1. Якщо функція а функція  має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса

                         (5)

існує.

Спочатку припустимо, що  монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання  буде менше за . Нехай тепер проміжок  розбитий на частини так, що . Тоді всі <  і

,

звідки й слідує виконання умови (4), а, отже, і існування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція  має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум  і  при прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми , що і треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію  якщо одночасно посилити вимоги до функції :

2. Якщо функція  інтегровна на проміжку  за Ріманом, а задовольняє умові Ліпшиця:

            (6)

,

то інтеграл (5) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію  як таку, що не лише задовольняє умові (6), але і монотонно зростаючу.

Враховуючи (6), очевидно , так, що

Але остання сума при  і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (5).

У загальному випадку функції , що задовольняє умові Ліпшиця (6), представимо її у вигляді різниці

= .

Функція = , очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції = , так як в силу (6), при

 і

.

У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.

3. Якщо функція  інтегровна за Ріманом, а функцію  можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхнею межею інтегрування:

,                (7)

де  абсолютно інтегровна на проміжку , то інтеграл (5) існує.

Нехай , так, що  монотонно зростає. Якщо  інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для  маємо .

Таким чином, у цьому випадку  задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (2).

Припустимо тепер, що  інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим  вибираємо  так, щоб було

,           (8)

де  - загальне коливання функції  на розглядуваному нами проміжку.

Розіб’ємо проміжок  довільно на частини і складемо суму

.

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга – решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (8),

.

З іншого боку, так як на проміжку  функція  інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому  і сума  стане меншою за . Звідси слідує (4), що і потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція  абсолютно інтегровна на проміжку , ми розглянемо функції

,

очевидно, невід’ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як

,

то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція  неперервна на проміжку  і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула (7):

.

Якщо  абсолютно інтегровна, то до функції  повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]