяжение на таком маленьком расстоянии может рассматриваться в качестве константы. (На самом деле современные инструменты со значительной точностью могут измерять разницу в силе поля тяготения даже при такой маленькой разнице в расстояниях.)

Однако расстояние от Луны до Земли (от центра до центра) в среднем равно 384 500 километрам (239 000 миль). Это — в 60,3 раза дальше от центра Земли, чем в случае, когда объект находится на ее поверхности. При увеличении расстояния в 60 раз сила тяготения могла бы действительно значительно уменьшиться.

Но насколько — «значительно»? Земля притягивает тела по всей своей поверхности, поэтому сила тяготения может рассматриваться как излучение, направленное наружу от Земли во всех направлениях. Если сила действительно делает это, то оно, направленное излучение, может рассматриваться в виде поверхности сферы, которая расширяется все больше и больше, по мере того как отступает от Земли. Если некое установленное количество силы тяготения распространено по поверхности такой растущей сферы, то интенсивность силы на некоем данном месте на поверхности должна уменьшаться, поскольку площадь поверхности возрастает.

Из стереометрии известно, что площадь поверхности сферы находится в прямой пропорции к квадрату ее радиуса. Если одна сфера имеет радиус в три раза больше другого, то площадь ее поверхности больше в девять раз.

По мере того как расстояние между двумя телами увеличивается, сила тяготения между ними должна изменяться обратно пропорционально квадрату этого расстояния. (Такие взаимосвязи хорошо известны как «обратно квадратичная зависимость». Не только тяготение, но и такие явления, как интенсивность света, интенсивность магнитного притяжения и интенсивность электростатического притяжения, ослабляются таким же образом.)

Сравнивая движение Луны и движение яблока к поверхности Земли, мы должны помнить, что Луна в 60,3 раза дальше от центра Земли, чем яблоко, и что сила тяготения на Луне является более слабой: коэффициент ослабления 60,3 на 60,3, или в 3636 раз. Принимая во внимание, что яблоко падает в первую секунду на 4,9 метра, Луна за то же время должна упасть на расстояние, умноженное на 1/3636, или 0,0013 метра за секунду падения. (Тысячная часть метра — миллиметр, поэтому 0,0013 метра равны 1,3 миллиметра.)

Действительно, астрономические измерения показывают, что Луна в своем движении по орбите вокруг Земли в каждую секунду отклоняется от прямого курса примерно на 1,3 миллиметра. Уже на основании одного этого можно было с достаточной вероятностью подтвердить, что та же самая сила, которая притягивает яблоко, притягивает и Луну. Однако Ньютон продолжил свои исследования и показал, что сила тяготения универсально объясняет такие факты: что орбита Луны относительно Земли представляет собой эллипс, с Землей, находящейся в одном фокусе; что планеты вращаются относительно Солнца в такой же эллиптической манере; что приливы существуют и ведут себя именно так; что имеет место прецессия равноденствий и так далее. Одно простое и ясное обобщение объяснило так много, что это было с восторгом принято всем научным сообществом.

Через столетие после смерти Ньютона немецко-английский астроном Уильям Гершель (1738–1822) обнаружил признаки существования далеких звезд, которые вращались относительно друг друга в строгом соответствии с ньютоновским законом всемирного тяготения, и тем самым еще раз подтвердил его универсальность. Невидимые планеты были в конечном счете обнаружены благодаря слабым гравитационным эффектам, которые могли произойти только благодаря их невидимому присутствию. Неудивительно, что закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, часто называют «самым большим отдельным открытием в истории науки»[18].

 

 

Гравитационная постоянная

 

Ньютон открыл обобщение, что любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой (f), которая прямо пропорциональна произведению масс (m  и m)  тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния (d)  между ними. Чтобы преобразовать пропорцию в равенство, конечно, необходимо подставить константу. Упомянутая в данном случае константа обычно называется «гравитационной постоянной» и обозначается символом G.  Таким образом, ньютоновский закон всемирного тяготения может быть выражен как:

 

F  = Gmm’/d2. (Уравнение 4.1)

 

Проблемой, которую Ньютон оставил нерешенной, было значение G.

Чтобы понять, почему проблема не была решена, давайте рассмотрим известный случай падения яблока и попробуем заменить значения в уравнении 4.1 единицами измерения в системе МКС. Мы знаем значение расстояния от яблока до центра Земли и можем установить d;  оно равно 6 370 000 метрам. Имеются различные пути измерения массы яблока, но мы можем установить его, например, в 0,1 килограмма. Что касается величины силы тяготения (F)  между яблоком и Землей, то она равна (см. уравнение 3.3), согласно ньютоновскому второму закону движения, произведению массы яблока на ускорение, которому оно подверглось под воздействием силы тяжести. Таким образом, значение Нравно — 0,1 кг умножить на 9,8 м/с2, или 0,98 кг∙м/с2.

Однако тут мы видим еще два неопределенных значения: G —  гравитационная постоянная и m — масса Земли. Если бы мы знали любое из них, то могли бы сразу вычислить другое, но Ньютон не знал, так же как и кто-либо другой в его время.

(Вы могли бы задать вопрос: не могли ли бы мы сократить константу в уравнении 4.1, так же как мы это сделали в уравнении 3.3? Однако это было сделано надлежащим выбором единиц измерения. Мы могли бы и здесь сделать так же, изобретя единицу, которую назвали бы, например, «земной единицей», и сказав, что Земля имеет массу в 1 земную единицу. Мы могли бы и далее изобретать подобные произвольные единицы измерения: для массы яблока и расстояния яблока от центра Земли и так далее. Однако такие уловки имели бы ограниченное значение. Недостаточно знать, что Земля имеет массу в 1 земную единицу. Мы хотим знать массу Земли в знакомых терминах, например в единицах измерения системы МКС. А для этого мы должны знать значение G  в системе МКС.)

Закон всемирного тяготения подразумевает, что значение G  — одно и то же при любых условиях. Поэтому если бы мы могли измерить силу тяготения между двумя телами известной массы, отдаленных друг от друга на известное расстояние, то смогли бы сразу определить значение G,  а после этого — и массу Земли.

К сожалению, сила тяжести, наверное, самая слабая из известных сил, существующих в природе. Требуется тело, имеющее размер, сопоставимый с огромным размером Земли, чтобы произвести силу тяготения достаточную, для ускорения в 9,8 м/с2. Небольшие усилия, которые могут быть произведены всего несколькими фунтами мускулов, способны противостоять всей силе тяготения всякий раз, когда мы отжимаемся, подтягиваемся, прыгаем вверх или поднимаемся на гору.

Для тел, которые являются большими, хотя и менее массивными, чем Земля, уменьшение силы тяготения имеет решающее значение. Благодаря силе тяжести Земля обеспечивает устойчивый «захват» своей мощной атмосферы, а вот сила тяжести планеты Марс, который имеет массу, равную только 1/10 массы Земли, может удержать только тонкую атмосферу. Луна имеет огромную массу по обычным стандартам, однако она равна только 1/81 массы Земли и имеет силу тяготения слишком слабую, чтобы удержать какую-либо атмосферу вообще.

Когда мы рассматриваем тела обычного размера, произведенные ими силы тяготения совершенно незначащие. Масса горы проявляет по отношению к вам гравитационное притяжение, но вы не испытываете никаких трудностей, удаляясь от этой горы.

Поэтому главной является проблема, как измерить столь слабую силу, какой является сила тяжести. Мы могли бы размышлять о возможных путях измерения сил тяготения между двумя соседними горами, но собственные массы гор не намного меньше, чем масса Земли. Кроме того, горы имеют неправильную форму, а сила тяготения сконцентрирована в некотором «центральном положении», которое было бы трудно определить.

Поэтому мы должны измерять силы тяготения, происходящие в симметричных телах, достаточно маленьких, чтобы быть легко обработанными в пределах лаборатории, но измерение крошечных сил тяготения, которые вызываются такими телами, может оказаться далеко за пределами существующих у нас возможностей.

Начало решения проблемы было заложено еще во времена Ньютона благодаря работам английского ученого Роберта Гука (1635–1703). Как предварительное объяснение к работе Гука, позвольте мне напомнить вам, что когда силы прикладываются к телу, то в результате воздействия этих сил тело часто изменяет свою форму. Если деревянная доска положена на две опоры и кто-то садится в центре, то доска согнется под грузом. Если резиновый жгут потянуть за оба конца в противоположных направлениях, он растянется. Если сжать в кулаке губку, то она сомнется, а если вращать ее концы в противоположных направлениях, она будет скручиваться. Если нажать справа на один ее конец и слева — на другой, не позволяя ей вращаться, она будет уплотняться.

Все эти типы деформирующих сил могут быть названы «нагрузками». Изменения, которым подвергается тело под воздействием нагрузок, называется «деформация».

Когда в результате воздействия нагрузок объект подвергается деформации, может получиться так, что после того, как мы удалили нагрузку, объект восстанавливает свою первоначальную форму. Деревянная доска распрямляется, после того как вы встаете; резиновый жгут стягивается, после того как отпустили его концы; губка, выпущенная из рук сжимающего, крутящего или уплотняющего ее, прыгает назад. Опять же стальной шар сплющивается после удара о землю, так же как бейсбольный мяч после удара битой или шар для гольфа после удара клюшки. Когда деформирующая сила пропала, все сферы становятся прежними. Эта тенденция возвращаться к первоначальной форме после деформации под нагрузкой называется «эластичность» или упругость.

