Надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике. В них содержится и проценты числа, и процентное содержание, а это, как правило, вносит растерянность и путаницу у студентов при их решении, так как их приучили работать с чем-то одним при решении задач.

Задача 4.5.1. Винни-Пух очень любил мед и стал разводить пчел, в первый год пчелы дали 10 кг меда, но Винни-Пуху этого было мало, во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Винни-Пуху. Он подсчитал, что ему надо примерно 13 кг меда. Вопрос: сколько лет должен ждать Винни-Пух, чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличивать производство меда на 10 %.

Решение: Для того чтобы узнать, сколько надо ждать Винни-Пуху, надо узнать, сколько у него будет через год, а будет 11 кг, через два года 12,1 кг, и только на третий год он удовлетворит свои потребности.

Ответ: 3 года. 

Задача 4.5.2. Когда Том Сойер нашел клад, он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк при 5 % годовых каждый год получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал, что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?

Решение: Если 5 % это 300 долларов, то 100 % будет равно 6000 долларов.

Ответ: 6000 долларов. 

Задача 4.5.3. В библиотеке имеются книги на английском, на французском и на немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг, французские - 75% английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?

Решение:

75 % = 3/4  значит 36 % * 3/4 = 27 % французские, книги от всего количества.

36 % + 27 % = 63 % это английские и французские книги вместе.

100 % – 63 % = 37 % всего немецких книг.

185 / 37 % = 5 книг это 1 %.

Всего книг в библиотеки 100 % * 5 = 500 книг.

Ответ: 500 книг.

 Задача 4.5.4.  За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 %, то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?

 Решение:

Составим уравнение.

 1 · Х + 10 · Y = 20

1 · X( 1 + 0,15 ) + 10 · Y ( 1 – 0,25 ) = 18,2 

 решив это систему уравнений, получим: Y = 1,2; X = 8 рублей

Ответ: 8 руб. и 1,2 руб.

Задача 4.5.5. Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?

Решение:

Составим уравнение.

 Х + Y = 500

X( 1 + 0,3 ) + Y ( 1 + 0,2 ) = 630

Решив эту систему уравнений, получим:   Y = 240, X = 390 тон.

Ответ: 390 тонн пшеницы, 240 тонн ржи.

Задача 4.5.6. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

Решение: Для решения этой задачи нужно понимать, что результат 1312,5 это сумма за первый год и плюс 25 % или 125 % или 100 % = 1050 рублей.

Тоже самое делаем с суммой 1050, так как вклад был на два года 125% = 1050 рублей или 100 % = 840 рублей.

 Можно решить вторым способом, используя формулу для сложных процентов

1312,5 = Х · ( 1+ 0,25)²,                   Х = 840 рублей.

Ответ: 840 рублей.

 5. Методика изучения процентов при подготовке к ЕГЭ .

Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у студентов. Причина такой ситуации, на мой взгляд, заключается в том, что тема “Проценты” изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах. Неумение решать текстовые задачи показывает недостаточное знание математики.

Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.

При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты – проценты, начисляемые на процентные деньги.

Рассмотрим решение различных типов задач на нахождение процентов при подготовке к ЕГЭ.