Как известно, при решении задач математического программирования с ограничениями в форме равенств широко используется метод неопределенных множителей Лагранжа. При определении узловых цен учитываются только активные ограничения, записанные в форме равенств. Больше того, в линейных задачах множители Лагранжа, оказывается, совпадают с двойственными переменными, что позволяет использовать метод Лагранжа для определения узловых цен, в том числе и при учете нелинейностей.

На процесс ценообразования влияют два основных фактора: системные ограничения по режиму работы генерирующих мощностей и по пропускной способности определенных сечений сети и технические потери, связанные с передачей электроэнергии по сети. Что касается технических потерь мощности, то для упрощения задачи примем допущение, что они не зависят от режима и включены в суммарную нагрузку, а режимы линий характеризуются средними  потоками мощности.

Для учета системных ограничений в модели (2.7) введем следующие обозначения для неопределенных множителей Лагранжа:

 – множитель для баланса мощности;

 – множитель для выявленного активного ограничения на переток мощности в линии ;

 – множитель для выявленного активного ограничения на мощность генератора (граничное значение  или  обозначим ).

Если активные ограничения записать как

где  – число генераторов и линий, оказавшихся на граничных (допустимых) значениях, то функция Лагранжа в этом случае может быть записана как

. (2.8)

Учитывая, что поток в линии может быть записан через коэффициенты токораспределения  и узловые мощности  в виде

,                                                  (2.9)

в целом  есть функция  n генерируемых мощностей ,  неопределенных множителей ,  неопределенных множителей  и одного определенного множителя .

Дифференцирование функции Лагранжа по переменным, соответствующим мощностям генераторных узлов и неизвестным множителям, дает возможность получить все оптимальные значения мощностей генераторов и множителей Лагранжа путем решения системы:

.                  (2.10)

Формально, множители Лагранжа есть частные производные оптимизируемой целевой функции по правой части соответствующих ограничений.

Первый множитель Лагранжа  соответствует узловым ценам покрытия нагрузки самым дорогим востребованным генераторным агрегатом при отсутствии режимных ограничений, в этом случае все элементы векторов  будут равны нулю. Множитель  характеризует величину изменения значения целевой функции в результате изменения спроса в определенном узле на 1 МВт.

Множители Лагранжа к ограничениям по контролируемым связям и внешним перетокам  с экономической точки зрения интерпретируются как цены последнего 1 МВт пропускной способности сечений.

При наличии ограничений элементы вектора , соответствующие номеру ограничивающей связи, отличны от нуля, поэтому цены в остальных нагрузочных узлах определяются следующим образом:

.                                    (2.11)

Продолжим исследование задачи методом множителей Лагранжа. С учетом найденных активных ограничений по верхней границе Р₁, нижней Р₃ и потоку по линии, что определяет следующую систему ограничений в форме равенств

Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ – 500 = 0,

Р₁                     – 200 = 0,

            Р₃    – 100 = 0,

            Р₃ + Р₄ – 190 = 0.

Функция Лагранжа примет вид

Условие минимума этой функции определяется равенством нулю частных производных по всем неизвестным

Из первых 4-х уравнений получим следующие значения множителей Лагранжа  и

Из остальных уравнений находим мощности генераторов, равные Р₁=200, Р₂=110, Р₃=100 и Р₄=90.

В соответствии с формулой (2.11) для узловых цен получим