Пусть есть некоторое конечное множество элементов U = {a1, a2, ..., an}. Рассмотрим набор элементов 
, 
где ÎU, j = 1, 2, ..., r.
Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).
Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т. е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.
Принцип суммы : если cardA = m, cardB = n и AÇB = Æ, то cardAÈB = m+n. На комбинаторном языке это означает: если объект A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор «A или B» может быть осуществлен m+n способами.
Принцип произведения: если cardA = m, cardB = n, то card (A ´ B) = mn. На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор «A и B» может быть осуществлен m × n способами.
Пример 1. A = 10 {различных шоколадок}, B = 5 {различных пачек печенья}. Выбор «A или B» означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в этом случае будет 15. Выбор «A и B» означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.
Пример 2. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков?
Пусть m – число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n – число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных и двух нечетных чисел будет 18.
Рассмотрим основные способы формирования выборок.
Определение . Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.
Из определения следует, что две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.
Перестановки . Упорядоченные выборки, объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается 
.
Теорема. P = n!
Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и 
. Пусть для n = k теорема верна и 
, покажем, что она тогда верна и для n = k + 1. Рассмотрим (k + 1)-й элемент, будем считать его объектом A, который можно выбрать k+1 способами. Тогда объект B – упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k. B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k! способами. По принципу произведения выбор A и B можно осуществить k!(k + 1) = (k + 1)! способами. Cовместный выбор A и B есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.
Пример 3. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг? Ответ: 10!
Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n - 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n ´ (n - 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n - 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n(n - 1)(n - r) ... 1.
Размещения. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m<n), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается 
.
Теорема. 
. Обозначим 
. Тогда оставшиеся (n – m) элементов можно упорядочить (n – m)! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (n – m)! способами, то совместный выбор «A и B» можно осуществить x×(n – m)! способами, а выбор «A и B» есть перестановки и P n = n! Отсюда
Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй – (n – 1) способами и т. д., m–й элемент выбираем (n – m + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: n(n – 1) ... (n – m +1), что совпадает с 
.
Пример 4. Группа из 15 человек выиграла 3 различных книги. Cколькими способами можно распределить эти книги среди группы?
Имеем 
.
Сочетания. Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m<n) называются сочетаниями. Их число обозначается 
.
Теорема . 
.
Доказательство. Очевидно, 
. Действительно, объект A – неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает «порядок» в выборке). Совместный выбор «A и B» – упорядоченная выборка.
Пример 5. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?
.
Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.
Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается 
.
Теорема . 
.
Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и т. д., m-й элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем 
.
Пример 6. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Cколько возможных комбинаций?
Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 
.
Пример 7. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов?
Это есть выборка объемом m из двух элементов. Ответ: 
.
Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа и т. д., k s элементов s-го типа, причем k1 + k2 + ... + k s = n. Упорядоченные выборки из таких n элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается Cn(k1, k2, ..., k s). Числа Cn(k1, k2, ..., ks) называются полиномиальными коэффициентами.
Теорема. C n(k1, ..., k s) = 
Доказательство проведем по индукции по s, т. е. по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k1 = n, все элементы одного типа и Cn(n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k1 + k2. В этом случае перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k1 (или k2): выбираем k1 место, куда помещаем элементы первого типа.
C n(k1, k2) = 
Пусть формула верна для s = m , т. е. n = k1 + ... + k m и
Cn(k1, ..., k m)= 
Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k1 +... + k m + k m+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор двух объектов: объект A – выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B – перестановка с повторениями из (n – k m+1) элементов. Объект A можно выбрать 
способом, B – 
(k1, ..., km) способами. По принципу произведения
и мы получили требуемую формулу.
Замечание. Числа 
называются биноминальными коэффициентами. Из этой формулы следует, что 
Пример 8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»?
Решение. Буква «а» входит 3 раза (k1 = 3), буква «м» – 2 раза (k2 = 2), «т» – 2 раза (k3 = 2), буквы «е», «к», «и» входят по одному разу, отсюда k3 = k4 = k5 = 1.
.
Сочетания с повторениями . Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число ³m´n) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается 
(n).