У любой материи имеется предел упругости — точка, после которой нагрузка на тело произведет его постоянную деформацию. Для материала типа воска эта точка может быть легко достигнута, и даже слабые нагрузки заставят кусок воска постоянно изменять свою форму. (Он скорее пластичен, чем эластичен.) Если приложить слишком большое усилие к неукрепленному центру деревянной доски, она сломается. Резиновый шнур при слишком большом растяжении будет «звенеть» (и лопнет). Стальной шар при слишком большом сжатии сплющится.

Однако, если работать с нагрузками недостаточно большими, чтобы превзойти этот предел, можно, как это сделал Гук, прийти к весьма полезному обобщению, которое может быть кратко выражено следующим образом: «Деформация пропорциональна нагрузке».

Это выражение называется законом Гука. Как можно увидеть из закона Гука, если сила x  растягивает пружину на расстояние y, то сила 2x  будет растягивать ее на расстояние 2y, а сила x/2  будет растягивать ее на расстояние y/2.  Предположим тогда, что величина растяжения, которое произвела некая известная сила, измерено. Тогда любая сила неизвестной величины (в диапазоне предела упругости) может быть измерена величиной деформации, которую произвела эта нагрузка.

Этот принцип может применяться к любому другому виду нагрузок, который производит легко измеряемую деформацию, например к кручению или искривлению эластичного прутка и волокна. Когда, для того чтобы измерить размер неизвестной нагрузки но величине скручивания, используется кручение, установка, на которой производятся измерения, называется «крутильными весами». Если взять чрезвычайно тонкое волокно, которое может быть искривлено даже очень маленькими силами, становится понятно, что даже крошечные силы тяготения могут быть измерены.

В 1798 году английский ученый Генри Кавендиш (1731–1810) использовал для этой цели тонкие крутильные весы.

Его крутильные весы состояли из легкого прута, подвешенного за середину на тонком проводе приблизительно в ярд длиной. На каждом из концов легкого прута находился свинцовый шар диаметром приблизительно в два дюйма. Вообразите себе силу, приложенную к каждому свинцовому шару в противоположных направлениях и под прямым углом к пруту и к тонкому проводу. Чрезвычайно маленьких сил было бы вполне достаточно, чтобы заставить провод скручиваться.

В качестве предварительного шага Кавендиш приложил чрезвычайно маленькие силы, чтобы определить получающееся количество смещения. Затем, тщательно экранируя свой аппарат от воздушных потоков, он принес два больших свинцовых шара, каждый приблизительно восемь дюймов в диаметре, и расположил их почти в контакте с маленькими свинцовыми шарами, но на противоположных сторонах. Сила тяготения между свинцовыми шарами теперь произвела скручивание в волокне, и, зная полный угол скручивания, Кавендиш смог измерить величину силы, возникшей между маленьким и большим свинцовыми шарами. (Оказалось, что она равна примерно 1/2000000 ньютона.)

 

Эксперимент Кавендиша

 

Теперь предположим, что мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:

 

G = Fd2/mm’. (Уравнение 4.2)

 

Зная значение F,  измеренного по методике, описанной выше, достаточно просто измерить массу свинцовых шаров (m и m’)  и расстояние между их центрами (d).  Как только все значения символов на правой стороне уравнения стали известны, вычислить значение G  — простая арифметическая задача. (Так как единицы измерения F в системе МКС — кг∙м/с2, единицами d2, m2 и mm’ являются соответственно метры на метры и килограммы на килограммы, то есть кг2; единица измерения G,  полученная из уравнения 4.2, равна (кг∙м/с2) м2)/(кг2), или м3/кг∙с2.)

Лучший современный расчет дает нам значение G, равное 0,0000000000667 м3/кг∙с2, конечно же достаточно крошечное значение. Надо отдать должное большому таланту Кавендиша-экспериментатора, потому что в еще в первом своем измерении он получил значение очень близкое к этому.

Предположим, теперь мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:

 

m’ = Fd2/Gm. (Уравнение 4.3)

 

И попытаемся еще раз определить массу Земли (m’). Мы уже имеем, в системе МКС, значение для F,  равное 0,98, значение d,  равное 6 370 000 и значение (m)  равное 0,1. Если мы теперь добавим значение G равное 0,0000000000667, то вычислить массу Земли m —  простая арифметика. Как вы можете увидеть, т  равно (0,98)∙(6 370 000)∙(6 370 000), деленное на (0,0000000000667)∙(0,1), или, примерно, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов.

Физики обычно выражают такие большие числа как степени числа 10. Таким образом, 1 000 000 обычно записывают в виде 106, что выражает произведение шестидесяти. Экспонента (для чисел больше 1) показывает число нулей в исходном числе. Из этого следует, что 6 500 000 равно 6,5∙106. Отрицательные экспоненты выражают числа меньше чем 1, то есть 106 равно 1/106 или 1/1000000, или 0,000001. То есть 0,00000235 равно 2,35∙10–6.

Используя такую экспоненциальную систему обозначений, можно записать значение G =  6,67∙10-11 м3/кг∙с2, а массу Земли как т  = 6∙1024 кг. (В системе СГС значение G  = 6,67∙10-8 см3/г∙с2, а масса Земли равна 6∙1027 г.)

 

Глава 5.

ВЕС

 

Форма Земли

 

Определяя значение G,  Кавендиш в действительности определил массу Земли. По этой причине о Кавендише часто говорят как о «том, кто взвесил Землю», но на самом деле он сделал совсем не это.

В обычном языке слова «вес» и «масса» часто имеют одно и то же значение, а о теле часто говорят как о «тяжелом» или «массивном»; даже физики иногда попадают в эту западню. Однако рассмотрим, что такое вес. Вес тела — это сила, с которой тело притягивается к земле. Повторяю, вес — это сила, и единицы измерения он имеет как у силы!

Простой путь измерения веса объекта состоит в том, чтобы подвесить его на кольцевую пружину. В соответствии с законом Гука сила, с которой тело притягивается к Земле, будет растягивать пружину; величина же растяжения (или деформации) пропорциональна силе растяжения (или нагрузке). Именно по этому принципу устроены для измерения веса приборы такого типа — пружинные весы.

Масса тела, с другой стороны, является количеством инерции, которой оно обладает. Согласно второму закону Ньютона, m = f/a,  то есть это — сила, разделенная на ускорение. Вес, который является силой, должен в соответствии с тем же самым законом быть массой, умноженной на ускорение. В случае веса, который является силой воздействия поля тяготения Земли на тело, рассматриваемое ускорение, естественно, является тем, что произведено полем тяготения земли.

Вес тела (w),  другими словами, равен массе (m)  этого тела, умноженной на ускорение свободного падения (g), возникшее благодаря земной гравитации (то есть — силе притяжения Земли):

 

w  = mg.  (Уравнение 5.1)

 

Так как значение g  при обычных условиях примерно постоянно, вес, можно сказать, прямо пропорционален массе тела. Сказать, что A является в 3,65 раза столь же массивным, как В, эквивалентно тому, чтобы сказать, что при обычных условиях А является в 3,65 раза более тяжелым, чем В. Поскольку эти два утверждения обычно эквивалентны, существует сильное искушение признать их синонимами, и в этом и скрывается источник путаницы между массой и весом.

Эта путаница еще ухудшается тем, что для них используются общие единицы измерения. Тело массой в один килограмм, как обычно считают, имеет и вес в один килограмм[19]. В системе МКС, однако, единицы измерения m  — килограммы (кг), а единицы измерения g —  м/с2. Так как вес равен массе, умноженной на ускорение свободного падения (mg),  то единицы измерения веса — кг-м/с2, или Н (ньютоны). Таким образом, при нормальных условиях один килограмм массы проявляет 9,8 Н силы.

Килограмм веса (который может быть сокращен как кг (веса), чтобы отличить его от килограмма массы) не равен  1 кг, а равен 9,8 Н. В системе СГС g  равно 980 см/с2. Таким образом, вес тела с массой 1 г равен 1 г, умноженному на 980 см/с2, или 980 г∙см/с2. Следовательно, 1 г (веса) равняется 980 динам.

Все это может показаться вам излишне пуристическим — созданием различий там, где их на самом деле нет. В конце концов, если вес и масса всегда изменяются одинаковым образом, зачем так много беспокоиться относительно того, что есть что?

Дело в том, что масса и вес не всегда изменяются одинаково. Они связаны с g, а значение g  не является константой при любых условиях.

Сила тяготения (F),  которую Земля проявляет на некотором произвольно взятом теле, равна mg,  как это показано в уравнении 5.1. Но она также равна Gmm’/d2,  как это показано в уравнении 4.1. Поэтому mg = Gmm’/d2,  или, если разделить обе части уравнения на m:

 

G = Gm’/d2 (Уравнение 5.2)

 

Из величин, от которых зависит значение g  в уравнении 5.2, гравитационная постоянная (G) и масса земли (m’) могут рассматриваться как константы. Значение d,  однако, которое является расстоянием от тела до центра Земли, — конечно, не константа, и (g)  изменяется обратно пропорционально квадрату этого расстояния.

Объект на уровне моря, например, может быть на расстоянии 6370 км от центра Земли, но на вершине близлежащей горы он будет на расстоянии 6373 км от центра, а стратолайнер поднимет его на высоту 6385 км от центра.

