Задача №4.
Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма текущего долга увеличивалась на 10 %, а в конце года производился платёж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взят кредит?
Решение:
Кредит (S)
Введём коэффициент b=1+0,01r
| Год | Долг с % |
| 0 | |
| 1 | Sb |
| 2 | Sb2 |
| 3 | Sb3 |
| n год | Sbn |
Sbn=928200, ставка (r) -10%, b=1,1
х= 200000рублей, аннуитетные платежи.
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 | Sb | х | Sb-x |
| 2 | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | Sb3_ хb2-xb-x |
| n год | Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb | x | Полная выплата, долг равен 0 |
Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb-x=0
Sbn-x(bn-1+bn-2 +…+b2+b+1)=0
По формуле суммы геометрической прогрессии
bn-1+bn-2 +…+b2+b+1= 
Sbn- x 
=0
928200- 200000 
=0
2000000 
-1)=928200
=1+0,4641, =1,4641
n=4
Ответ:4 года.
Вклады.
Задача №1.
Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?
Решение:
S=3600 тысяч – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=3 года, х =? – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | +х | Sb+x |
| 2 год | b(Sb+x)= Sb2+xb | +х | Sb2+xb+x |
| 3 год | b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb | Снял вклад |
Sb3+хb2+xb = 1,485S
х(b2+b) = 1,485S - Sb3
х(1,21+1,1) = 1,485S – 1,331S
2,31х = 0,154*3600
2,31х = 554,4
х = 240
Ответ: 240000.
Задача №2.
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? (Решение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии)
Решение:
S=1000000 – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=4 года, х =133000 – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | +х | Sb+x |
| 2 год | b(Sb+x)= Sb2+xb | +х | Sb2+xb+x |
| 3 год | b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb | +х | Sb3_+хb2+xb+х |
| 4 год | b(Sb3_+хb2+xb+х)= Sb4_+хb3+xb2+хb | Снял вклад |
Sb4_+хb3+xb2+хb=Sb4_+хb(b2+b+1)= 
Ответ: 1948353 рублей.
Задача №3.
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
Решение:
S=50000 – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=3 года, х – действие
Саша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | - 0,1Sb | 0,9Sb |
| 2 год | 0,9Sb*b=0,9Sb2 | -20000 | 0,9Sb2- 20000 |
| 3 год | (0,9Sb2- 20000)*b = 0,9Sb3_ 20000b | Снял вклад |
0,9Sb3_ 20000b = 0,9*50000*1,331–20000*1,1 = 59895–22000 = 37895рублей
Паша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | - 0,2Sb | 0,8Sb |
| 2 год | 0,8Sb*b=0,9Sb2 | -15000 | 0,8Sb2- 15000 |
| 3 год | (0,8Sb2- 15000)*b = 0,8Sb3_ 15000b | Снял вклад |
0,8Sb3_ 15000b = 0,8*50000*1,331–15000*1,1 = 53240–16500 = 36740рублей
37895 – 36740 = 1155 рублей
Ответ: у Саши на 1155 рублей.
Задача №4.
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
Решение:
S – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=3 года, х – действие
Миша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | -5000 | Sb - 5000 |
| 2 год | (Sb-5000)*b=Sb2-5000b | +5000 | Sb2-5000b+5000 |
| 3 год | (Sb2-5000b+5000)*b = Sb3-5000b2+5000b | Снял вклад |
Sb3-5000b2+5000b = 1,331S-5000*1,21+5000*1,1=1,331S-6050+5500=1,331S-550
Маша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | + 5000 | Sb + 5000 |
| 2 год | (Sb+5000)*b=Sb2+5000b | -5000 | Sb2-5000b-5000 |
| 3 год | (Sb2+5000b-5000)*b = Sb3+5000b2-5000b | Сняла вклад |
Sb3+5000b2-5000b = 1,331S+5000*1,21-5000*1,1=1,331S+6050-5500=1,331S+550
Ответ: у Маши на 1100 рублей.
Задача №5.
Гражданка Васильева вложила 44 млрд. рублей в два оффшорных банка на 3 года: часть денег в банк А, остальное в банк Б. Известно, что банк А ежегодно начисляет 10% годовых; банк Б в первый год начисляет 5% годовых, во второй – 10%, а в третий – 15%. Сколько рублей было вложено в каждый из банков, если через три года доход гражданки Васильевой от вложения денег составил 14 520 млн. рублей.