Теорема. 
(n) = 
.
Доказательство. Пусть в выборку вошло m1 элементов первого типа, m2 элементов второго типа, ...mn – n-го типа. Причем каждое 0 £mi£m и m1 + m2 + ...+ m n = =m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: 
Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {b n} существует биекция (докажите это!). Следовательно, 
(n) равно числу векторов b n. «Длина вектора» b n равна числу 0 и 1, или m+ +n – 1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n - 1 мест, а это будет 
.
Пример 9. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что пирожных каждого вида ³ 4).
Число способов будет
.
Пример 10 . Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.
1. Перестановки: {abc, bac, bca, acb, cab, cba}. 
.
2. Размещения: {(ab), (b c), (ac), (ba), (cb), (ca)}. 
.
3. Cочетания: {(ab), (ac), (bc)}. 
.
4. Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}. 
.
5. Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}. 
Задачи по комбинаторике
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
Ответ: 55 440.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
Ответ: 42.
3. Cколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
Ответ: 1 140.
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
Ответ: 968.
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
Ответ: 253.
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
Ответ: 64.
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
Ответ: 240.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
Ответ: 124.
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800 + 400 + 200 + 100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
Ответ: 32 760.
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
Ответ: 25!/20!.
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
Ответ: 3 126.
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
Ответ: 896.
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
Ответ: 8!.
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
Ответ: 30!/(10!).
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
Ответ: 42.
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
Ответ: 9!.
17. На книжной полке помещается 30 томов. Cколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
Ответ: 
.
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
Ответ: 2 520.
19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.
Ответ: 12!/(2!).
20. Cколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются )?
Ответ: 204.
21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Cколько существует вариантов расписания, при которых группы № 1 и № 2 находились бы в соседних аудиториях?
Ответ: 2 ´ 9!.
22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).
Ответ: 2 027 025.
23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?
Ответ: 56; 6 ´ 45.
24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
Ответ: 210.
25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
Ответ: 16100.
26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
Ответ: 40.
27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Cколькими способами это можно сделать?
Ответ: 80!(3! ´ 75!).
28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 10!/48.
29. Три автомашины № 1, 2, 3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину № 1?
Ответ: 36 ´ 6!.
30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?
Ответ: 2 304.
31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?
Ответ: 15 368.
32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова – 15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
Ответ: 15!10/7!
33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?
Ответ: 
34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 15 015.
35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 35.
36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?
Ответ: 108.
37. Восемь авторов должны написать книгу из шестнадцати глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?
Ответ: 16!/(26 ´ 32).
38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 – второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).
Ответ: 420.
39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
Ответ: 1 800.
40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 105.
41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
Ответ: 62.
42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Ответ: 9 ´ 106.
43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
Ответ: 36.
44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 60.
45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Ответ: 2(6!)2.
46. Каждый из десяти радистов пункта A старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?
Ответ: 2200.
47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?
Ответ: 86; 86 – 13 ´ 75.
48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
Ответ: 2(11!)2.
49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
Ответ: C510–x ´ C510+x 
(C510)2 .
50. Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека. Cколькими способами это может произойти?
Ответ: 10!/4.
51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?
Ответ: 23.
52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
Ответ: 
.
53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?
Ответ: 6 ´ 8! ´ 2!.
54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.
Ответ: а) 5 ´ 5 ´ 4 ´ 3 = 300; б) 5 ´ 6 = 1080; в) 34; г) 5 ´ 6 ´ 6 ´ 3 = 540.
55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?
Ответ: 
.
56. На одной прямой взято m точек, на параллельной ей прямой n точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?
Ответ: 
.
57. Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например 67 876?
Ответ: 9 ´ 10 ´ 10 = 900.
58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число 35 ´ 54?
Ответ: 30.
59. В прямоугольной матрице A = {a ij} m строк и n столбцов. Каждое a ijÎ{+1, –1}, причем произведение a ij по любой строке или любому столбцу равно 1. Сколько таких матриц?
Ответ: 2(m–1)(n–1).
60. В комнате n лампочек. Сколько разных способов освещения комнаты, при которых горит:
а) ровно k лампочек (k < n);
б) хотя бы одна лампочка.