Даже если мы ограничим себя высотой на уровне моря, расстояние до центра Земли не всегда равно одной и той же величине. Под воздействием лишь силы тяжести Земля имела бы правильную сферическую форму (не принимая во внимание мелкие поверхностные недостатки) — факт, указанный еще Аристотелем, а потому расстояние от уровня моря до центра Земли всюду было бы одним и тем же. Однако вторым из влиятельных факторов является тот факт, что Земля вращается вокруг своей оси. Это вращение, как впервые отметил Ньютон, означает, что Земля не может быть правильной сферой.

Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, поверхность Земли непрерывно испытывает ускорение, направленное внутрь, к центру Земли (так же, как это происходит с Луной при ее вращении вокруг Земли). Но если это так, то в действие вступает третий закон Ньютона. Центр Земли проявляет постоянную силу на внешних слоях Земли, чтобы создать постоянное, направленное вовнутрь ускорение, поскольку планета вращается; внешние же слои должны поэтому действием и реакцией проявлять силу, направленную наружу от центра Земли. Сила, направленная внутрь, обычно называется «центростремительной силой», а та, что направлена наружу, называется «центробежной силой» (эти слова, пришедшие из латинского языка, соответственно означают — «идущий к центру» и «бегущий от центра»).

Две эти силы направлены в противоположные стороны, и как результат мы имеем растяжение земной материи. Если вы можете вообразить крепкую веревку, протянувшуюся от поверхности Земли и до ее центра, с поверхностными слоями Земли, тянущими наружу ее один конец, и центром Земли, тянущим ее вовнутрь за другой конец, то вам будет понятно, что такая веревка будет немного растягиваться; так вот материя, из которой состоит Земля, делает то же самое.

Если бы каждая точка на поверхности Земли вращалась с одинаковой скоростью, то растяжение было бы одинаковым по всей поверхности и Земля имела бы правильную сферическую форму. Однако когда Земля вращается на своей оси, то чем ближе к оси находится некоторая часть поверхности Земли, тем медленнее она вращается. На полюсах поверхность Земли касается оси, и поэтому скорость вращения там нулевая. На экваторе же, наоборот, поверхность Земли находится на максимальном расстоянии от оси, и соответственно скорость вращения там — самая высокая (чуть больше чем 1600 километров в час).

Взаимодействующие силы на полюсах равны нулю и плавно возрастают при приближении к экватору. Одновременно возрастает и «растяжение» земной поверхности, которое достигает своего максимального значения на экваторе. Из-за этой экваториальной выпуклости расстояние от центра Земли до уровня моря на экваторе на 21 км (13 миль) больше, чем такое же расстояние на любом из полюсов.

Земля поэтому не сфера, а сплющенный сфероид.

Безусловно, 21 км при полном расстоянии в 6370 км — это немного, но и этого вполне достаточно, чтобы внести существенные различия в значение g.  Что же касается выпуклости на экваторе и локальных различий в высоте, то, например, в штате Аляска есть точки, где значение g  больше чем 9,82 м/с2, в то время как на экваторе это значение — только чуть выше, чем 9,78 м/с2. Представленные цифры отражают разницу в почти полпроцента и соответственно отражаются на весе.

Другими словами, вес объекта в значительной мере изменяется при перемещении его с места на место по поверхности Земли, что и показывают пружинные весы. Человек, который весит 200 фунтов на полюсах, весил бы 199 фунтов на экваторе. Химику или физику, заинтересованному в массе объекта (многие свойства объектов зависят от массы), такое «замещение» измерения массы измерением веса доставило бы серьезные погрешности.

 

Центробежная сила и экваториальная выпуклость

 

Ученые обычно, когда у них возникает необходимость «взвесить» объект, используют весы, состоящие из двух чашек, расположенных на противоположных концах прутка, который в середине установлен на шарнире. В одну чашку помещают объекты известного веса, а в другую — объект, который необходимо взвесить. Известные веса добавляют до тех пор, пока вся конструкция не сбалансируется. В этом случае сила тяжести на обеих чашках становится одинаковой (если бы она была большей на любой из них, то эта чашка опустилась бы, в то время как другая поднялась бы вверх).

Если вес с обеих сторон один и тот же, то и mg  будет с обеих сторон одинаковым, так как g,  которое в больших пределах изменяется в зависимости от точки земной поверхности, на которой находится тело, будет одно и то же для двух чашек весов, стоящих рядом на практически одной и той же точке земной поверхности. Поэтому масса m  объектов, находящихся в обеих чашах весов, будет одна и та же. То есть масса неизвестного объекта будет равна массе грузов (вес которых нам известен)[20].

 

 

Вне Земли

 

Естественно, мелкие изменения в значениях g  становятся все большими по мере удаления тела от центра Земли. Дальнейшее усложнение ситуации представляет собой то, что при удалении тела на большое расстояние от Земли мы можем приблизить его к некоторому другому значительному скоплению массы. Такая ситуация возникает в первую очередь в связи с Луной и имеет очень важное значение, поскольку искусственные объекты уже приземлились там, а живые люди могут встать на поверхность Луны в ближайшие несколько лет[21].

Объект на поверхности Луны все еще находится в пределах поля тяготения Земли, которое простирается не только на Луну, но и в принципе на всю Вселенную. Однако Луна также имеет собственное поле тяготения. Это поле намного слабее, чем земное, поскольку Луна намного менее массивна, чем Земля, а объект на поверхности Луны находится намного ближе к центру Луны, чем к центру Земли; гравитационное притяжение Луны поэтому гораздо сильнее, чем таковое у отдаленной Земли, и человек, стоящий на поверхности Луны, будет ощущать только ее притяжение.

Но Луна притягивает к своей поверхности объект отнюдь не с той же силой, как это делает Земля. Чтобы увидеть разницу между этими двумя силами, обратимся назад, к уравнению 4.1, которое утверждает, что F  = Gmm’/d2.  Эта F представляет собой интенсивность притяжения Земли, с которым она воздействует на объект на ее поверхности. Притяжение Луны, с которым она воздействует на объект на ее поверхности, мы можем обозначить Fm.

Далее, объект имеет одну и ту же массу независимо от того, находится ли он на поверхности Земли или на поверхности Луны, так что m  остается неизменным. Значение G  также неизменно, поскольку оно является константой повсюду во Вселенной. Масса Луны, однако, как известно, является 1/81 массы (m’) Земли. Масса Луны, следовательно, равна m’/81.  Расстояние от поверхности Луны до ее центра — 1737 км, или примерно 3/11, расстояния от поверхности Земли до ее центра, равного 6370 км (d). Следовательно, мы можем выразить расстояние от поверхности Луны до ее центра как 3d/11 .

Теперь подставим эти значения в уравнение 4.1, используя массу и радиус Луны, и мы получим уравнение, которое выражает значение силы притяжения Луны для объекта, находящегося на ее поверхности. Итак, это:

 

Fm = Gm(m’/81)/(3d/11)2 (Уравнение 5.3)

 

Если мы теперь разделим уравнение 5.3 на уравнение 4.1, то найдем, что Fm/F)  (отношение силы тяжести на Луне к силе тяжести на Земле) равно 1/81, разделенной на (3/11)2, или почти точно — 1/6. Таким образом, сила тяжести, которую мы испытали бы на поверхности Луны, будет равна 1/6 той, к которой мы привыкли на поверхности Земли. Человек весом в 180 фунтов, взвесив себя на пружинных весах, найдет, что он весит всего 30 фунтов.

Но, несмотря на столь решительное уменьшение веса, масса объекта останется неизменной. Это означает, что сила, требующаяся, чтобы ускорить данный объект до данной величины, остается той же самой и на Луне, и на Земле. Мы могли бы поднять в воздух своего 180-фунтового друга без особых усилий, поскольку усилие подъема будет не больше, чем то, которое мы развиваем на Земле, поднимая 30 фунтов. Однако на Луне мы не могли бы поднять человека более быстро, чем на Земле. Здесь, на Земле, мы можем достаточно легко управиться с чем-то, что весит 30 фунтов. Но на Луне это что-то, весящее 30 фунтов, будет иметь массу в шесть раз больше «нормальной», а такое количество массы можно переместить только достаточно медленно. По этой причине манипулирование объектами на поверхности Луны создает чувство «замедленного движения», или как будто проталкиваешься сквозь патоку.

Опять же, если мы подпрыгиваем на Луне, силе наших мускулов будет противостоять только 1/6 той силы тяготения, к которой мы привыкли на Земле. Поэтому центр нашего тела поднимется на высоту в шесть раз большую, чем это было бы на Земле. Достигнув этой необычной высоты, мы будем падать по направлению к поверхности, но с ускорением, составляющим 1/6 обычного ускорения (1,63 м/с2). Это означает, что мы, внешне, как бы падали медленно вниз, «планируя, подобно перу». Однако к тому времени, когда бы мы снова достигли поверхности с 1/6 от обычного ускорения и с расстояния большего в шесть раз, мы к моменту приземления все равно бы достигли той скорости, с которой мы приземлились бы после прыжка на Земле (затратив для этого равное усилие, но достигнув значительно меньшей высоты).

