Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит
.
Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть пространства
была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если - любая прямая, соединяющая две точки
, содержалась в
;
b) если - эвибарицентр любых трех точек
лежал в
.
Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в точку
и покажем, что
есть ВПП пространства
.
a) Предположив, что , установим прежде всего, что условия
и
влекут
.
Действительно, по предположению существует точка , такая, что
. Точка
, определенная условием
, принадлежит прямой (АВ) и, значит,
, откуда следует, что
.
Рассмотрим далее два любых вектора и
в
и выберем
(что возможно, так как
не сводится к
). Точки
и
(см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому и
. Следовательно, точка
принадлежит
, откуда
. Итак
есть ВПП в
.
Рис. 1
b) Если , то тривиальным образом
влечет
(так как
может принимать только два значения 0, 1). Если
,
- два вектора из
, то точка
, определяемая условием
, есть эквибарицентр
, откуда и вытекает наше утверждение.
Аффинные и полуаффинные отображения
Определение 5.1. Пусть ℰ, - два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами
,
.
Отображение ℰ
называется полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка
, что отображение
,
полулинейно (соответственно линейно).
Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка , удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ и отображение
не зависит от
.
Доказательство. Для любой пары ℰ имеем в силу линейности
,
что и доказывает требуемое.
Обозначения. Отображение обозначается
и называется полулинейной (соответственно линейной) частью
.
Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку и снабдим
,
векторными структурами, принимая за начало в ℰ точку
, а в
- точку
. Тогда
будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если
- полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰА в
.
В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку , сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰ А в себя.
Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).
Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.
Если ,
- два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение
и
есть отображение вида
, где
полулинейно (соответственно линейно), а
- постоянный элемент.
Непосредственные следствия. Если ℰ
полуаффинно, то
1) Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в .
2) Прообраз ЛАМ в есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.
3) Для любой системы взвешенных точек ℰ образ барицентра
есть барицентр
, где
обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с
.
Применение аффинных реперов
Теорема 5.2. Пусть ℰ, - аффинные пространства над телами
,
,
- изоморфизм
на
,
- аффинный репер в ℰ и
- семейство точек
, индексированное тем же множеством индексов
.
Тогда существует единственное полуаффинное отображение пространства ℰ в
, ассоциированное с изоморфизмом
, такое, что
для всех
.
Более того, биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство
есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для
.
Доказательство. Вернемся к теореме , взяв одну из точек
в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку
- в
; отображение
определяется равенством
для любого конечного подмножества и любой системы скаляров
, таких, что,
.
В частности, аффинное отображение ℰ в определяется заданием образа аффинного репера из ℰ.
Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем
Предложение 5.3. Пусть ℰ- аффинное пространство над телом . Тогда
a) Если ℰ
- непостоянное аффинное отображение, то
- аффинная гиперплоскость в ℰ с направлением
.
b) Обратно, если - аффинная гиперплоскость в ℰ, то существует аффинное отображение
ℰ
, такое, что
, и все аффинные отображения ℰ в
с этим свойством суть отображения
, где
.
Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности , то каждое ЛАМ размерности
в ℰ определяется системой уравнений вида
, где
- аффинные отображения ℰ в
, линейные части которых независимы.
Характеризация аффинных отображений
Теорема 5.4. Пусть ℰ - два аффинных пространства над одним и тем же телом
. Для того, чтобы отображение
ℰ
было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы
a) при
ℰ
ℰ
;
b) при образ эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.
Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).
a) При фиксированной точке ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора
направляющего пространства
имеем
.
Отображение удовлетворяет, следовательно, условию
.
Чтобы доказать, что выполняется и условие для любых
, выберем такие
, что
,
и
, определим точки
,
условиями
,
. Применяя условие a), получим тогда
,
откуда
.
Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.
Дата: 2019-05-29, просмотров: 259.