Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:
Теорема 9.1. Пусть ,
аффинные пространства над телами
,
, отличными от поля
; для того, чтобы отображение
было полуаффинным, достаточно, чтобы
1). Образ любой прямой в был прямой в
, либо сводился к одной точке.
2). Аффинное подпространство в , порожденное
, имело размерность
.
Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что удовлетворяет условиям 1) и 2).
Лемма 1. Если есть ЛАМ в
, то
- ЛАМ в
.
Доказательство. Пусть и
- две различные точки в
. Тогда прямая
есть по условию 1) образ прямой
; так как прямая
содержится в
, прямая
содержится в
. Результат теперь вытекает из теоремы 4.8.
Лемма 2. Если - ЛАМ в
и множество
непусто, то оно является ЛАМ в
.
Доказательство. Результат очевиден, если сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек
,
прямая
содержится в
согласно 1). Таким образом, прямая
содержится в
и теорема 4.8 показывает, что
есть ЛАМ.
Лемма 3. Для любой непустой части пространства
. (1)
Доказательство. есть ЛАМ в
, содержащее
; по лемме 1,
есть ЛАМ в
, содержащее
. Отсюда следует включение
.
Аналогично, по лемме 2, есть ЛАМ в
, содержащее
, а потому и
; имеет место включение
; применение отображения
дает
.
Окончательно получаем равенство (1).
Лемма 4. Пусть - пара параллельных прямых в
. Если
сводится к точке, то же имеет место и для
. Если
- прямая, то и
- прямая, параллельная
.
Доказательство. Мы можем предположить, что . Тогда
есть ЛАМ размерности 2 в
, порожденное двумя точками
,
одной из прямых и точкой
другой прямой; по леммам 2и 3,
есть ЛАМ размерности
.
А). Покажем сначала, что либо
.
Допустим, что и
действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки
и
, такие, что
. Выбирая
и полагая по-прежнему
, получим с помощью леммы 3, что
и аналогично
,
откуда .
Поскольку сформулированное утверждение при очевидно, будем далее полагать
, т.е. считать, что
и
не имеют общих точек.
Б). Предположим, что - прямая в
и
; тогда
имеет размерность 2.
Если бы на прямой существовали две точки
, такие, что
, то для любой точки
мы имели бы
и
, и тогда
не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что
- прямая.
Значит, и
- две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.
В). Если сводится к одной точке, то меняя ролями
и
и применяя результат Б), мы видим, что
также сводится к точке.
Лемма 5. Если пара точек в
, таких, что множества
,
непусты, то и
- ЛАМ с общим направлением.
Доказательство. По лемме 2, и
суть ЛАМ в
. Предполагая, что
, фиксируем точку
в
и точку
в
; параллельный перенос на вектор
обозначим через
. Для любой точки
прямая
параллельна прямой
, и поскольку образ прямой
сводится к одной точке
, то образ прямой
сводится к одной точке
. Таким образом,
влечет
и имеет место включение
.
Меняя ролями и
, получим включение
, откуда
. Итак,
,
имеют общее направление.
Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в
вида
, где
, и пусть
- факторпространство
по отношению эквивалентности
, определенному условием
.
Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция
является аффинной.
Доказательство. Выбор начала в
сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства
По его векторному подпространству
, и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку
за начало в
.
Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций
на
; это есть множество ЛАМ с направлением
.(см. §2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде
, где
- инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что
полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение
равносильно
(см. лемму 5), и тем самым
. Для доказательства полуаффинности
покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть – произвольная аффинная прямая
, порожденная двумя различными элементами
из
. Без труда проверяется, что
есть ЛАМ в
, порожденное
.
По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное
; итак (в силу инъективности
),
является аффинной прямой
.
Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и
, что противоречит условию 2). Поэтому
.
Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на
, при условии замены
на
. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении
двух параллельных прямых
,
из
- две параллельные прямые. Наконец,
удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены
на
). Следовательно,
полуаффинно и так же обстоит дело с
.
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и
совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда
или
при
: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга
пространства
в
.
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения
в
(поскольку каждая прямая в
и
состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, ,
есть биекция векторного пространства
над
в векторное пространство
над
, и образ каждой прямой из
при отображении
содержится в фнекоторой прямой пространства
, но
не является полулинейным (поскольку
и
не изоморфны).
Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в
вида
, где
, и пусть
- факторпространство
по отношению эквивалентности
, определенному условием
.
Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция
является аффинной.
Доказательство. Выбор начала в
сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства
По его векторному подпространству
, и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку
за начало в
.
Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций
на
; это есть множество ЛАМ с направлением
.(см. §2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде
, где
- инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что
полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение
равносильно
(см. лемму 5), и тем самым
. Для доказательства полуаффинности
покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть – произвольная аффинная прямая
, порожденная двумя различными элементами
из
. Без труда проверяется, что
есть ЛАМ в
, порожденное
.
По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное
; итак (в силу инъективности
),
является аффинной прямой
.
Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и
, что противоречит условию 2). Поэтому
.
Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на
, при условии замены
на
. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении
двух параллельных прямых
,
из
- две параллельные прямые. Наконец,
удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены
на
). Следовательно,
полуаффинно и так же обстоит дело с
.
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и
совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда
или
при
: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга
пространства
в
.
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения
в
(поскольку каждая прямая в
и
состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, ,
есть биекция векторного пространства
над
в векторное пространство
над
, и образ каждой прямой из
при отображении
содержится в некоторой прямой пространства
, но
не является полулинейным (поскольку
и
не изоморфны).
Дата: 2019-05-29, просмотров: 305.