х-? (Аннуитетные платежи)
Задача №1.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?
Решение:
Сумма кредита (S)- 9282000рубля
Ставка (а)=10%, b=1,1
Количество лет (n) 4 года
Ежегодная выплата ( транш) Х -?
| Год | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | x | Sb-x |
| 2 год | (Sb-x)b=Sb2-xb | x | Sb2-xb-x |
| 3 год | (Sb2-xb-x)b=Sb3-x b2-xb | x | Sb3-x b2-xb-x |
| 4 год | (Sb3-x b2-xb-x)b= Sb4-xb3-xb2-xb | x | Полная выплата - остаток 0 |
Sb4-xb3-xb2-xb =x
Sb4-(b+b2+b3)x=x
Sb4-(1+b+b2+b3)x=0
X= 
X= 
Ответ: 2928200 рублей.
Задача №2.
31 декабря 2014 года Иван взял в банке 4230000 рублей в кредит по 11,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11,5%), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года)?
Сумма кредита (S)- 4230000рубля
Ставка (а)=11,5%, b=1,115
Количество лет (n) 2 года
Ежегодная выплата ( транш) Х -?
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | - |
Sb2-xb=x
Sb2-(1+b)x=0
X= 
X= 
Ответ: 2486450рублей.
Задача №3.
31 декабря 2014 года Павел взял в банке 6327000 рублей в кредит по 12% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12%), затем Павел переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Павел выплатил долг тремя равными платежами ( то есть за три года)?
Решение:
Сумма кредита (S)- 6327000 рубля
Ставка (а)=12%,b=1,12
Количество лет (n) 3 года
Ежегодная выплата ( транш) Х -?
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 год | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | - |
Sb3_ хb2-xb =x
Sb3-(b2-b)x=x
Sb3-(1+b+b2)x=0
X= 
= 
Ответ: 2634240 рублей.
5 тип : Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи)
Задача №1.
31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6951000рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение: Сумма кредита (S) – 6951000 рублей
Ставка (r) -10%, b=1,1
3 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 год | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | - |
Sb3- хb2-xb=x
Sb3-(b2+b+1)x=0
X= 
2 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | - |
Sb2-xb=x
Sb2-(1+b)x=0
X= 
За три года: 2795100 
3=8385300
За два года:4005100 
2=8010200
Разница: 8385300-8010200=375100
Ответ: на 375100 рублей.
Задача №2.
31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Степан переводит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение: Сумма кредита (S) – 4004000 рублей
Ставка (r) -20%, b=1,2
3 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 год | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | - |
Sb3-хb2-xb=x
Sb3-(b2+b+1)x=0
X= 
2 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | - |
Sb2-xb=x
Sb2-(1+b)x=0
X= 
За 3 года выплатил: 3*1900800=5702400
За два года: 2*2620800=5241600
Разница: 5702400-5241600=460800
Ответ: 460800 рублей.
Задача №3.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 3689000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк платеж. Весь долг Алексей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение: Сумма кредита (S) – 3689000 рублей
Ставка (r) -12,5%, b=1,125
3 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x |
| 3 год | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | - |
Sb3-хb2-xb=x
Sb3-(b2+b+1)x=0
X= 
2 равных платежа
| Год | Долг с % | Платёж | Долг после выплаты |
| 0 | S | ||
| 1 год | Sb | х | Sb-x |
| 2 год | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | - |
Sb2-xb=x
Sb2-(1+b)x=0
X= 
За три года: 1549125 3=4647375
За два года:2197125 2=4394250
Разница: 4647375-4394250=253125
Ответ: 253125 рублей.
6 тип: Задачи, связанные с известным остатком. (Фиксированные платежи)
Задача №1.
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение: S – сумма кредита
r% - годовые (ежемесячные) проценты (5%)
b=1+0,01r – коэффициент (1,05)
| Месяц | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 15.01 | S | ||
| 15.02 | Sb | Sb-0,9S | 0,9S |
| 15.03 | 0,9Sb | 0,9Sb -0,8S | 0,8S |
| 15.04 | 0,8Sb | 0,8Sb -0,7S | 0,7S |
| 15.05 | 0,7Sb | 0,7Sb -0,6S | 0,6S |
| 15.06 | 0,6Sb | 0,6Sb -0,5S | 0,5S |
| 15.07 | 0,5Sb | 0,5Sb | Полная выплата - остаток 0 |
Общая сумма выплат:
(Sb+0,9Sb+0,8Sb+0,7Sb+0,6Sb+0,5Sb)-(0,9S+0,8S+0,7S+0,6S+0,5S)=
4,5Sb-3,5S=S(4,5b-3,5)=S(4,5*1,05-3,5)=1,225S
Ответ : 22,5 процента .
Задача №2.
15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.
Решение: S – сумма кредита (1000000рублей)
Найти : r% - годовые (ежемесячные) проценты
b=1+0,01r – коэффициент
| Месяц | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 15.01 | S | ||
| 15.02 | Sb | Sb-0,6S | 0,6S |
| 15.03 | 0,6Sb | 0,6Sb -0,4S | 0,4S |
| 15.04 | 0,4Sb | 0,4Sb -0,3S | 0,3S |
| 15.05 | 0,3Sb | 0,3Sb -0,2S | 0,2S |
| 15.06 | 0,2Sb | 0,2Sb -0,1S | 0,1S |
| 15.07 | 0,1Sb | 0,1Sb | Полная выплата - остаток 0 |
Общая сумма выплат:
(Sb+0,6Sb+0,4Sb+0,3Sb+0,2Sb+0,1Sb)-(0,6S+0,4S+0,3S+0,2S+0,1S)=
2,6Sb-1,6S=S(2,6b-1,6)=1*(2,6b-1,6)=2,6b-1,6
2,6b-1,6<1,2 ; 2,6b<2,8 ; b<1,076 ; b=1,07 ; r=7
Ответ: 7 процентов.
Задача №3.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
| Долг (в тыс. рублей) | S | 0,7S | 0,4S | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.
Решение: S – сумма кредита
r% - годовые (ежемесячные) проценты (15%)
b=1+0,01r – коэффициент (1,15)
| Год | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты |
| 2016 | S | ||
| 2017 | Sb | Sb-0,7S | 0,7S |
| 2018 | 0,7Sb | 0,7Sb -0,4S | 0,4S |
| 2019 | 0,4Sb | 0,4Sb | Полная выплата - остаток 0 |
1 выплата 1,15S-0,7S= 0,45S= 
2 выплата 0,7*1,15S-0,4S= 0,405S= 
3 выплата 0,4*1,15S= 0,46S= 
По условию, все выплаты должны быть целыми. Значит, число S должно делиться на 20, 200 и 50. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 200.
Ответ: 200 тысяч.
Дата: 2019-05-29, просмотров: 2613.
