ОКРУЖНОСТЬ

3.1. Для возможности поворота автомобиля (или колесного трактора) направляющие (передние) колеса соединены с осью шарнирами  и  так, что плоскости колес (рис. 35) могут по­ворачиваться относительно оси. Во время правильного поворота все четыре колеса катятся по дугам концентрических окружностей, причем проекции колес являются касательными к этим окружностям [19]. Докажите, что правильный поворот возможен лишь тогда, когда направляющие колеса поворачиваются на разные углы.

Решение. Допустим противное, что  Тогда равны и вертикальные им углы  и , а значит, по признаку параллельности прямые  и параллельны.

С другой стороны, поскольку углы  и  прямые, а прямые  и  — касательные к окружности качения, то прямые и содержат радиусы концентрических окружностей. Значит, прямые и пересекаются. Противоречие.

Замечание. Рассмотренный эффект на практике достигается с помощью так называемой рулевой трапеции.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

3.2. Телевизионные радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии s от передающей антенны высоты Н можно принять телепередачу с помощью приемной антенны высоты h ? Определить, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20м с Останкинской телебашни (ее высота 538м).

Решение. Вершина В принимающей антенны (рис. 36) за счет шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае еще видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности. В этом случае  где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2 R, то , а потому . Полагая в этой формуле  получаем .

Рис. 36

Определив таким же образом ВС, найдем АВ. Увеличив полученную величину на 15%, получаем искомую формулу для s (в м): s . Из нее теперь нетрудно получить ответ и на второй вопрос задачи.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.3. Докажите, что правильный поворот (см. 3.1.) автомобиля возможен лишь тогда, когда направляющие колеса поворачиваются на такие углы  и , что есть величина постоянная при любых возможных  и .

Решение. В силу условия правильного поворота точка О (рис. 37) должна лежать на продолжении задней оси CD . Так как , , то из прямоугольных треуголь­ников и находим:

3.4. Величина угла на местности часто определяется линейными промерами. На сторонах угла откладывают отрезки (рис. 38) АВ = АС = 10 м и измеряют ВС. Какова величина угла, если ВС = 12 м?

Решение. Пусть D — середина ВС. Тогда AD — высота биссектриса

Рис. 37                                        Рис. 38

равнобедренного треугольника. Из прямоугольного треугольника ADB имеем:

.

3.5. В строительной практике широко распространены понятия уклона и угла наклона (участка дороги, откоса плотины, стенок канала, скатов крыши и т. п.). Пусть ЕС— некоторый отрезок на местности, CD — вертикальная, ED — горизонтальная прямая. Углом наклона СЕ называется угол CED ; уклоном отрезка СЕ называется отношение его подъема CD к его горизонтальной про­екции ED . Какая зависимость существует между углом наклона ее отрезка ЕС и его уклоном k ?

Ответ., k = tg .