Ответ: а) 
; б) 
= 2n – 1.
61. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
Ответ: 
= 126.
62. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: 
= 210.
63. Имеется p белых и q черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом (q£p + 1)?
Ответ: 
.
64. Имеется p разных книг в красных переплетах и q разных книг в синих переплетах (q£p + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?
Ответ: 
.
65. Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ... n} чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?
Ответ: (n – 2)!.
66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность?
Ответ: 12 = 3! + 2 ´ 2 + 2.
67. Сколькими способами m + n + s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – n, в третьей – s предметов.
Ответ: 
68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение x1 + x2 + ... + x m = n?
Ответ: 
.
69. Найти число векторов 
, координаты которых удовлетворяют условиям:
1) aiÎ{0, 1};
2) aiÎ{0, 1, ... k – 1};
3) aiÎ{0, 1, ... k i – 1};
4) aiÎ{0, 1} и a1 + a2 + ... + an= r.
Ответ: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
70. Каково число матриц {a ij}, где a ijÎ{0,1} и в которой m строк и n столбцов? 1) строки могут повторяться; 2) строки попарно различны.
Ответ: 1) 2m×n; 2) 
.
71. Дано m предметов одного сорта и n – другого. Найти число выборок, составленных из r элементов одного сорта и s – другого.
Ответ: 
.
72. Сколькими способами число n можно представить в виде суммы k натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых, считаются разными).
Ответ: 
.
73. Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что:
1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;
2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;
3) ровно на 3 костях выпадет 6 очков;
4) ровно на 3 костях выпадет 6 очков, на 2 других выпадет 5 очков.
Ответ. 510, 610 – 510, 24 ´ 58, 630 ´ 46.
74. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем могут начинаться и с 0 тоже, найти число телефонных номеров, таких что:
1) 4 последние цифры одинаковы и не встречаются среди первых 3 (первые 3 цифры различны);
2) все цифры различны;
3) номер начинается с цифры 5;
4) номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.
Ответ: 5040, 
, 106, 210.
75. 10 человек, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в двух 3-местных и одном 4-местном номерах. Сколькими способами они могут быть размещены? Сколькими способами их можно разместить, если Иванов и Петров помещены в 4-местный номер?
Ответ: 4200, 560.
76. 52 карты раздаются 4 игрокам, каждому по 13 карт. Cколькими способами их можно раздать, если
1) каждый игрок получит туза;
2) один из игроков получит все 13 карт единой масти;
3) все тузы попадут к одному из игроков;
4) 2 определенных игрока не получат ни одного туза.
Ответ: 
.
77. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Cколько будет 8-значных чисел, если
1) регистр содержит ровно 2 одинаковые цифры;
2) регистр содержит ровно 2 пары одинаковых цифр;
3) регистр содержит ровно 3 одинаковые цифры;
4) регистр содержит не более 3 различных цифр.
Ответ: 
.
78. Сколькими способами можно выстроить 9 человек:
1) в колонну по одному;
2) в колонну по 3, если в каждой шеренге люди выстраиваются по росту и нет людей одинакового роста?
Ответ: 
.
79. Из n букв, среди которых a встречается α раз, буква b встречается β раз, а остальные буквы попарно различны, составляются слова. Сколько среди них будет различных r-буквенных слов, содержащих h раз букву a и k раз букву b?
Ответ: 
.
80. Имеется колода из 4n (n³5) карт, которая содержит карты 4 мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1, 2…n. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся:
1) 5 последовательных карт одной масти;
2) 4 карты из 5 с одинаковыми номерами;
3) 3 карты с одним номером и 2 карты с другим;
4) 5 карт одной масти;
5) 5 последовательно занумерованных карт;
6) 3 карты из 5 с одним и тем же номером;
7) не более 2 карт каждой масти.
Ответ: 4(n – 4), 4n(n – 1), 12n(n – 1), 
, 45(n – 4), 
, 
.
81. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы между любыми 2 единицами находилось не менее m нулей?
Ответ: 
.
Дата: 2019-04-23, просмотров: 414.