Решение:
S=44000млн – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты,
b=1+0,01r – коэффициент,
n=3 года
1 банк
| Год | Проценты | Вклад с процентами |
| 0 | S | |
| 1 год | 10% | 1,1S |
| 2 год | 10% | 1,12S=1,21S |
| 3 год | 10% | 1,13S=1,331S |
2 банк
| Год | Проценты | Вклад с процентами |
| 0 | 44000-S | |
| 1 год | 5% | 1,05(44-S) |
| 2 год | 10% | 1,05*1,1S=1,155(44000-S) |
| 3 год | 15% | 1,05*1,1*1,15S=1,32825(44000-S) |
1,331S+1,32825(44000-S)-44000=14520
1,331S-1,32825S=14520-58443+44000
0,00275S=77
S=28000 млн=28 млрд положила в 1 банк
44-28=16 положила во 2 банк
Ответ: 28 млрд и 16 млрд рублей.
Задача №6.
1 ноября 2017 года Николай открыл в банке счёт «Управляй», вложив S тысяч рублей (S – целое число) сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 октября каждого последующего года. 1 ноября 2019 года и 1 ноября 2020 года Николай планирует снять со счёта 100 тысяч и 50 тысяч рублей соответственно. 1 ноября 2021 года Николай собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги. Найдите наименьшее значение S, при котором доход Николая от вложений в банк за эти 4 года окажется более 70 тысяч рублей.
Решение:
S – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0,01r – коэффициент, b=1,1
n=4 года, х – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после действия. |
| 2017 | S | ||
| 2018 | Sb | Sb | |
| 2019 | Sb2 | -100 | Sb2-100 |
| 2020 | b(Sb2-100)=Sb3_100b | -50 | Sb3_100b-50 |
| 2021 | b(Sb3_100b-50)= Sb4_100b2-50b | Снял вклад |
Sb4_100b2-50b –S+150 
70
S(b4_1)-100b2-50b +150 70
S(1,14_1) 70-150+55+121
0,4641S 96
S 206,9
S=207
Ответ: 207тысяч рублей.
Задача №7.
За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11 
и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на 104 
%. Определите срок хранения вклада.
Решение:
S – сумма вклада
| % | Вклад с % | |
| 0 | S | |
| n | 5%, | 1,05nS |
| m | 12%, | 1,12m  1,05nS
|
| k | 11 %
|  k 1,12m 1,05nS
|
| p | 12,5% |  1,125p× k 1,12m 1,05nS
|
Пусть n месяцев лежал вклад под 5%, m месяцев – под 12%, k месяцев – под 11 
, p месяцев – под 12,5 %.
1,125p 
k 1,12m 1,05n S = 
S
1,125p = 
p = 
p= 
= 
k= 
= 
1,12m = 
m = 
m= 
= 
1,05n = 
n = 
n= 
= 
= 
= 
= 
-2n+2m+k-3p=-3 n=1
= 
n-2k+2p = -1 m=1
= 
-n+k-2m = 0 k=3
= 
m+ n = 2 p=2
1+1+3+2 = 7
Ответ: 7 месяцев.
Задача №8
Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение:
| Год | Стоимость ценной бумаги |
| 0 | 7000 |
| 1 | 7000+2000 |
| 2 | 7000+2 2000
|
| 3 | 7000+3 2000
|
| n-1 | 7000+(n-1) 2000
|
На банковском счёте:
| Год | Стоимость ценной бумаги |
| n | b(7000+(n-1) 2000)
|
| n+1 |  7000+(n-1) 2000)
|
| 15 |  7000+(n-1) 2000)
|
Чтобы сумма на банковском счёте была наибольшей необходимо, чтобы процент (r) от стоимости ценной бумаги в n-ом году был больше, чем 2000 рублей
r(7000+(n-1) 2000)  2000
0,1(7000+2000n-2000) 2000
500+200n 2000
200n 
n 
n=8
Ответ: 8 года.
|
Задачи на оптимизацию.
Задача №1.
