Теорема 5.5. Если - полуаффинное отображение и множество
его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством
, состоящим из неподвижных элементов отображения
.
С другой стороны, если конечномерно и
не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то
имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство. Если фиксировать точку , условие
равносильно
и, значит, условию
где
· Если - неподвижная точка
то
равносильно
откуда вытекает первое утверждение.
· Если , то отображение
инъективно и потому в случае конечной размерности
биективно; в
существует единственная точка
такая, что
откуда следует второе утверждение.
Важное замечание. Если - произвольное отображение и
- биекция, то
Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы.
Если и
- два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то
также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и
Отсюда выводится
Теорема 5.6. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции
на
образуют группу, которую мы обозначаем
(соотв.
). Отображение
(линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм
на
и
на группу
полулинейных биекций
на
.
Наконец, для любой точки в
ограничение
на группу изотропии точки
в
(соотв.
) является изоморфизмом этой группы на
(соотв.
).
Последнее утверждение получим, выбирая в качестве начала в
.
Следствие. Если подгруппа в
(соотв. в
), то
есть подгруппа в
(соотв. в
); при этом если
инвариантная подгруппа, то такова же и
.
В частности, если то
есть инвариантная подгруппа в
, образованная трансляциями.
Если то
есть инвариантная подгруппа в
, образованная трансляциям и центральными симметриями.
Если
инвариантная подгруппа группы
, образованная векторными гомотетиями, то
есть инвариантная подгруппа в
, называемая группой дилатаций.
Пусть дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда
векторная гомотетия вида
где
В этом случае
имеет единственную неподвижную точку
определяемую из условия
где
произвольная точка
. Таким образом,
выражается как
Такое отображение называется гомотетией с центром
и коэффициентом
Сформулируем
Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии составляют инвариантную подгруппу группы
, называемую группой дилатаций
. Мы обозначаем ее
.
Если основное тело коммутативно, то группа
является инвариантной подгруппой группы
.
Проектирования
Назовем проектированием любое аффинное отображение
пространства
в себя, удовлетворяющее условию
Рис. 2
Для такого отображения любая точка является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства
. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:
Предложение 5.8. Отображение является проектированием, если существует ВПП
пространства
и ЛАМ
в
с направляющим подпространством
дополнительным к
, такие, что для любой точки
ее образ
есть точка пересечения
с ЛАМ, проходящим через
с направлением
(рис. 2).
Аффинные симметрии
Теорема 5.9. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
над телом
характеристики
.
Для того, чтобы аффинное отображение было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией
Такое отображение называется аффинной симметрией.
Доказательство. Если и
, то образом середины отрезка
будет середина отрезка
таким образом, эта точка инвариантна при отображении
и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.
Предложение 5.10. Отображение является аффинной симметрией, если существуют ВПП
пространства
и ЛАМ
с направлением, дополнительным к
такие, что для любой точки
(см.рис.2)
1).
2). Середина принадлежит
.
Если сводится к одной точке
то
и
есть центральная симметрия с центром
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему есть ВПП в
и
- два аффинных пространства в
, направляющие которых соответственно
дополнительны к
Обозначим через
(соотв.
) ограничение проектирования
на
(соотв.
) параллельно
Тогда, как легко видеть,
является аффинной биекцией
на
, обратная к которой есть
. Образ
точки
определяется условиями
и
(см. рис. 3).
В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное
Рис.3
указанным способом соответствие между и
является аффинным.
В частности, если
векторная гиперплоскость, то справедлива
Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.
§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.
Пусть снова - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством
. Как мы уже видели, выбор начала в
позволяет отождествить
с
теперь мы докажем, что
канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства
изоморфного
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке отображения
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма. Пусть левое векторное пространство над телом
а
произвольное множество. Тогда множество
отображений
в
есть левое векторное пространство над
по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
и
В силу доказанного искомое векторное пространство будет ВПП в
, порожденным отображениями
Поэтому мы начнем с изучения этого пространства
Предложение 6.1. Пусть - векторное подпространство в
, порожденное функциями
пуст, далее,
элемент из
. Тогда
А). Сумма зависит только от функции
и притом линейно, т.е. является линейным отображением
в
которое мы обозначим
Б). Если то существует единственная точка
, такая, что
.
В). Если то
постоянна.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек , такие, что
но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары
выполнено соотношение
, (1)
которое доказывает существование и линейность функции
Б). Если выберем в
произвольную точку
Соотношение (1) показывает, что в
существует единственная точка
такая, что
она определяется условием
Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой
Таким образом, барицентр семейства
зависит только от функции
В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).
Следствие. является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида
Предложение 6.2. Пусть отображение
и пусть
отображение
в
которое любому вектору
ставит в соответствие постоянную функцию, равную
на
.
Тогда аффинно с линейной частью
и потому инъективно; при этом
есть аффинная гиперплоскость
в
с уравнением
Доказательство. Для любой пары разность
есть постоянная функция
; положим
. Таким образом,
аффинно,
и
инъективно, как и
С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции суть элементы
удовлетворяющие условию
.
Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству , ассоциированному с векторным
-пространством
, можно канонически присоединить:
· Векторное пространство изоморфное
,
· Ненулевую линейную форму на
,
· Аффинную инъекцию , такую, что
- аффинная гиперплоскость в
с уравнением
Доказательство . Остается только установить изоморфизм между и
. Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка
, отображение
,
линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки
.
Заметим, что аффинная гиперплоскость имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость
постоянных функций, которая отождествляется с
.
Замечания. 1). Векторную структуру на множестве можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству
, но это связано с утомительными выкладками.
2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение единственным образом определяемое заданием
.
Обозначения. Векторное пространство , построенное таким образом, называется векторным продолжением
и обозначается
.
Если имеет размерность
то размерность
равна
. Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
Дата: 2019-05-29, просмотров: 270.