Открытие проникающей радиации (рентгеновских лучей, нейтронных пучков и т.д.) дало возможность получать изображения объектов, ранее недоступных или доступных только с помощью грубых и зачастую нежелательных средств; примером такого объекта могут служить внутренние участки мозга. Подобные изображения имеют очень важное значение для развития медицины. Усиление контроля за качеством элементов больших конструкций обусловило важность таких изображений для неразрушающих методов контроля. Однако изображения, полученные путем просвечивания с помощью проникающего излучения, имеют недостаток: они являются двумерными теневыми проекциями трехмерных объектов. Важные особенности пространственного расположения внутренних частей объекта в процессе проектирования в лучшем случае искажаются, а в худшем — теряются вообще. При хирургических операциях (например, при опухолях мозга) незнание внутренней структуры может оказаться, очевидно, роковым обстоятельством.

Задаче воспроизведения внутренней структуры объекта по его проекциям в последнее время уделяется большое внимание, и методы цифровой обработки сигналов оказали заметное влияние на ее решение. Предложен ряд методов воспроизведения изображения по проекциям; список литературы по этому вопросу дан в статье Мерсеро и Оппенгейма [50]. Ниже будет рассмотрена задача воспроизведения изображения по проекциям и дано ее решение методом, характерным для цифровой обработки сигналов, а именно, с помощью преобразования Фурье.

Образование проекций

Изображения, получаемые с помощью проникающей радиации, образуются за счет ослабления луча в исследуемом веществе. Чем плотнее вещество, тем слабее интенсивность луча, прошедшего через вещество. Таким образом, изображение, наблюдаемое в проходящих лучах, определяется интегральным влиянием некоторой характеристики вещества объекта на интенсивность луча. Пусть f ( x ₁ , x ₂ , x ₃) описывает распределение вещества в пространственных координатах (х₁, х₂, x ₃ ). Допустим, что просвечивающий луч направлен вдоль оси х₁, как на рис. 4.19. Тогда распределение интенсивности проникающего излучения в плоскости (x ₂ , x ₃ ) пропорционально функции g , определяемой соотношением

         (4.63)

Важное свойство проекций, задаваемых формулами типа (4.63), можно заметить при анализе преобразования Фурье от функции g (x ₂ , x ₃):

         (4.64)

Трехмерное преобразование Фурье от исходного распределения имеет вид

 (4.65)

Сравнивая G и F , видим, что

        (4.66)

Таким образом, преобразование от проекции равно преобразованию Фурье от распределения вещества в объекте при w ₁ =0. Такую функцию называют сечением преобразования Фурье,

Рис. 4.19. Геометрические соотношения при воспроизведении изображения по проекциям.

12

поскольку она образуется сечением исходного трехмерного преобразования вдоль двумерной плоскости.

Очевидно, что аналогичными свойствами обладают также проекции меньших размерностей. Предположим, что проникающее излучение направлено в виде плоского луча (т.е. луч имеет бесконечно малый размер вдоль оси x ₃ и перпендикулярен ей, причем вдоль оси x ₂ его интенсивность одинакова, а ширина больше размеров объекта). Луч с координатой x ₃ будет проектировать все элементы внутреннего строения объекта, лежащего в сечении, совпадающем с плоскостью луча. Если распределение вещества в сечении с координатой x ₃ описывается функцией f ₃ ( x ₁ , x ₂ ), то одномерная проекция двумерного сечения имеет вид

              (4.67)

и соотношение

         (4.68)

как и прежде, описывает связь между преобразованиями проекции и оригинала.

Предположим теперь, что плоский луч проникающего излучения остается перпендикулярным оси x ₃, а источник излучения вращается вокруг некоторого центра, находящегося в объекте, так что угол между направлением луча и осью x ₁ равен не нулю, а некоторой величине  (см. рис. 4.20). Очевидно, можно сделать преобразование координат так, чтобы ось и₁ была параллельна направлению проектирующего луча. Это преобразование имеет вид

Равенства (4.67) и (4.68) остаются справедливыми и в новой системе координат (u ₁, u ₂), что позволяет сформулировать следующую теорему о проекции и сечении, одномерное преобразование Фурье от проекции под углом  равно преобразованию Фурье исходного двумерного распределения вещества в двумерной плоскости спектральных переменных вдоль линии, направленной под углом , т.е. является сечением спектра под углом .

С помощью этой теоремы на основе проекций трехмерного тела можно воспроизвести изображение внутренней структуры тела. Если источник плоского луча расположить в точке с координатой х₃, как показано на рис. 4.20, и изменять угол  в интервале 0< < , то, как показано в следующем разделе, из набора одномерных проекций можно воспроизвести структуру тела в сечении с координатой x ₃ . Затем координата х ₃  изменяется и тем же

Рис. 4.20. Геометрические соотношения при вращении источника вокруг точки, зафиксированной в объекте, и схема получения двумерных проекций.

способом получается новое сечение. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен полный набор сечений, показывающих внутреннюю структуру объекта в трех измерениях.

Теоретически, конечно, можно воспроизвести структуру трехмерного объекта по его двумерным проекциям без использования вспомогательных одномерных проекций и связанных с ними сечений, как описано в предыдущем абзаце. На практике, однако, выгоднее пользоваться методом плоских сечений, хотя и связанным с повторением одинаковых операций, но зато не требующих такого огромного числа вычислений, как прямое воспроизведение трехмерной структуры. Поэтому задачу воспроизведения будем в основном рассматривать как задачу выделения двумерной информации из одномерных проекций. Ниже описываются методы цифровой обработки сигналов, позволяющие воспроизвести изображение.