Теорема 5.5. Если - полуаффинное отображение и множество  его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством , состоящим из неподвижных элементов отображения .

     С другой стороны, если  конечномерно и не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то имеет единственную неподвижную точку.

       Доказательство. Если фиксировать точку , условие равносильно и, значит, условию  где

· Если - неподвижная точка то  равносильно откуда вытекает первое утверждение.

· Если , то отображение  инъективно и потому в случае конечной размерности  биективно; в существует единственная точка  такая, что  откуда следует второе утверждение.

Важное замечание. Если - произвольное отображение и - биекция, то

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если  и  - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то  также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и  Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством  Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции  на  образуют группу, которую мы обозначаем  (соотв. ). Отображение  (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на и на группу полулинейных биекций на .

Наконец, для любой точки  в  ограничение  на группу изотропии точки в  (соотв. ) является изоморфизмом этой группы на (соотв. ).

Последнее утверждение получим, выбирая в качестве начала в .

Следствие. Если подгруппа в (соотв. в ), то  есть подгруппа в  (соотв. в ); при этом если инвариантная подгруппа, то такова же и .

 В частности, если  то  есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциями.

Если то  есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциям и центральными симметриями.

Если инвариантная подгруппа группы , образованная векторными гомотетиями, то есть инвариантная подгруппа в , называемая группой дилатаций.

Пусть дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда векторная гомотетия вида  где  В этом случае  имеет единственную неподвижную точку  определяемую из условия  где произвольная точка . Таким образом,  выражается как  Такое отображение называется гомотетией с центром  и коэффициентом

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии  составляют инвариантную подгруппу группы , называемую группой дилатаций . Мы обозначаем ее .

 Если основное тело  коммутативно, то группа  является инвариантной подгруппой группы .

Проектирования

Назовем проектированием любое аффинное отображение  пространства в себя, удовлетворяющее условию

                                                   Рис. 2

Для такого отображения любая точка является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8. Отображение  является проектированием, если существует ВПП  пространства и ЛАМ  в  с направляющим подпространством  дополнительным к , такие, что для любой точки  ее образ  есть точка пересечения  с ЛАМ, проходящим через  с направлением  (рис. 2).

Аффинные симметрии

 Теорема 5.9. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом характеристики .

Для того, чтобы аффинное отображение  было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией

       Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если и , то образом середины отрезка  будет середина отрезка  таким образом, эта точка инвариантна при отображении  и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.

Предложение 5.10. Отображение  является аффинной симметрией, если существуют ВПП  пространства  и ЛАМ с направлением, дополнительным к  такие, что для любой точки  (см.рис.2)

1).

2). Середина принадлежит .

Если  сводится к одной точке  то  и  есть центральная симметрия с центром

Теорема Фалеса

       Пусть по-прежнему  есть ВПП в  и - два аффинных пространства в , направляющие которых соответственно  дополнительны к  Обозначим через (соотв. ) ограничение проектирования  на  (соотв. ) параллельно  Тогда, как легко видеть,  является аффинной биекцией  на , обратная к которой есть . Образ  точки  определяется условиями  и  (см. рис. 3).

       В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

                                         Рис.3

указанным способом соответствие между  и  является аффинным.

В частности, если  векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Как мы уже видели, выбор начала в  позволяет отождествить  с  теперь мы докажем, что канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства  изоморфного

       Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке  отображения

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть  левое векторное пространство над телом  а произвольное множество. Тогда множество  отображений  в есть левое векторное пространство над  по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

и

       В силу доказанного искомое векторное пространство  будет ВПП в , порожденным отображениями  Поэтому мы начнем с изучения этого пространства

Предложение 6.1. Пусть - векторное подпространство в , порожденное функциями  пуст, далее,  элемент из . Тогда

А). Сумма  зависит только от функции  и притом линейно, т.е. является линейным отображением  в  которое мы обозначим

Б). Если  то существует единственная точка , такая, что .

В). Если  то  постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек , такие, что  но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары  выполнено соотношение

                                                          ,                            (1)

которое доказывает существование и линейность функции

Б). Если  выберем в  произвольную точку  Соотношение (1) показывает, что в  существует единственная точка  такая, что  она определяется условием  Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой  Таким образом, барицентр семейства  зависит только от функции

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).

Следствие.  является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида

Предложение 6.2. Пусть  отображение  и пусть отображение  в  которое любому вектору  ставит в соответствие постоянную функцию, равную  на .

Тогда  аффинно с линейной частью и потому инъективно; при этом  есть аффинная гиперплоскость  в  с уравнением  

Доказательство. Для любой пары  разность есть постоянная функция ; положим . Таким образом,  аффинно,  и  инъективно, как и

       С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции  суть элементы  удовлетворяющие условию .

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству , ассоциированному с векторным -пространством , можно канонически присоединить:

· Векторное пространство  изоморфное ,

· Ненулевую линейную форму  на ,

· Аффинную инъекцию , такую, что  - аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство . Остается только установить изоморфизм между  и . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка , отображение , линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки .

 Заметим, что аффинная гиперплоскость  имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость  постоянных функций, которая отождествляется с .

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве  можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству , но это связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение  единственным образом определяемое заданием .

Обозначения. Векторное пространство , построенное таким образом, называется векторным продолжением  и обозначается .

Если  имеет размерность  то размерность  равна . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.