Остановка после такой скорости на Луне потребовала бы от нас таких же усилий, как на Земле, поскольку это усилие зависит от массы, а не от веса, а масса остается неизменной и на Луне. И если, введенный в заблуждение своей легкостью, вы поддадитесь искушению приземлиться на большой палец правой ноги, то вы почти наверняка сломаете этот палец.

Однако ситуация может быть сделана даже более необычной и без всяких полетов на Луну. Субъективное ощущение, которое мы называем «весом», является результатом того факта, что мы физически изолированы от реакции на ускорение силы тяжести. Когда мы стоим на поверхности Земли, сама земная материя препятствует нашему ускоренному падению к центру Земли. Эта сила, приложенная к нам в направлении, противоположном реакции твердого основания (земли, на которой мы стоим), и интерпретируется нами как «вес».

Если бы мы падали с ускорением, равным гравитационному ускорению (свободное падение), мы не почувствовали бы никакого веса. Если бы мы находились в подъемнике, который сорвался и рухнул вниз, или в самолете, который пошел в пике, наше чувство веса пропало бы. Мы не сможем давить ногами на пол лифта или самолета, так как этот пол будет падать так же быстро, как мы. И если бы мы были в воздушном пространстве в пределах кабины подъемника, мы не смогли бы снизиться к его полу, поскольку этот пол перемещался бы с такой же скоростью, как это делали мы. Поэтому мы оставались бы «плавающими в воздушном пространстве» и ощутили бы себя невесомыми.

Указанные выше примеры свободного падения несовершенны. Ни подъемник, ни самолет не могут падать длительное время без того, чтобы разбиться и тем самым нарушить эксперимент. Кроме того, падение подъемника или самолета было бы несколько замедлено сопротивлением воздуха, через который они мчатся, причем замедление это больше, чем то, которое испытывает от сопротивления воздуха человек, находящийся в пределах этого подъемника или самолета. Поэтому некоторое чувство веса все-таки присутствовало бы.

Чтобы достичь истинного чувства свободного падения, мы были бы должны подняться выше главной части атмосферы, скажем на высоту примерно 160 километров или более над поверхностью Земли. Чтобы удержаться на этой высоте, было бы неплохо иметь также небольшое поперечное движение, которое удерживало бы нас на орбите вокруг Земли, таким же образом, как комбинация внутренних и поперечных сил удерживает Луну на орбите вокруг Земли.

Описанная ситуация точно воспроизведена в отношении искусственного орбитального спутника. Такой спутник находится в свободном падении и может продолжать это свободное падение в течение долгого периода времени. Астронавт в его пределах не ощущает собственного веса. Это происходит не потому, что он — «вне притяжения Земли», как говорят некоторые дикторы службы новостей. Это происходит потому, что он находится в состоянии свободного падения и все в этом спутнике вместе с ним самим падает с абсолютно одним и тем же ускорением.

Сама Земля находится в состоянии свободного падения на орбите вокруг Солнца. И хотя ее масса огромна, вес ее равен нулю. Кавендиш не «взвесил Землю», поскольку это было ему не нужно; ее вес был равен нулю, и это понимали уже со времен Ньютона. Что сделал Кавендиш, так это — определил массу Земли.

Даже в свободном падении, когда вес равен нулю, масса любого взятого тела остается неизменной. Астронавты, строящие космическую станцию, будут перемещать огромные прогоны, которые не будут иметь никакого веса. Они даже будут способны балансировать такими прогонами на одном пальце, если прогон и палец будут неподвижны относительно друг друга. Однако если прогон был приведен в движение, или если он уже перемещается и должен быть остановлен, или требуется изменить направление его движения, то усилие, которое требуется приложить для этого, будет точно такое же большое, как если бы это происходило на Земле. Человек, попавший в ловушку между двумя прогонами, перемещающимися по направлению друг к другу, может оказаться раздавленным насмерть двумя невесомыми, но не «безмассовыми» объектами.

Различие между массой и весом, которое кажется настолько непринципиальным на Земле, является поэтому совсем не тривиальным, когда мы находимся в космическом пространстве, и легко может стать вопросом жизни и смерти.

 

 

Вторая космическая скорость

 

По мере того как объект падает на землю со все большей и большей высоты, время, которое требуется объекту, чтобы достичь ее, увеличивается, а объект приближается к земле со все более и более высокой скоростью. Если мы воспользуемся уравнениями 2.1 и 2.2, подставив в этих уравнениях значение a,  равное 9,8 м/с2 (ускорение свободного падения), то можем сделать некоторые легкие вычисления. Тело, упавшее с высоты 4,9 метра, ударится о землю через одну секунду и будет перемешаться в момент соударения со скоростью 9,8 м/с. Если отпустить тело с высоты 19,6 метра, оно ударилось бы о землю через две секунды, а скорость его была бы соответственно 19,6 м/с. Если отпустить тело с высоты 44,1 метра, оно ударилось бы о землю через три секунды, перемещаясь в момент контакта с землей со скоростью 29,4 м/с.

Казалось бы, что если вы бы только могли поднять объект на достаточно большую высоту, то достигли бы такой высокой скорости соударения, какой вам захотелось. Конечно, это кажется верным, но только в том случае, если значение достается одним и тем же для любых высот.

Но значение g  не является константой; оно уменьшается с высотой. Значение g  изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта до центра Земли. Точка подъема в 6370 километрах над поверхностью Земли будет на самом деле на высоте 12 740 километров от Земли, поскольку мы рассчитываем расстояние до центра — в два раза дальше от центра, чем от поверхности. А значение g  на такой высоте равно всего лишь 1/4 того, каким оно является на поверхности.

Объект, падающий из состояния покоя, с высоты 6370 километров над поверхностью Земли, в первую секунду разовьет скорость, равную лишь 2,45 м/с, вместо 9,8 м/с, которых он достиг бы после одной секунды падения в непосредственной близости от поверхности Земли.

Но поскольку тело продолжает падать и приближаться к Земле, значение g,  конечно, постоянно возрастает и в конце падения достигает 9,8 м/с2. Однако падающее тело не ударилось бы о поверхность Земли со столь же высокой скоростью соударения, как оно бы сделало, если бы значение g  было равно 9,8 м/с2 на протяжении всего его пути вниз.

Представьте себе тело, брошенное сначала с высоты 1000 километров, затем — с высоты 2000 километров, затем — с 3000 километров и так далее. Падение с высоты в 1000 километров закончилось бы скоростью соударения, равной v1. Если бы значение #было постоянным, то падение с высоты 2000 километров вызвало бы увеличение в скорости на первых 1000 километрах, равное увеличению на вторых 1000 километрах, так что окончательная скорость соударения была бы v1 + v2, или 2v1. Однако верхние 1000 километров представляют собой ту часть расстояния, на котором значение g  меньше, чем на более низких 1000 километрах. Соответственно движение по этой половине дистанции добавляет меньшее количество скорости, чем при движении по более низкой половине, и заключительная скорость соударения равна v1 + v2, где v2 меньше, чем v1. Те же самые аргументы могут быть повторены для других частей дистанции, таким образом, падение с высоты 10 000 километров закончилось бы со скоростью соударения, равной v1 + v2 + v3 + v4 и так далее, до v10. Здесь каждый символ представляет собой часть заключительной скорости, привнесенной в окончательную все более и более высокими частями дистанции, каждая из которых равна 1000 километров, и значение каждого следующего символа меньше, чем таковое предшествующего.

Всякий раз, когда вы видите перед собой ряд чисел, каждое из которых меньше, чем предыдущее, имеется возможность наличия сходящегося ряда. В таком ряде сумма чисел никогда не превосходит некоторое установленное значение — предел суммы — независимо от того, сколько чисел добавлено. Наиболее хорошо известный случай такого сходящегося ряда — это 1 + ½ + ¼ + 1/8 + 1/16, в котором каждое следующее число — половина предыдущего. Сумма первых двух чисел — 1,5; сумма первых трех чисел — 1,75; сумма первых четырех чисел — 1,875; сумма первых пяти чисел — 1,9325 и так далее. По мере добавления в ряд все большего количества чисел сумма становится все больше и приближается к 2, никогда не достигая его. Предел суммы этого своеобразного числового ряда равен 2.

Оказывается, что числа, представляющие собой приращения скорости, получаемые в результате падения тела со все большей высоты, действительно образуют сходящийся ряд. Поскольку тело падает со все большей и большей высоты, окончательная скорость соударения не увеличивается беспредельно; вместо этого она имеет тенденцию стремиться к некоторой предельной скорости, превзойти которую не может.

Эта предельная скорость соударения (v,) зависит от значения g  и радиуса (r) тела, которое является источником поля тяготения. Важность величины радиуса опирается на тот факт, что чем больше его значение, тем медленнее «затухает» при увеличении расстояния значение g.  Предположим, что тело имеет радиус 1000 километров. Находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело в десять раз дальше от центра, чем объект, лежащий на его поверхности, и поэтому значение g  там равно всего 1/100 значения на поверхности. Предположим далее, что тело имеет радиус 2000 километров, находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело будет тогда только в пять раз дальше от центра, чем объект, находящийся на поверхности. И значение g  соответственно будет равно только 1/25 значения на поверхности. Поэтому по мере прохождения высот значение g  уменьшалось бы более быстро для маленького тела, чем для большого, и окончательная скорость соударения была бы меньше для маленького тела, несмотря на то что поверхностное значение его g  может быть тем же самым, что и у большого тела.

Оказывается, что:

 

v1 = √(2gr). (Уравнение 5.4)[22]

 

В системе МКС значение g  равно 9,8 м/с2, что касается г, то оно равно 6 370 000 м, таким образом, 2gr  равно приблизительно 124 800 000 м2/с2. При извлечении квадратного корня из этого числа мы должны также извлечь квадратный корень и из единиц измерения. Так как квадратный корень из a2b2  равен ab,  должно быть ясно, что квадратный корень из м2/с2 равен м/с. Квадратный корень из 124 800 000 м2/с2 равен приблизительно 11 200 м/с. То есть предел скорости соударения равен 11,2 км/с (или примерно семь миль в секунду). Ни один объект, падая по направлению к Земле из состояния покоя, не может когда-либо удариться об нее со скоростью большей чем 11,2 км/с. (Конечно, если рассматриваемый объект представляет собой метеор или что-либо в этом роде, который летит с ускорением в направлении Земли, то его собственная скорость добавится к скорости, вызванной полем тяготения Земли, и он ударится о Землю со скоростью соударения большей чем 11,2 км/с.) Для Луны, на которой значения g  и г гораздо меньше, максимальная скорость соударения будет равна только 2,4 км/с (или 1,5 мили в секунду).

Давайте теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Вместо падающего тела рассмотрим такое, которое перемешается вверх от поверхности Земли. Для тела, перемещающегося вверх, g  представляет собой величину, на которую его скорость уменьшается в каждую секунду полета. В данном случае ситуация развивается с точностью до наоборот, то есть если тело, первоначально находившееся в состоянии покоя, падает с высоты h и в момент соударения достигает скорости v, то тело, брошенное вверх со скоростью v, перед тем как остановиться, достигнет высоты h (и начнет падать назад, по направлению к Земле).

Но тело, падающее с любой высоты, однако, никогда не может достигнуть скорости соударения большей чем 11,2 км/с. Это означает, что, если тело бросают вверх со скоростью 11,2 км/с или больше, оно никогда не достигнет точки покоя и поэтому никогда не упадет обратно на Землю (взаимное влияние и наложение гравитационных полей других тел мы не рассматриваем).

Таким образом, предел скорости соударения — это также скорость, с которой тело, подброшенное вверх, навсегда улетит с Земли; поэтому такая скорость называется «второй космической скоростью». Вторая космическая скорость на поверхности Земли равна 11,2 км/с, а вторая космическая скорость на поверхности Луны — 2,4 км/с.

Тело, которое находится на орбите вокруг Земли, не может улететь от нее. Оно падает на Землю, и только его горизонтальная скорость препятствует этому падению вниз. Поэтому для того чтобы удержать объект на орбите, требуется гораздо меньшая скорость, чем та, которая нужна, чтобы вывести его на нее. Для круговой орбиты скорость должна быть равна √gr, где r —  расстояние от орбитального тела до центра земли, a g  — величина ускорения свободного падения на таком расстоянии. В непосредственной близости от поверхности Земли такая скорость составляет 7,9 км/с (или 4,9 мили в секунду). Орбитальные спутники перемещаются с такой скоростью и заканчивают свое «кругосветное путешествие» длиной 40 000 километров за минимальное время в 85 минут.

По мере увеличения расстояния от центра Земли значение г, конечно, увеличивается, в то время как значение g  — уменьшается, изменяясь как 1/r2.  Изменение √gr  (которая называется «первой космической», или «орбитальной», скоростью) происходит как √(1/r2)/r  или √(1/r). Другими словами, первая космическая скорость тела изменяется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до объекта, вокруг которого вращается данное тело.

Мы знаем, что расстояние от Луны до центра Земли равно 382 400 километрам. Это в 60,3 раза больше расстояния от центра орбитального спутника, находящегося сразу за пределами атмосферы. Поэтому на Луне первая космическая скорость меньше, чем такая же на Земле, коэффициент пересчета равен √60,3. Другими словами, первая лунная космическая скорость равна 7,9/√60,3, или примерно 1 км/с.

Теперь рассмотрим спутник, находящийся на орбите в 42 000 километров от центра Земли (приблизительно 35 600 километров над ее поверхностью). Его расстояние от центра Земли в 6,6 раза больше, чем у объекта на поверхности Земли. Его первая космическая скорость поэтому равна 7,9/√6,6, или почти 3,1 км/с. Длина его орбиты приблизительно равна 264 000 километрам, и при достижении первой космической скорости спутнику потребуется как раз 24 часа для того, чтобы совершить одно обращение вокруг планеты. Поэтому при таких условиях спутник будет двигаться со скоростью вращения Земли, а нам будет казаться, что он неподвижно висит на небе. Такие внешне неподвижные спутники прекрасно служат в качестве спутников связи.

 

Глава 6.

МОМЕНТ

 

Импульс

 

Давайте снова рассмотрим падающее тело. Объект, удерживаемый в некоторой точке над землей, находится в состоянии покоя. Если мы отпустим его, то он сразу начнет падать. Очевидно, что мы создали движение там, где его изначально не существовало. Но «создали» — слово, которое физики переваривают с трудом (для этого существуют философы). Разве что-нибудь действительно может быть создано из ничего? Или одна вещь просто превращается в другую, так что вторая появляется только за счет перехода первой в состояние небытия? Или, возможно, один объект подвергается изменениям (например, переходит из состояния покоя в стадию движения, например) потому и только потому, что другой объект подвергается противодействующим изменениям (например, из состояния покоя — в стадию движения, но в противоположном направлении). В этом последнем случае то, что создано, не является движением, а является движением плюс «антидвижение», и если сложить их вместе, то мы получим нуль, а следовательно, возможно, что никакого движения не было создано вообще.

Чтобы разрешить эти вопросы, давайте сначала попробуем точно решить, что же мы подразумеваем под понятием «движение».

Мы можем начать с того, скажем, что сила, конечно, создает движение. Приложенная к любому телу, первоначально находившемуся в состоянии покоя, например к хоккейной шайбе на льду, сила порождает ускорение и заставляет шайбу перемещаться все быстрее и быстрее! Чем дольше действует сила, тем быстрее двигается хоккейная шайба. Если сила постоянна, то скорость в любой данный момент времени пропорциональна величине силы, умноженной на время, в течение которого она действует. К этому произведению силы (f) на время (t) применяют термин «импульс» (I):

 

I = ft. (Уравнение 6.1)

 

Так как сила производит движение, мы могли бы ожидать, что данный импульс (то есть данная сила, действующая в течение данного времени) будет всегда производить одно и то же количество движения. Однако если это так, то количество движения не может зависеть только от одной скорости. Если та же самая сила будет действовать на вторую хоккейную шайбу, массой в десять раз больше первой, она создаст меньшее ускорение и за данное время создаст меньшую скорость, чем в первом случае. Поэтому количество движения, произведенного импульсом, должно также учитывать не только скорость, но и массу.

Это и есть то, что фактически подразумевается уравнением 6.1. В соответствии со вторым законом Ньютона мы знаем, что сила равна массе, умноженной на ускорение (f = ma).  Мы поэтому можем заменить ma  на f в уравнении 6.1 и написать:

 

f = mat.  (Уравнение 6.2)

 

Но из уравнения 2.1 мы знаем, что для любого тела, начинающего движение из состояния покоя, скорость (v), произведенная силой, равна ускорению a,  умноженному на время (t), то есть at  = v. Если мы заменим v на at  в уравнении 6.2, то получим:

 

I = mv.  (Уравнение 6.3)

 

Именно эта величина, mv  — масса, умноженная на время, и является действительной мерой движения тела. Тело, перемещающееся быстро, требует и большего усилия для своей остановки, чем то же самое тело, перемещающееся медленно. Увеличение в скорости поэтому увеличивает количество его движения. С другой стороны, массивное тело, перемещающееся с некоторой скоростью, требует и большего усилия для своей остановки, чем это требует легкое тело, перемещающееся с той же самой скоростью. Увеличение в массе также увеличивает количество его движения. Следовательно, произведение mv  призвано, чтобы назваться «количеством движения» (momentum)  (от латинского слова, означающего «движение»).

Физический смысл уравнения 6.3 заключается в том, что импульс (ft),  приложенный к телу, находящемуся в состоянии покоя, заставляет это тело получить количество движения (mv),  равное импульсу. В более общем виде: если тело уже находится в движении, то приложение импульса вызовет изменение количества движения, равное импульсу. Говоря более коротко, импульс (силы) равен изменению количества движения.

Единицами измерения импульса должны быть, с одной стороны, единицы измерения силы, умноженной на время, согласно уравнению 6.1, или массы, умноженной на скорость, согласно уравнению 6.3. В системе МКС единицы измерения силы — ньютоны, так что импульс может быть измерен в ньютон-с. С другой стороны, единицы измерения массы — килограммы, а единицы измерения скорости — метры в секунду, так что единицы измерения импульса (масса, умноженная на скорость) равны кг-м/с. Однако ньютоны были определены как кг-м/с2. Таким образом, ньютон-с равны кг-м-с/с2, или кг-м/с. То есть единицы измерения I через ft получились теми же самыми, что и единицы измерения I, полученные через mv.  В системе СГС, как легко можно показать, единицы измерения импульса — дины∙с или г∙см/с, и они также совпадают с обеих сторон.

