3.6. При проектировании сельской дорожной сети часто возникает необходимость соединить дорогами три пункта А, В и С При этом можно проложить дороги по сторонам треугольника ABC , а можно соединить эти пункты с помощью узла разветвления О (рис. 39) В каком случае общая длина дорожной сети будет меньше?

Решение. Продолжим отрезок АО до пересечения с соответствующей стороной треугольника. В силу неравенства треугольника имеем

АО + ОЕ < АВ + BE , ОС < ОЕ + ЕС.

Сложив эти неравенства, получим:

АО + ОС < АВ + ВС

Аналогично доказывается, что

АО + ОВ <АС + ВС, ВО + ОС < АВ +АС.

Сложив эти неравенства и упростив, по­лучим

АО + ВО + СО < АВ + ВС + АС.

Рис. 39

Так что использование узла разветвления дает более короткую дорожную сеть.

3.7. На рисунке 40 изображено поперечное сечение земляной плотины, сооруженной на склоне. Перед началом строительства такой плотины вначале отмечают на местности (столбами) ее продольную ось OS, а затем с помощью так называемых от точек  и  до оси плотины. Найдите эти расстояния, если известно, что высота плотины OS = h , ширина гребня , откосы  и  имеют уклон (см. 3.5.) 1: n, а уклон склона 1:m.

Рис. 40

Решение. Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда прямая  имеет угловой коэффициент  про­ходит через точку , прямая  имеет угловой коэффициент - и проходит через точку , а проходящая через начало координат прямая имеет угловой коэффициент . Поэтому рассматриваемые прямые имеют следующие уравнения:

Точка А принадлежит одновременно прямым  и . Поэтому ее абсциссу  можно найти из уравнения

Решив уравнение, получим, что

Аналогично находим, что

Полученные формулы и используются на практике.

ПОДОБИЕ ФИГУР

3.8. На рисунке 41 изображен высотомер лесника. Он представляет собой прямоугольную пластинку размером 10Х 10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D . Наведя с помощью визиров сторону AD на вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF , лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева. Пусть, например, BF = 3 см. Докажите, что

              (*)

где Н — высота дерева, h — высота человека на уровне глаз, d — расстояние от дерева до человека (все размеры в метрах).

Рис. 41

Решение. Так как GEA = AFB (докажите это, рассматривая пары параллельных прямых), то прямоугольные треугольники EGA и FBA подобны. Поэтому (все размеры в см):

 или

Отсюда и следует (*).

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

3.9. Высевающий аппарат большинства сеялок представляет собой цилиндри­ческую катушку с желобками (рис. 42), которые при вращении катушки захватывают зерна и высыпают из сеялки. При проектировании катушки вначале определяют число желобков п и ширину желобка t , исходя из размеров и механических свойств зерен, для которых предназначена сеялка. Эти данные позволяют найти диаметр катушки.

Каким должен быть диаметр катушки высевающего аппарата зерновой сеялки у которой t =13.6 мм (с учетом ширины ребра между смежными желобками), п=12?

 Рис. 42

Решение. Требуется найти диаметр окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной а_п — t . По известной формуле получаем: