В предыдущих разделах была показана роль, которую играют при восстановлении изображений операции свертки и двумерная цифровая фильтрация. Во всех методах требовалось, чтобы законы формирования изображения обладали свойством пространственной инвариантности. Если же процесс формирования изображения не является пространственно - инвариантным, то формула (4.34) принимает вид

   (4.56)

и при обращении ее в дискретную форму в ней не появится дискретной свертки. К сожалению, в ряде интересных случаев формирование изображений подчиняется пространственно - нестационарньпм уравнениям, как, например, при неравномерном движении камеры или при наличии оптических аберраций.

Рассмотрим, например, одномерные искажения по горизонтальной оси, когда искажения минимальны в левой части снимка и линейно увеличиваются до максимума в правой части. Если изображение дискретизовать по равномерной сетке, то отсчет, взятый в правой части, будет содержать вклады от большего числа соседних точек, чем отсчет в левой части снимка. Один из «способов устранения этого недостатка состоит в увеличении интервала

Рис. 4.17. Структурная схема процесса восстановления изображения с пространственно-зависимыми искажениями.

между отсчетами при движении слева направо так, чтобы каждый отсчет содержал взвешенную сумму яркостей одинакового числа соседних точек. Фактически это является преобразованием координат, делающим искажения пространственно-инвариантными. После коррекции исходное изображение восстанавливается с помощью преобразования координат, обратного к первому.

Савчук [46] показал, что этот общий метод можно применять для нескольких видов искажений, вызванных оптическими аберрациями или неравномерным сдвигом во время съемки. Обобщенная схема процесса коррекции показана на рис. 4.17. Пространственно-нестационарные искажения представляются в виде двух геометрических искажений. Сначала снимок переводится в координаты, где искажения оказываются пространственно-инвариантными, а затем осуществляется переход от пространственно-инвариантных координат к координатам, зависящим от положения деталей изображения. Система для восстановления изображения основывается на преобразованиях, обратных к этим двум, и фактическое восстановление выполняется путем линейной обработки в пространстве, где искажения являются пространственно-инвариантными. При этом для быстрой обработки больших изображений можно применять свертку и БПФ, а сами операции преобразования координат требуют малого или приемлемого числа вычислений. Подобная обработка успешно применялась для исправления аберраций типа комы [47] и искажений, вызванных пространственно-неравномерным сдвигом [46].

Атмосферная турбулентность обусловливает смазывания изображений, изменяющиеся с течением времени, поскольку температурные градиенты в воздушных слоях влияют на случайные фазовые задержки b волновых фронтах потоков света, несущих изображение. В силу усреднения за время экспозиции эти флуктуации создают искажения изображений, аппаратная функция которых приближается к гауссовской и стационарна. В ряде случаев делались попытки повышения резкости таких изображений [48]. Но, как правило, искажения оказывались достаточно сильными, и восстановление изображений было малоэффективньм. Недавно Нокс предложил новый метод коррекции атмосферных искажений изображения [49].

В любой момент времени изображение, проходящее сквозь турбулентную атмосферу, формируется под воздействием случайной аппаратной функции. При наблюдении за одним и тем же объектом можно получить набор снимков, описываемых соотношениями типа

   (4.57)

в которых аппаратная функция искажений рассматривается как пространственно-инвариантная, но изменяющаяся во времени от момента к моменту (т.е. по переменной i ). Усредняя снимки (4.57) по времени, получаем

       (4.58)

причем сложение h_i со случайными фазами создает столь широкую усредненную аппаратную функцию, что большая часть высокочастотных составляющих f ( x у) теряется.

Если же перед усреднением изображения подвергнуть преобразованию Фурье и возвести спектры в квадрат, то получается другой результат. В этом случае

    (4.59)

где звездочка означает комплексное сопряжение. Возведение в квадрат «защищает» высокочастотную информацию, уничтожающуюся при усреднении фаз в равенстве (4.58). Если в наблюдаемом секторе находится точечный источник, то можно найти среднюю квадратическую аппаратурную функцию <H_iH_i *> и выполнить восстановление изображения. Однако в формуле (4.59) теряется фазовая информация, и восстановленное изображение равно обратному преобразованию от квадратного корня из энергетического спектра исходного изображения f ( x , у).

Другой, но весьма близкий способ обработки состоит в вычислении статистической автокорреляционной функции спектра изображения:

 (4.60)

Можно заметить, что при u1=v1=0 равенства (4.60) и (4.59) полностью совпадают. Если, как и прежде, имеется точечный источник, то

 (4.61)  

поскольку с помощью точечного источника можно найти комплексную автокорреляционную функцию усредненного по времени спектра аппаратной функции. Рассмотрим результат деления обеих частей равенства (4.61) на их модули:   

                              (4.62)

где Ф — фазовая характеристика спектра F - изображения, рассматриваемая на двумерной плоскости фурье - преобразования. В правой части записано двумерное разностное уравнение относительно фазовой характеристики, а слева фигурируют только измеренные величины. Интегрирование этого разностного уравнения по всей плоскости преобразования Фурье даст фазовую характеристику, а в сочетании с модулем F , полученным из равенства (4.61), —спектр восстановленного изображения.

Моделирование метода Нокса — Томпсона показало, что он может значительно улучшить разрушение при наблюдениях сквозь турбулентную атмосферу. На рис. 4.18 этот процесс иллюстрируется с помощью изображения астероида, полученного моделированием на ЭВМ. На рис. 4.18, а приведен оригинал, на рис. 4.18,6 показаны четыре отдельных снимка с атмосферными искажениями, а на рис. 4.18, б—восстановленное изображение, причем фазовая информация была получена в соответствии с формулой (4.62) путем обработки 100 снимков, подобных приведенным на рис. 4.18,6.