У фермера есть два поля, каждое площадью 100 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение:
Вся площадь: 100 га
| 1 поле | Урожайность | Площадь | Полный урожай | Цена за центнер | Полный доход |
| Картофель | 400 | x | 400x | 10000 | 4000000x |
| Свекла | 300 | kx | 300kx | 11000 | 3300000kx |
Составим функцию полного дохода:
∑(x,k) = 4000000x+3300000kx→наиб
Заметим, что x+kx=100, т.е. x= 
где k 
∑(k) = 
+ 
→наиб
∑(k) = 
→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
= 
Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при k=0. Это означает, что всё первое поле нужно засадить картофелем, при этом доход будет 4000000 
рублей
| 2 поле | Урожайность | Площадь | Полный урожай | Цена за центнер | Полный доход |
| Картофель | 300 | 10000 | |||
| Свекла | 400 | 11000 |
Из второй таблицы видно, что свекла имеет, как большую урожайность, так и большую цену за центнер, следовательно, второе поле нужно засадить свеклой. При этом доход будет 400 11000 
рублей
Полный доход составляет 400 млн + 440 млн = 840 млн рублей.
Ответ: 840 млн рублей.
Задача №2.
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Вся площадь: 10 га
| 1 поле | Урожайность | Площадь | Полный урожай | Цена за центнер | Полный доход |
| Картофель | 500 | x | 500x | 5000 | 2500000x |
| Свекла | 300 | kx | 300kx | 8000 | 2400000kx |
Составим функцию полного дохода:
∑(x,k) = 2500000x+2400000kx→наиб
Заметим, что x+kx=10, т.е. x= 
где k 
∑(k) = 
+ 
→наиб
∑(k) = 
→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
= 
Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при k=0. Это означает, что всё первое поле нужно засадить картофелем, при этом доход будет 2500000 
рублей
| 2 поле | Урожайность | Площадь | Полный урожай | Цена за центнер | Полный доход |
| Картофель | 300 | 5000 | |||
| Свекла | 500 | 8000 |
Из второй таблицы видно, что свекла имеет, как большую урожайность, так и большую цену за центнер, следовательно, второе поле нужно засадить свеклой. При этом доход будет 500 8000 
рублей
Полный доход составляет 25 млн + 40 млн = 65 млн рублей.
Ответ: 65 млн рублей.
Задача №3.
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
Решение:
Общая площадь: 981
| Площадь одного номера | Кол-во номеров | Полная площадь | Цена за один номер | Полный доход | |
| Стандартные номера | 27 | x | 27x | 2000 | 2000x |
| Люкс | 45 | y | 45y | 4000 | 4000y |
Составим функцию полного дохода:
∑(x,y) = 2000x+4000y→наиб
Заметим, что 27x+45y 
981, т.е. x 
где y 
, т.е. y 
∑(y) = 
+4000y→наиб
∑(y) = 
→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
Значит функция возрастает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при y=21. Это означает, что номеров люкс будет 21. Проверим общую площадь: 45 
ер. При этом полный доход будет 
рублей.
Ответ: 86000 рублей.
Задача №4.
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?
Решение: Общая площадь : 940
| Площадь одного номера | Кол-во номеров | Полная площадь | Цена за один номер | Полный доход | |
| Стандартные номера | 30 | x | 30x | 4000 | 4000x |
| Люкс | 40 | y | 40y | 5000 | 5000y |
Составим функцию полного дохода:
∑(x,y) = 4000x+5000y→наиб
Заметим, что 30x+40y 940, т.е. x 
где y 
, т.е. y 
∑(y) = 
+5000y→наиб
∑(y) = 
→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при y=0. Это означает, что стандартных номеров будет 940 
. Проверим общую площадь: 30 
ер на номер люкс. При этом полный доход будет 
рублей.
Ответ: 125000 рублей.
Задача №5.
Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение: Оплата труда в неделю : 900000рублей
| Часы в неделю | Единицы товара в неделю | Оплата за 1 час | Полная оплата | |
| 1 завод | x2 | x | 250 | 250 
|
| 2 завод | y2 | y | 200 | 200 
|
Составим функцию количества единиц товара:
∑(x,y) = x+y→наиб
Заметим, что 250 
+200 
900000, т.е. x 
где y 
∑(y) = 
+y→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
+1 = 
Найдём нули производной: =0
=0
0,64 
=(3600- 
)
1,44 =3600
y=50
Функция принимает своё наибольшее значение при y=50 (точка максимума).
x 
= 
=40
Найдём количество единиц товара : 
+50 = 90
Ответ: 90 единиц товара.