 

 

Закон сохранения (импульса) количества движения

 

Представьте себе хоккейную шайбу массой m,  двигающуюся по льду со скоростью v. Ее количество движения равно mv.  Теперь представьте себе другую хоккейную шайбу той же самой массы, перемещающуюся с той же самой скоростью, но в противоположном направлении. Ее скорость поэтому –v. и ее количество движения равно –mv.  Количество движения, как вы видите, является векторной величиной, так как оно зависит от скорости и имеет не только количественную характеристику, величину, но и направление. Естественно, что, если мы имеем два тела с импульсами в противоположных направлениях, мы можем сказать, что одно количество движения равняется некоторому положительному значению, а другое — некоторому отрицательному значению.

Предположим теперь, две хоккейные шайбы покрыты по кругу слоем клея, достаточно сильного, чтобы заставить их немедленно сцепиться вместе при вступлении в контакт друг с другом. И предположим, что они вступают в контакт «лоб в лоб». Если это произойдет, они мгновенно остановятся.

Будет ли уничтожено количество их движения? Нисколько. Полное количество движения системы[23] было равно mv + (-mv), или 0, перед столкновением, и 0 + o, или (все еще) 0, после столкновения. Распределение количества движения среди частей системы до столкновения было иным, чем после столкновения, но полное количество движения осталось неизменным.

Предположим теперь, что вместо того, чтобы прилипнуть, когда эти две шайбы столкнулись (неупругое столкновение), они отпрыгнули бы друг от друга с абсолютной упругостью (упругое столкновение). Если бы это произошло, то каждая из шайб полностью изменила направление своего движения. Та, чье количество движения было равно (mv), теперь имела бы количество движения, равное (−mv), и наоборот. Вместо суммы mv + (–mv) мы получили бы сумму (–mv) + mv. Снова произошло бы изменение в распределении количества движения, но снова — полное количество движения системы будет неизменно.

Если столкновение не было ни совершенно упругим, ни полностью неупругим, если шайбы отпрыгнули обособленно, но только слабо, то значение количества движения для каждой из шайб могло бы изменяться от mv до –0,2mv, в то время как количество движения другой шайбы могло измениться от –mv до 0,2mv. В любом случае конечная сумма была бы равна нулю.

Все это справедливо и в том случае, если шайбы встречаются «под углом», а не «лоб в лоб» и касаются друг друга «по скользящей». Если они встречаются «под углом», то есть таким образом, что их скорости не направлены в точно противоположных направлениях, оба импульса этих тел не обнулятся, даже если скорости этих двух шайб были равны. Полное количество движения системы можно вычислить векторным сложением этих двух индивидуальных импульсов. И шайбы тогда отпрыгнут таким образом, каким укажет вектор их суммы. Это же сложение укажет нам на тот факт, что суммарное общее количество движения системы осталось таким же, как до столкновения. Все это также справедливо для частного случая, когда двигающаяся шайба ударяет скользящим ударом в шайбу, находящуюся в состоянии покоя. Шайба, находящаяся в состоянии покоя, будет приведена в движение, а шайба, которая изначально перемещалась, изменит направление своего движения; однако оба получившихся в результате столкновения импульса в итоге составят величину, равную оригинальной.

 

Сохранение количества движения

 

Рассматриваемые величины останутся, по существу, неизменными, даже если эти две шайбы имели различные массы. Предположим, что одна шайба перемещалась с некоторой данной скоростью направо и имела количество движения, равное mv, в то время как другая, имеющая массу в три раза больше первой, перемещалась с той же самой скоростью налево и имела поэтому импульс, равный –3/mv. Если рассмотреть эти две, связанные вместе после столкновения «лоб в лоб», объединенные шайбы (с полной массой 4 т), то мы увидим, что они продолжили бы перемещаться влево, в направлении, в котором двигалась более массивная шайба, но суммарная скорость системы была бы равна половине начальной скорости оригинала (— v/2). Первоначальное количество движения системы было: mv  + (–3mv), или –2mv.  Окончательное количество движения системы будет: (4m) x (–v/2), или –2mv.  Опять мы видим, что полное количество движения системы осталось неизменным.

А что получается в том случае, если количество движения, как кажется, создано «из ничего»? Давайте рассмотрим пулю, которая первоначально находится в состоянии покоя (поэтому ее количество движения равно нулю), которую внезапно выстреливают из ружья, а значит — она начинает перемещаться с высокой скоростью. Как мы знаем, пуля теперь имеет значительное количество движения, равное (mv).  Однако пуля — это только часть системы. Оставшаяся часть системы — ружье — тоже должно получить импульс, равный –mv,  так как оно перемещается в противоположном направлении. Если ружье обладает массой в n  раз большей, чем масса пули, оно должно переместиться в противоположном направлении со скоростью, равной 1/n  скорости ускоряющейся пули. Количество движения ружья (минус пуля) будет тогда: (nm)∙ (–v/n), или –mv.  (Если в момент выстрела ружье не было закреплено, то этот «обратный» рывок его — хорошо виден. Если же мы стреляем из ружья обыкновенным образом, то чувствуем его обратное движение в виде «отдачи».) Полное количество движения, равное импульсу пули плюс импульс ружья, как было равно нулю до выстрела, так и осталось равно нулю после выстрела, хотя в данном случае распределение количества движения среди частей системы весьма различается до и после выстрела.

Короче говоря, все эксперименты, которые мы можем провести, приводят нас к заключению, что: «Полное количество движения изолированной системы тел остается постоянным».  Это выражение называется законом сохранения импульса.

Конечно, чтобы доказать обобщение, нужно не просто перечислять отдельные случаи, подтверждающие его истинность. Независимо от того, насколько часто вы экспериментируете и приходите к выводу, что количество движения сохранено, вы не можете заявить с уверенностью, что так будет всегда. В лучшем случае можно заявить, что поскольку эксперимент за экспериментом подтверждают истинность закона и поскольку в результате экспериментов не было получено данных, опровергающих этот закон, то существует большая вероятность того, что данный закон верен. Было бы гораздо лучше, если бы мы могли доказать обобщение, опираясь на другое обобщение, истинность которого уже была доказана ранее.

Например, предположите, что дна тела любой массы, перемещающиеся с любыми скоростями, сталкиваются под любым углом, с любой степенью упругости. В момент столкновения одно тело прикладывает силу (f) ко второму. В соответствии с третьим законом Ньютона второе тело прикладывает к первому телу равную и противоположную по знаку силу (–f). Сила прикладывается в течение времени, пока эти два тела остаются в контакте. Время (t) контакта, очевидно, одинаково для обоих тел, поскольку, когда первое тело перестает быть в контакте со вторым, второе также перестает быть в контакте с первым. Это означает, что импульс первого тела на втором равен ft, а второго на первом равен –ft.

Импульс первого тела на втором передает изменение количества движения, равное mv, второму телу. Но импульс второго тела на первом, являющийся абсолютно равным по величине, но противоположным по знаку, должен передать изменение в количестве движения, равном –mv,  первому. Изменения в количестве движения могут быть большие или маленькие в зависимости от размера импульса, угла столкновения и эластичности материала; однако независимо от величины изменения количества движения первого тела изменение количества движения второго тела равно по величине и противоположно по направлению. Полное количество движения системы должно оставаться тем же самым.

Таким образом, закон сохранения импульса может быть получен из ньютоновского третьего закона движения. На самом деле, однако, этого не произошло, и закон сохранения импульса был открыт в 1671 году английским математиком Джоном Валлисом (1616–1703) на дюжину лет раньше, чем Ньютон опубликовал свои законы движения. Обратный путь, кстати, тоже возможен, и третий закон движения тоже можно получить из закона сохранения импульса.

Туг у вас может появиться ощущение, что что-то не так, ведь если физики доказывают закон сохранения количества движения, опираясь на третий закон движения, а затем доказывают третий закон движения, исходя из закона сохранения количества движения, то они фактически ходят по кругу и не доказывают ничего вообще. Это бы и было, если бы происходило так, но все происходит иначе.

Здесь не столько вопрос «доказательства», сколько вопрос создания предположения и демонстрации последствий этого предположения. Можно начинать с того, что принять третий закон движения, а затем показать» что закон сохранения импульса есть следствие его действия. Точно так же можно начать с того, что принять закон сохранения импульса и показать, что третий закон — следствие из него.

Направление доказательства, которое вы выберете, — просто вопрос удобства. В любом случае не существует никакого магического «доказательства», также нет и никакой обычной «ясности». Целая структура опирается на тот факт, что никто в течение почти трех столетий не был в состоянии провести четкую демонстрацию опыта, который показал бы, что существует или может быть искусственно создана система, в которой не действует третий закон движения или закон сохранения импульса. Такая демонстрация может быть проведена завтра, и тогда, как последствие этой демонстрации, придется, вероятно, изменить многие основы физики; но к настоящему моменту времени вероятность того, что это случится, кажется весьма и весьма небольшой[24].

И все же, может быть, мы немного пофантазируем и попытаемся придумать случаи, когда этот закон не соответствует действительности? Например, предположим, что бильярдный шар бьет в борт бильярдного стола и отскакивает по своей собственной линии удара. Его скорость была v, стала после отскока — у, и так как его масса не изменилась, то первоначальная величина mv  количества движения стала равна — mv.  Разве это не явное изменение количества движения?

