Цель работы. Познакомиться с порядком построения линейного уравнения регрессии и расчета коэффициентов корреляционной связи.

Ход работы

Этап 1. Рассчитать и проанализировать значение линейного коэффициента корреляции, характеризующего связь между показателями, представленными двумя рядами (лабораторная работа № 5, прогнозные данные до 2010 года).

Линейный коэффициент корреляции принимает значения в интервале от - 1 до + 1. Принято считать, что если | r | < 0,30, то связь слабая, при | r | =     = (0,3 + 0,7) – средняя, при | r | > 0,70 – сильная, или тесная. Когда | r | = 1 – связь функциональная. Если же r ≈ 0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и X. Коэффициент корреляции считается по нижеприведенной формуле

.

Можно использовать и другие формулы, но результат должен быть одинаковым для всех вариантов расчета.

Этап 2. Провести выравнивание рядов методом наименьших квадратов по теоретическому уравнению регрессии y=a₀ + a₁x.

Для системы уравнений

,

Метод наименьших квадратов применяется для определения параметров а₀ и а₁.

Смысл параметров:

а₁ – это коэффициент регрессии, характеризующий влияние, которое оказывает изменение X на Y, т.е. объем выпущенной продукции на величину заработной платы, а₁ показывает, на сколько единиц в среднем изменится Y при изменении X на единицу. Если а₁> 0, то наблюдается положительная связь. Если а₁< 0, то увеличение Х на единицу влечет за собой уменьшение Y в среднем на а₁ (параметр а₁ обладает размерностью отношения Y к Х).

Параметр а₀ – это постоянная величина в уравнении регрессии, часто экономического смысла не имеет, но в ряде случаев ее интерпретируют как начальное значение Y.

Значение функции y=a₀+a₁х называется расчетным значением и на графике образует теоретическую линию регрессии. Смысл теоретической регрессии заключается в том, что это оценка среднего значения переменной Y для заданного значения Х.  

Построить график теоретической прямой регрессии.

Этап 3. На основе полученного уравнения регрессии рассчитать значение корреляционного отношения и коэффициента детерминации и сделать вывод о степени связи между исследуемыми показателями.

Рассмотрим метод расчета коэффициента детерминации на основе уравнения парной линейной регрессии Ỹ_i=a₀+a₁·X_i. Анализ уравнения регрессии позволяет оценить роль исследуемого факторного признака в формировании результативного. Для этого необходимо определить долю фактора в общей изменчивости вариации результативного признака.

Рассмотрим метод разложения вариации по факторам.

Вариация любого показателя оценивается дисперсией. Для результата Y дисперсия s²носит название общей и обозначается s²_общ (y):

s²_общ (y)=М(у²)-[M(y)]²,

где М – математическое ожидание.

Далее для последовательной оценки вариации по сформированному уравнению регрессии нужно рассчитать теоретические значения результата. Обычно этот расчет оформляется в виде табл. 6.

Таблица 6

Расчет теоретических значений признака - результата

Далее оценивается так называемая факторная дисперсия

s²_факт (Ỹ)=M(Ỹ²)-[M(Ỹ)]².

Кроме представленного в данном уравнении регрессии фактора на конечный результат влияют другие факторы. Это влияние случайно. Дисперсию, вызываемую влиянием этих случайных факторов, называют остаточной:

s²_ост (Y)= s² _общ (Y)- s² _факт (Ỹ).

Таким образом,

s²_общ (Y)= s²_факт (Ỹ)+ s²_ост (Y).

Отношение  показывает долю факторной вариации в общей. Если это отношение равно 1, то результат Y полностью зависит только от влияния данного рассматриваемого фактора. Если это отношение равно 0, то данный результат зависит от случайных факторов.

В экономическом анализе это отношение имеет особое значение и называется отношением детерминации:

η²= .

По нашим рассуждениям получаем

η²+ =1.

Отсюда получаем

η²=1- .

Это преобразование сделано для расчета так называемого коэффициента детерминации, который является универсальным показателем для оценки связи между исследуемыми признаками. Определяется он по формуле

η= .

Границы изменения η от 0 до 1. Если η=1, то в наличии полная функциональная связь признака результата и признака фактора. Если η=0 – связь не обнаруживается. Коэффициент детерминации является универсальным потому, что он не зависит от вида связи между X и Y.

Лабораторная работа № 7