Задача №6.
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение: Оплата труда в неделю: 5000000рублей
| Часы в неделю | Единицы товара в неделю | Оплата за 1 час | Полная оплата | |
| 1 завод | x2 | 3x | 500 | 500
|
| 2 завод | y2 | 4y | 500 | 500
|
Составим функцию количества единиц товара:
∑(x,y) = 3x+4y→наиб
Заметим, что 500 +500 5000000, т.е. x 
где y
∑(y) =3 
+4y→наиб
Возьмём производную этой функции
= 3 
+4 = 
Найдём нули производной: =0
=0
9 =16(10000- )
25 =1600000
y=80
Функция принимает своё наибольшее значение при y=80 (точка максимума).
x 
= 
=60
Найдём количество единиц товара: 3 
+4 80 = 180+320 = 500
Ответ: 500 единиц товара.
Задача №7.
Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение: 70 единиц товара
| Часы в неделю | Единицы товара в неделю | Оплата за 1 час | Полная оплата | |
| 1 завод | x2 | x | 500 | 500
|
| 2 завод | y2 | y | 200 | 200
|
Составим функцию еженедельной оплаты труда:
∑(x,y) = 500 
→наим
Заметим, что x+y 
70, т.е. x 
где y 
∑(y) =500 
→ наим
∑(y) =500 
=700 -70000y+2450000
Возьмём производную этой функции
= 1400y-70000
Найдём нули производной: 1400y-70000=0
y=50
Функция принимает своё наименьшее значение при y=50 (точка минимума).
x 
Найдём еженедельную оплату труда: 
+200 
= 500 
+200 
500000=700000
Ответ: 700 тысяч рублей .
Задача №8.
Фёдор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном в первом городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 3t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно 4t2 часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Фёдор платит рабочему 1 тысячу руб. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение: 30 единиц товара
| Часы в неделю | Единицы товара в неделю | Оплата за 1 час | Полная оплата | |
| 1 завод | 3x2 | x | 1000 | 3000
|
| 2 завод | 4y2 | y | 1000 | 4000
|
Составим функцию еженедельной оплаты труда:
∑(x,y) = 3000 
→наим
Заметим, что x+y 30, т.е. x 
где y 
∑(y) =3000 
→наим
∑(y) =3000 
=7000 -180000y+2700000
Возьмём производную этой функции
= 14000y-180000
Найдём нули производной: 14000y-180000=0
y = 
=12 
Функция принимает своё наименьшее значение при y=12 (точка минимума).
Пусть y=12, тогда x=18
Найдём еженедельную оплату труда: 
+400 
= 3000 
+4000 
000=1548000
Пусть y=13, тогда x=17
Найдём еженедельную оплату труда: 
+400 
= 3000 
4000 
000=1543000
Ответ: 1543000 рублей .
Задача №9.
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
Решение:
| 1 область | Количество рабочих | Часы в сутки | Количество за 1 час | Полное количество |
| алюминий | x | 5 | 0,1 | 0,5x |
| никель | y | 5 | 0,1 | 0,5y |
Из таблицы видно, что в первой области совершенно одинаковые условия добывания алюминия и никеля. Это означает, что в первой области алюминия и никеля будут добывать поровну по 
= 40 кг. Всего 80 кг.
Во второй области: x2 +y2=160 
x2 +y2=800
x=20, y=20. Всего 40 кг.
Ответ: 120кг.
Задача №10.
