Выбор математической модели, описывающей электроэнергетическую систему, определяет форму представления целевой функции, а также  множество учитываемых ограничений и их тип (линейные или нелинейные). При отказе от учета системных ограничений и технических потерь, связанных с передачей электроэнергии по сети, поиск оптимального решения наиболее прост, так как во всех узлах электрической сети будет формироваться единая равновесная цена. Как было показано в предыдущем разделе, равновесная цена на электроэнергию определяется последней наиболее высокой ценовой заявкой генератора. Такая цена называется маржинальной или предельной ценой. При наличии технологических ограничений, препятствующих реализации оптимального распределения потоков и влияющих на ценообразование, в разных узлах формируются разные узловые цены.  

В узловой цене находят отражение объективно обусловленные оценки ресурсов (генерация, потери, системные ограничения), которые определяют степень их дефицитности: полностью используемые ресурсы имеют ненулевые значения, а не полностью используемые – нулевые оценки. Подобные оценки часто называют неявными, учетными или теневыми ценами, которые формируются в результате определения значения двойственных переменных. Теневые цены еще называют объективно обусловленными оценками ресурсов.

Целевая функция конкурентного рынка была сформулирована как линейная функция (2.4), получившая название «функция благосостояния участников рынка». Для жесткого (не эластичного) рынка, в котором полностью удовлетворяется прогнозируемый спрос на электроэнергию, оптимизационная задача сводится к минимизации функции (2.6) с учетом ограничений как в форме «равенство», так и в форме «неравенство».

Проиллюстрируем проблему ценообразования на примере ЭЭС, состоящей из 4-х генераторов и 2-х потребителей, связанных линией электропередач (рисунок 2.8). Здесь потери не учитываются (будем считать, что они включены в нагрузку). В табл. 2.1 приведены максимальные и минимальные мощности генераторов и их одноступенчатые ценовые заявки, показывающие, по какой цене генератор готов продавать свою электроэнергию.

Рисунок 2.8

Процесс формирование равновесной цены – важнейший этап рыночного взаимодействия продавцов и покупателей электроэнергии, рассматривается ниже.

                                                                          Таблица 2.1

Номер генератора	1	2	3	4
	200	200	200	200
	100	100	100	80
	450	900	800	600

На первом этапе Администратор торговой системы собирает ценовые заявки генераторов и определяет общий спрос электроэнергии, равный в соответствии с заявками или прогнозом 500 МВт. Ранжируя ценовые заявки от минимальной до максимальной можно построить «лестницу» предложений (рисунок 2.9).

С помощью минимизации рыночной цены удовлетворяется заявка первого генератора ; четвертого генератора ; частично третьего генератора . Второй генератор с самой дорогой электроэнергией не попадает в число продавцов и выпадает из рынка. Равновесная цена определяется по последнему генератору, включенному в состав продавцов. В данном случае оказывается . Это означает, что все участники рынка по этой цене продают и покупают электроэнергию. Кроме того, такое решение сразу определило и состав работающих генераторов (рисунок 2.10).

Рисунок 2.9

Целевая функция, определяющая затраты генераторов, при этом имеет значение

руб.

Затраты потребителей при этом составят 400000 руб., а показатель «благосостояния» участников рынка оценивается в 110 тыс.руб.

Предположим, что ЛЭП имеет предел по пропускной способности, равный 90 МВт. В соответствии с оптимальной генерацией поток в линии, равный 200 МВт, приведет к перегрузу её, что недопустимо. Решение задачи учета технологических ограничений возлагается на Системного оператора.      

Анализируя ситуацию, СО принимает решение о необходимости коррекции режима, в результате которой может измениться состав генераторов и их нагрузка. Пусть решение принимается по следующей логике. В правой подсистеме есть единственная возможность – снизить генерацию 4-го блока на 110 МВт до 90 МВт (третий генератор разгружать нельзя, так как он уже работает на минимуме), тем самым довести  до допустимых 90 МВт. Для сохранения баланса мощности в целом по системе приходится включить в рынок 2-ой генератор с самой дрогой электроэнергией и загрузить его на 110 МВт (рисунок 2.11).

        Рисунок 2.10                                     Рисунок 2.11

В связи с коррекцией режима единая равновесная цена заменяется на «узловые цены», которые в узлах а и в становятся разными. В левом узловая цена принимается равной  по цене генератора 2, в правом –  по цене генератора 4. Значение целевой функции, определяющей затраты генераторов, оказывается при этом

руб.

Затраты потребителей при этом составят П=900*400+600*100= 420000 руб., а показатель «благосостояния» участников рынка оценивается в 97 тыс.руб.