Да, это так. Но бильярдный шар не представляет собой систему целиком. Полная система включает в себя борт бильярдного стола, который приложил импульс, изменивший количество движения бильярдного шара. В действительности, так как бильярдный стол удержан на основании (земле) при помощи сил трения, преодолеть которые шар не может из-за их слишком большой величины, то система включает в себя также и всю планету. Количество движения Земли изменяется ровно настолько, чтобы компенсировать изменение в количестве движения бильярдного шара. Однако масса Земли значительно больше, чем у бильярдного шара, и изменение в ее скорости поэтому также соответственно меньше — слишком ничтожно малое, чтобы быть обнаруженным любыми известными человеку средствами.

Все же можно было бы предположить, что, если достаточное количество бильярдных шаров, двигающихся в одном и том же направлении, будут ударять в достаточное количество бильярдных столов в течение достаточно долгого времени, движение Земли могло бы быть ощутимо изменено. Как бы не так! Каждый ударяющийся бильярдный шар должен ударить противоположный край стола, или вашу руку, или какое-то другое препятствие. Но если даже он просто медленно остановится благодаря трению (которое можно рассматривать как серию микроударов шара о ткань стола), это ничего не изменит. Независимо от того, каким образом двигается бильярдный шар, он распределит изменения в своем количестве движения одинаково в обоих направлениях, прежде чем остановится, если только непосредственно вовлечены шар и Земля.

В наиболее общем случае распределение количества движения между Землей и всеми подвижными объектами на ее поверхности или около может время от времени изменяться, но полное количество движения и поэтому общая скорость Земли плюс всех этих подвижных объектов (предполагая, что общая масса остается неизменной) должны оставаться теми же самыми. Никакая величина или вид взаимодействия среди компонентов системы не могут изменить полное количество движения этой системы.

А теперь решение проблемы падающего тела, которой я открыл данную главу. В то время как тело падает, оно получает некоторое количество движения (mv), это количество движения нарастает по мере увеличения скорости. Система, однако, состоит не только из одного падающего тела. Сила тяготения, которая вызывает движение, относится и к телу, и к Земле. Следовательно, Земля должна получить количество движения, равное (–mv), двигаясь навстречу телу. Из-за огромной массы Земли это ее встречное ускорение исчезающе мало и при любых практических вычислениях может игнорироваться. Однако принцип остается. Когда тело падает, движение не создается из ничего. Скорее возникает и движение тела, и антидвижение Земли, и эти два движения взаимоисключаются. Полное количество движения Земли и падающего тела относительно друг друга является нулевым до того, как тело начинает падать, нулевым — после того, как оно заканчивает падение, и нулевым — в любой произвольно взятый момент времени в течение его падения.

 

 

Вращательное движение

 

До сих пор я рассматривал движение, как если бы оно вовлекало перемещение объекта через пространство в едином целом с различными частями объекта, поддерживающими их взаимную неизменяемую ориентацию. Такое движение называется «поступательным» (translationat)  — от латинских слов, означающих «переносить».

Однако возможно и перемещение тела, при котором оно не будет двигаться через пространство как единое целое, но при этом — все же будет перемещаться. Например, центр колеса может быть закреплен на одном месте, чтобы колесо в целом не изменяло своего положения; однако само колесо может вращаться относительно этого центра. Подобным же образом сфера, установленная в пределах некоторого объема пространства, может вращаться вокруг некоторой установленной линии, оси. Этот вид движения называется «вращательным» (rotational) —  от латинского слова, означающего «колесо». (Конечно, тело может двигаться и в комбинации из этих двух типов движения, как это делает бейсбольный мяч, который крутится, одновременно перемещаясь вперед, или как Земля, которая вращается вокруг своей оси, одновременно перемещаясь вперед по своей орбите вокруг Солнца.)

Вращательное движение весьма аналогично поступательному, но рассмотрение его требует изменения точки зрения. Например, мы привыкли думать о скорости поступательного движения в терминах «миля в час» или «сантиметры в секунду», во вращательном движении единицы измерения другие. Кроме того, мы принимаем как очевидное, что если одна часть тела имеет некоторую скорость поступательного движения, то и все остальные части тела имеют такую же скорость. Другими словами — весь самолет перемещается вперед со скоростью своего носа.

В случае вращательного движения эти вопросы различны. Точка на ободе вращающегося колеса перемещается уже с некоторой скоростью, точка, находящаяся ближе к центру колеса, перемещается с меньшей скоростью, а точка, находящаяся еще ближе к центру, перемещается с еще меньшей скоростью. Точка, находящаяся в центре вращающегося колеса, неподвижна. Поэтому сказать, что колесо вращается со скоростью столько-то сантиметров в секунду, является бессмысленным, если мы не указываем точную часть колеса, к которой относится данное высказывание, а это может быть достаточно неудобно.

Было бы более удобно, если бы мы могли найти некоторый метод измерения скорости вращения, который был бы применим сразу ко всему телу вращения. Одним из таких методов может быть рассмотрение числа оборотов тела за единицу времени. Хотя различные точки на колесе могут двигаться с различной скоростью, каждая точка на колесе заканчивает вращение в один и тот же момент времени, так как колесо вращается «как единое целое». Поэтому мы можем говорить о колесе (или любом другом объекте вращения), что оно «имеет скорость в столько-то вращений в минуту» (обычно это выражение сокращают как «об/мин», или «rpm» —  от английского «revolutions per minute».

Или мы могли бы разделить одно обращение колеса на 360 равных частей, называемых «градусами» (сокращенно градус обозначается значком °. В этом случае 1 оборот в минуту был бы равен 360 град./мин, или 6 град./с (градусов в секунду). В то время как колесо поворачивается на какой-то градус линия, соединяющая центр колеса с точкой на его ободе, образует угол. Поэтому о скорости, данной в оборотах в минуту или в градусах в секунду, обычно говорят как об «угловой скорости».

Вращательное движение способно совершаться любым из двух зеркально отраженных способов. Если смотреть из некоторого фиксированного положения, то колесо может выглядеть вращающимся «по часовой стрелке», то есть в том же направлении, в котором двигаются стрелки часов. Но с другой стороны, оно может двигаться «против часовой стрелки», то есть в сторону, противоположную движению стрелок часов[25]. Поэтому об угловой скорости можно говорить, учитывая не только величину, но также и направление. (Что касается скоростей, включаемых в поступательное движение, то о них можно говорить как о «линейных скоростях», так как движение тут происходит скорее по линии, чем по углу.)

Физики используют другую единицу измерения вращательной скорости — радиан. Это угол, который отображает на окружности дугу, равную по длине радиусу круга. Длина окружности равна π, умноженному на диаметр окружности[26], то есть 2π умножить на радиус круга. Поэтому длина окружности равна 2πr , умноженным на длину дуги, обозначенной одним радианом. Один полный оборот заключает в себя прохождение одной полной длины окружности, то есть один оборот равняется 2π  радианам, или 360°. Из этого следует, что один радиан равняется 360°/2π, или, так как к  равняется 3,14159, один радиан примерно равен 57,3° (1 рад = 57,3°).

Угловая скорость часто обозначается греческой буквой ω  («омега»), так как это — греческий эквивалент латинской буквы v, обычно используемой для обозначения линейной скорости.

Для любой данной точки на вращающемся теле угловая скорость может быть приведена к линейной скорости. Линейная скорость зависит не только от угловой скорости, но также и от расстояния, на котором находится рассматриваемая точка от центра вращения (r). Если для той же самой угловой скорости удвоить расстояние от точки до центра вращения, то линейная скорость точки также удвоится. В таком случае можно сказать, что:

 

v = rω.  (Уравнение 6.4)

 

Это уравнение абсолютно корректно, когда ω  измеряется в радианах в единицу времени. Например, если угловая скорость — один радиан в секунду, то за одну секунду данная точка, расположенная на окружности колеса, проходит дугу, равную ее расстоянию от центра, и v = r.  Εсли ω  равняется 2 радианам в секунду, то v = 2r  и так далее.

 

а) Величина радиана; б) Угловая скорость

 

Если бы мы измеряли ω  в оборотах в единицу времени, то уравнение 6.4 можно было бы прочитать как (v = 2πrω), а если бы мы измеряли ее в градусах в единицу времени, то это же уравнение можно было бы прочитать как v = rω/57,3. Это — пример того, как единица измерения, которая на первый взгляд может показаться имеющей странную и неудобную размерность, оказывается весьма полезной, потому что она позволяет выразить отношения между величинами с максимальной простотой.

 

 

Крутящий момент

 

Для того чтобы привести тело, находящееся в состоянии покоя, в поступательное движение, требуется приложить к нему силу. Но при некоторых условиях сила может вместо этого вызвать вращательное движение тела. Предположим, например, вы прибили гвоздем один конец доски к деревянному основанию. Если вы теперь толкнете доску, то она не будет двигаться в поступательной манере движения, так как один конец ее закреплен. Вместо этого доска начнет совершать вращательное движение вокруг зафиксированного конца.

Сила, которая вызывает такое вращательное движение, называется крутящим моментом («torque»  — от латинского слова, означающего «вращать»). Если мы продолжим использовать греческие буквы для обозначения элементов вращательного движения, мы можем обозначить крутящий момент греческой буквой τ («tau» — «тау»), которая является эквивалентом латинской буквы «t» (от латинского «torque» — очевидно).