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение: 60 человек по 5 часов в день
| 1 область | Количество рабочих | Часы в сутки | Количество за 1 час | Полное количество |
| алюминий | x | 5 | 2 | 10x |
| никель | 60-x | 5 | 3 | 15(60-x) |
260 человек по 5 часов в день
| 2 область | Количество рабочих | Часы в сутки | Количество за 1 час | Полное количество |
| алюминий | y | 5 | 3 | 15y |
| никель | 260-y | 5 | 2 | 10(260-y) |
Получаем, что всего алюминия производят 10x+15y
никеля: 15(60-x)+ 10(260-y)=3500-15x-10y
Так как для сплава необходимо , чтобы на2 кг алюминия приходился 1 кг никеля, то: 10x+15y=2(3500-15x-10y)
10x+15y=7000-30x-20y
40x=7000-35y
x = 
= 
Составим функцию массы сплава:
∑(x,y) = 10x+15y +3500-15x-10y →наиб
∑(x,y) = 3500-5x+5y →наиб
∑(y) = 3500-5 
+5y →наиб
∑(y) = 3500-5 +5y →наиб
∑(y) = 
→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
Значит функция возрастает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при наибольшем значении y.
Так как x = 
то 1400-7y 0 , y 
.
Проверим значение у=200, тогда x=0.
Масса сплава: 3500-5 
+5 
=4500
Ответ: 4500 кг.
Задача №11.
Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
| Вид начинки | Себестоимость (за 1 тонну) | Отпускная цена (за 1 тонну) | Производственные возможности |
| ягоды | 70 тыс. руб. | 100 тыс. руб. | 90 (тонн в мес.) |
| творог | 100 тыс. руб. | 135 тыс. руб. | 75 (тонн в мес.) |
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц
Решение
Пусть x тонн выпускает фабрика блинчиков с ягодами, а y тонн – с творогом. Тогда по условию имеем : x 
Составим функцию прибыли:
∑(x,y) = 30x+35y→наиб
Пусть производственная возможность равна 1, тогда 
+ 
= 1
75x + 90y = 6750
x = 90 – 1,2y
∑(y) = 30(90 – 1,2y)+35y→наиб
∑(y) = 2700 - y→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при y=15. Тогда x = 90-1,2 
При этом максимальная прибыль будет 
рублей.
Ответ: 2685000 рублей.
Задача №12.
Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
| Вид тары | Себестоимость,1 ц. | Отпускная цена,1 ц. |
| стеклянная | 1500 руб. | 2100 руб. |
| жестяная | 1100 руб. | 1750 руб. |
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
Решение
Пусть x центнеров выпускает фабрика в стеклянной таре, а y центнеров – в жестяной. Тогда по условию имеем : x 
Составим функцию прибыли:
∑(x,y) = 600x+650y→наиб
Пусть производственная возможность равна 1, тогда + 
= 1
80x + 90y = 7200
x = 90 – 1,125y
∑(y) = 600(90 – 1,125y)+650y→наиб
∑(y) = 54000 - 25y→наиб
Возьмём производную этой функции
= 
Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при y=20. Тогда x = 90-1,12 
При этом максимальная прибыль будет 
рублей.
Ответ: 53500 рублей.
Нестандартные задачи
Задача №1.
Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?
Решение:
| Скорость | Время | Расстояние | |
| 1 велосипедист | 40 | t | 40t |
| 2 велосипедист | 30 | t | 30t |
Составим функцию квадрата расстояния между велосипедистами:
∑(t) = 
→наим, где t 
∑(t) = 25-400t+1600 
→наим
∑(t) = 2500 
→наим
Возьмём производную этой функции
= 5000t-580
Найдём нули производной: 5000t-580=0
t = 
= 
= 
Функция принимает своё наименьшее значение при t= ч = 60 
(точка минимума).
Найдём расстояние между велосипедистами: 
= 
= 
= 
= 
= 0,6
Ответ: 0,6км, 6,96 минут .
Задача №2 .
Бриллиант массой 20 карат был разбит на две части после чего его стоимость уменьшилась на 25,5%.а) Найдите массы частей на которые был разбит бриллиант если известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы.б) На какое максимальное число процентов может уменьшиться цена бриллианта разбитого на две части.
Решение:
M=20 карат, S- стоимость бриллианта
S=km 
,S1=km1 ,S2=km2
Пусть m 
=x, тогда m 
=20-x
1) S1+S2=0,745S
kx2+k(20-x)2=0,745 k 202
x2+(20-x)2=298
x2+400-40x+102=0
x2-20x+51=0
x1=17, x2=3
Дата: 2019-05-29, просмотров: 1290.