     Таким образом, учет технологических ограничений неизбежно приводит к необходимости определения узловых цен и, как следствие, к росту целевой функции и снижению эффективности рынка. Узловые цены можно определять, используя экономико-математические модели и методы. С этой целью рассмотрим возможности двойственного симплекс-метода и метода неопределенных множителей Лагранжа.

     2.5. Линейная оптимизационная модель и узловые цены

Сформируем линейную оптимизационную модель для жесткого рынка электроэнергии. Для упрощения задачи примем ценовые заявки генераторов в форме одной ступени. В составе технологических ограничений учтем баланс мощности, величину ценовой ступени как двустороннее ограничение для каждого генератора, ограничения потоков в контролируемых ЛЭП. Зависимость потоков по ветвям расчетной схемы сети от узловых мощностей будем учитывать с помощью коэффициентов токораспределения.

В соответствии с такой постановкой математическая модель имеет вид

                                   (2.7)

и является типичной задачей линейного программирования (ЛП), решение которой, во-первых, позволяет определить минимальное значение ЦФ, состав и загрузку генераторов, потоки мощности в контролируемых линиях с учетом перечисленных ограничений, во-вторых, является основой для решения второй задачи – определения узловых цен.

Как известно, в линейном программировании каждая задача имеет двойственную и по решению одной можно находить решение другой.

Исходная задача 1:

Двойственная задача 2:

Сопоставляя математическую запись задач 1 и 2, можно отметить следующие особенности:

· если в задаче 1 имеем m неравенств для n неизвестных, то в задаче 2 n противоположных по знаку неравенств для m неизвестных,

· коэффициенты системы условий задачи 2 формируются путем транспонирования матрицы А задачи 1,

· если в задаче 1 определяется минимум F, то в задаче 2 – максимум Z,

· коэффициенты целевой функции одной задачи являются правыми частями ограничений другой,

· по теореме двойственности .

Обычно эти задачи имеют экономический смысл и могут использоваться в задачах с ограниченными ресурсами для определения ценовых сигналов, характеризующих влияние на величину целевой функции изменения каждого дефицитного в оптимальном решении ресурса на единицу, т.е. двойственная задача позволяет определить условную (теневую) цену единицы каждого ограниченного ресурса.

Полученные теневые цены позволяют выявить степень дефицитности каждого ресурса. При этом найденная цена определяется приращением ∆F при увеличении запаса дефицитного ресурса на единицу. Применительно к рассматриваемой задаче используются следующие свойства двойственности оценок y_i: положительная оценка y_i может быть только у ресурса, который в оптимальном плане полностью исчерпан; величина y_i для каждого дефицитного вида ресурса показывает, насколько можно снизить F, если ввести в производство дополнительную единицу ресурса, например, 1 МВт генераторной мощности или потоков по ЛЭП сверх предельно допустимых.

На рисунке 2.12 представлена линейная модель рассматриваемой задачи с учетом ограничений, в том числе и по ЛЭП в виде Р₃+Р₄-100< 90, поскольку соответствующие коэффициенты токораспределения равны 1. Там же приведено решение, позволяющее выявить активные ограничения.

Из 10 ограничений модели активными являются 1-е по балансу мощности, 2-е по потоку в линии, 3-е по максимальной мощности Р₁, 8-е по минимальной мощности Р₃.

Составим исходную задачу с учетом только активных ограничений по форме задачи 1, т.е. , и двойственную по форме задачи 2 , т.е. . Обе задачи в матричной форме показаны на рисунке 2.13.

Рисунок 2.12

Рисунок 2.13

Решение прямой задачи определяет следующие мощности генераторов: Р₁=200, Р₂=110, Р₃=100, Р₄=90 и F=323000.

Двойственная задача определяет Z=323000 и теневые цены у₁=900, у₂=300, у₃=450 и у₄=200. Определим смысл двойственных переменных. Переменная у₁ может рассматриваться как цена дополнительного МВт нагрузки, определяемая максимальной ценовой заявкой генератора 2. Переменная у₂ определяет эффект от увеличения пропускной способности ЛЭП на 1 МВт,  что позволяет найти узловую цену на отправном конце линии как разность  у₁ - у₂=900-300=600. Переменная у₃ определяет  эффект от увеличения максимальной мощности Р₁ на 1 МВт, что позволит снизить нагрузку Р₂  и уменьшить затраты на у₃=900 – 450=450. Переменная у₄=200 определяет эффект от снижения минимальной границы Р₃ на 1 МВт, что при сохранении ограничения по ЛЭП, позволит увеличить Р₄ на 1 МВт и получить экономию у₄=800-600=200.