Данная сила не всегда вызывает тот же самый крутящий момент. В случае упомянутой доски величина крутящего момента зависит от расстояния между точкой, к которой приложена сила, и фиксированной точкой. Сила, приложенная непосредственно к фиксированной точке, не будет вызывать крутящий момент. По мере отступа от этой точки данная сила произведет все более быстрое вращение и поэтому вызовет все больший и больший крутящий момент. Фактически крутящий момент равен силе (f), умноженной на расстояние (r):

 

τ = fr.  (Уравнение 6.5)

 

В прошлом о крутящем моменте говорили как о «моменте силы», но эта фраза теперь вышла из употребления. Крутящий момент может быть вызван не только в случае, когда какая-то часть тела зафиксирована в пространстве, но даже тогда, когда все тело способно свободно перемещаться.

Рассмотрим тело, обладающее массой, но состоящее из одной-единственной точки. Такое тело может подвергнуться только поступательному движению. Вращающееся тело, в конце концов, крутится относительно некоторой точки (или линии); если эта точка — все, что существует, и нет ничего еще, что могло бы вращаться, возможно только линейное движение. Зато к таким точечным массам наиболее просто применить законы движения.

Однако в реальной Вселенной не существует никаких точечных масс. Все реальные тела, обладающие массой, могут расширяться. Однако можно показать, что в некоторых случаях такие реальные тела ведут себя так, как будто вся их масса сконцентрирована в какой-то одной точке. Точка, в которой эта кажущаяся концентрация может быть найдена, называется «центром масс» тела. Если тело симметрично по форме и однородно по плотности или имеет плотность, которая изменяется симметричным образом, центр массы совпадает с геометрическим центром тела. Например, Земля, по существу, сферическое тело, но в то же время оно неравномерно плотно, плотность Земли — наибольшая в центре, и эта плотность уменьшается одинаково во всех направлениях, по мере приближения к поверхности. Центр масс Земли поэтому совпадает с ее геометрическим центром, и именно к этому центру и направлена сила тяжести.

Концепция центра масс может объяснять несколько вещей, которые иначе могли быть достаточно озадачивающими. Согласно ньютоновскому первому закону движения, объект, находящийся в движении, продолжает перемещаться с постоянной скоростью, если на него не воздействовать некоторой внешней силой. Предположим, что снаряд, содержащий взрывчатое вещество, перемещается через пространство с постоянной скоростью и что в некоторой точке он взрывается. Фрагменты снаряда разлетаются во всех направлениях, и различные химические продукты взрыва также расширяются по различным направлениям вовне. Этот взрыв является внутренней силой, однако, будучи одним из фрагментов в пределах рассматриваемой системы, согласно первому закону он не должен оказывать никакого эффекта на движение системы. Все же различные фрагменты снаряда больше не перемещаются с первоначальной скоростью. Что же — сломались ньютоновские законы движения?

Нисколько. Законы описывают систему в целом и совсем не обязательно должны подходить к той или иной ее части, рассмотренной в изоляции от других. В результате взрыва система изменила свою форму. Но изменил ли взрыв центр масс системы? Центр масс мог бы рассматриваться как «средняя точка» тела. Если одна часть снаряда брошена наружу, то это сбалансировано другой частью, брошенной в противоположном направлении. Чтобы быть более точным, согласно закону сохранения импульса векторная сумма всех импульсов в одном направлении должна быть равна векторной сумме всех импульсов в противоположном направлении. Можно показать, что независимо от того, как изменилась форма тела под действием внутренних силы, центр масс остается там, где он и находился до того, как произошло изменение формы. Другими словами, центр масс системы перемещается с постоянной скоростью независимо от взрыва, который расшвырял частицы системы туда и сюда.

Если бы тело под влиянием силы тяготения двигалось по параболической дуге, его внезапный взрыв не заставил бы центр масс прекратить плавное движение по этой параболической дуге, несмотря на то что отдельные фрагменты разлетелись бы во все стороны. (Сказанное подразумевает отсутствие вмешательства сил извне системы. Если фрагменты ударяются в другие тела и (при)останавливаются, движение центра масс изменяется. Опять же эффект, который оказывает сопротивление воздуха на множество частиц после взрыва, не может быть тем же, что оказывает действие на цельный снаряд перед взрывом; это тоже может изменять движение центра масс.)

Предположим теперь, что тело падает к земле. Каждую частицу тела тянет сила тяжести, но тело ведет себя так, как будто вся сила сконцентрирована в одной точке в пределах тела; такая точка называется «центром тяжести» тела. Если рассматриваемое тело находится в однородном поле тяготения, центр тяжести совпадает с центром масс тела. Однако более низкая часть тела находится несколько ближе к центру земли, чем верхняя, поэтому более низкая часть испытывает на себе большее гравитационное влияние. Следовательно, центр тяжести тела находится чуть-чуть ниже центра масс; при нормальных условиях эта разница настолько незначительная, что ей можно пренебречь, но не следует смешивать или подменять друг другом эти понятия.

Концепция центра тяжести весьма полезна при рассмотрении устойчивости тел. Представьте себе кирпич, опирающийся на свою узкую сторону. Если его слегка качнуть, а затем отпустить, он вернется назад, к своему первоначальному положению. Если качнуть его несколько больше и снова отпустить, он снова вернется назад. По мере увеличения наклона, однако, наступает такое положение, когда он падает на другую свою сторону. Что это за положение, при котором происходит этот «переворот»?

Мы можем рассматривать силу тяжести как силу, воздействующую на центр тяжести кирпича и только на эту точку. Пока центр тяжести расположен непосредственно по некоторой части первоначального основания, после удаления качающей силы эффект гравитационного напряжения перемещает кирпич назад на это основание. Если кирпич качнуть так сильно, что центр тяжести сместится на некоторую точку вне первоначального основания, кирпич упадет на то основание, на котором теперь расположена эта точка.

 

Центр тяжести

 

Естественно, чем более широким является основание по сравнению с высотой центра тяжести, тем на больший градус требуется качнуть кирпич, прежде чем центр его тяжести переместится, другими словами: чем шире основание, тем устойчивей тело. Кирпич, лежащий на своей самой широкой стороне, более устойчив, чем такой же, но стоящий на своей узкой стороне.

Конус, опирающийся на свой острый конец, может быть выставлен таким образом, что его центр тяжести будет непосредственно выше этой точки. Тогда он останется в состоянии равновесия. Однако самое небольшое движение или слабое дуновение воздуха способно переместить его центр тяжести за эту точку в одном или другом направлении, и конус упадет вниз. Жонглер переносит объекты, сбалансированные на точках, или, говоря более точно, на очень маленьких основаниях, перемещая собственное тело таким образом, чтобы подводить основание под центр тяжести каждый раз, когда центр тяжести пытается сместиться из этого положения.

Если тело неоднородно по плотности, то его центр тяжести не расположен в его геометрическом центре, а смещен к более плотным частям. Объект, который является особенно плотным в своей самой нижней части («с тяжелым основанием»), имеет необычно низкий центр тяжести. Даже большой градус наклона не будет выносить этот низкий центр тяжести за границу основания, и, когда мы отпустим его, объект возвратится в свое первоначальное положение. С другой стороны, объект, который является особенно плотным в своей верхней части («с тяжелой вершиной»), имеет необычно высокий центр тяжести и упадет даже после небольшого качания. Так как обычно мы имеем дело с объектами примерно однородной плотности, мы удивляемся отказу объекта с тяжелым основанием падать (например, детская игрушка ванька-встанька, которая поднимается, даже если мы положим ее на бок), или легкости, с которой объект с тяжелой вершиной переворачивается.

Позвольте нам теперь вернуться к нашей точечной массе, которая подвержена только поступательному движению. Если мы представим себе силу, приложенную к реальному телу таким образом, чтобы пересечь его центр масс, то это реальное тело ведет себя так, как будто оно — точечная масса и подвергается чисто поступательному движению. Таким образом, у свободно падающего тела сила тяжести приложена непосредственно к центру тяжести (обычно совпадающему с центром масс), поэтому (без учета действия возможного крутящего момента, возникающего в момент, когда тело отпускают, а также ветра и сопротивления воздуха) тело будет падать чисто поступательно.

Если, однако, сила приложена к телу таким способом, что направлена по одной или другой стороне от центра масс, происходит возникновение крутящего момента. Такие тела, даже когда сила приводит их в поступательное движение, одновременно подвергаются и вращательному движению. Манера, в которой двигается футбольный мяч, бейсбольный мяч и любой другой подобный объект, известна всем. В природе настолько трудно сосредоточить силу на центре масс, что фактически невозможно предохранить тело от вращения.

Естественно, чем дальше точка приложения силы находится от центра масс, тем больше в движении тела доля вращательного движения по сравнению с поступательным. Мы можем легко заставить крутиться стоящую на ребре монетку, взяв ее за ребра пальцами, при этом скорость ее вращения — велика, а скорость перемещения — очень небольшая.

Есть теория, согласно которой звезды и планеты были порождены увеличением в результате соударений растущих ядер тел и маленьких фрагментов. В результате труда астрономов возникли схемы, из которых видно, что эти сталкивающиеся тела кажутся имеющими тенденцию более частого соударения со сторонами вне центра масс, что приводит к образованию крутящих моментов, сумма которых не равна нулю. Таким образом, образуется комбинированное движение небесных тел — они двигаются прямолинейно, одновременно вращаясь вокруг некоторой оси.