При решении задач планиметрии обычно не возникает трудностей, связанных с изображением фигур. Изображают требуемую фигуру в натуральную величину или, если это невозможно, изображают фигуру подобную той, что требуется. Иначе обстоит дело в случае, если нужно изобразить пространственную фигуру, так как не существует плоской фигуры, подобной пространственной.

       Существуют разные способы изображения пространственных фигур: перспектива, аксонометрия и другие. Мы рассмотрим способ, основанный на параллельном проектировании изображаемой фигуры на какую-нибудь плоскость. Поэтому прежде, чем говорить об изображениях фигур, введём определение и некоторые свойства параллельного проектирования пространства на некоторую плоскость.

1. Параллельное проектирование.

       Пусть заданы плоскость α и прямая a, не параллельная этой плоскости.

       Определение. Параллельным проектированием пространства на плоскость α в направлении a называется такое отображение пространства на плоскость α, при котором каждой точке M пространства ставится в соответствие точка M' плоскости α такая, что MM' параллельна a.

       Плоскость α называется плоскостью проекции, а прямая a–направлением проектирования.

       Свойства параллельного проектирования:

1. Проекция прямой параллельной направлению проектирования есть точка;

2. Проекция всякой прямой, не параллельной направлению проектирования, есть прямая;

3. Проекция всякого отрезка, не параллельного направлению проектирования, есть отрезок;

4. Параллельные прямые,, не параллельные направлению проектирования, проектируются либо на параллельные прямые, либо на одну прямую;

5. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, не параллельных направлению проектирования;

6. Всякий треугольник может быть спроектирован в треугольник, подобный данному.

       Изображение плоских фигур.

       Умение изображать плоские фигуры, произвольным образом расположенные в пространстве, является важным для изображения пространственных фигур, в том числе многогранников, грани которых многоугольники, а изображением этих граней определяется изображение самого многогранника.

       Свойства параллельного проектирования:

· Всякий треугольник можно спроектировать в треугольник подобный данному;

· Если задана проекция треугольника, то задана проекция любой точки плоскости этого многоугольника.

       В связи с этим, при изображении плоской фигуры произвольным образом можно изобразить только какой-нибудь треугольник, изображения же всех остальных точек этой фигуры следует строить в соответствии со свойствами параллельного проектирования.

Рассмотрим некоторые примеры изображения плоских фигур.

       Пример 1. Отрезок. По свойствам параллельного проектирования проекция отрезка есть отрезок. Произвольный отрезок на чертеже можно считать изображением данного отрезка.

       Пример 2. Параллелограмм. По свойствам параллельного проектирования проекциями равных параллельных отрезков являются равные параллельные отрезки. Тогда изображением параллелограмма при параллельном проектировании является параллелограмм. Произвольный параллелограмм на чертеже можно считать изображением данного параллелограмма.

       Пример 3. Трапеция. Изображением трапеции A₁ B₁ C₁ D₁ с основаниями A₁ B₁ и C₁ D₁ является трапеция ABCD, причём основания изображения трапеции пропорциональны основаниям самой трапеции. Поэтому не любую трапецию можно считать изображением данной трапеции.

       Для построения проекции трапеции данную трапецию разбивают на параллелограмм и треугольник.

Изображением равнобедренной трапеции может быть и неравнобедренная трапеция.

       Пример 4. Окружность. Параллельная проекция окружности называется эллипсом. Из свойств параллельного проектирования следует, что проекция центра jданной окружности является центром симметрии эллипса. Эту точку называют центром эллипса.

       Изображение пространственных фигур.

       Рассмотрим изображения на плоскости некоторых многогранников.

       Свойства параллельного проектирования:

· Всякий тетраэдр можно спроектировать в четырёхугольник с диагоналями, подобный данному;

· Если на плоскости проекций задано изображение тетраэдра, то определено изображение любой точки пространства на этой плоскости.

При изображении правильных пирамид надо учесть, что:

· В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник;

· Высота правильной пирамиды пересекает плоскость основания в центре вписанной в этот многоугольник окружности.

       При изображении усечённых пирамид нужно следить за тем, чтобы прямые, содержащие изображения боковых рёбер, пересекались в одной точке, так как усечённая пирамида есть часть пирамиды.

       Следует обратить внимание на то, что при изображении прямого кругового конуса основания крайних образующих являются концами одного диаметра, а при изображении прямого кругового цилиндра– являются.

       Изображением шара является часть плоскости, ограниченная эллипсом. Как правило шар изображают кругом (при помощи ортогональной проекции). Для наглядности рисуют не только граничную окружность, но и сечение шара какой-нибудь плоскостью, проходящей через центр. Обычно эту плоскость выбирают не перпендикулярно плоскости изображения, чтобы указанное сечение не изображалось отрезком, а эллипсом. Тогда перпендикуляр к плоскости сечения , проходящий через центр шара, не параллелен плоскости чертежа, а потому изображения полюсов не принадлежат окружности, ограничивающей изображение шара.

       Примеры правильных и неправильных изображений перечисленных фигур приводятся на следующих рисунках.

2. Ортогональное проектирование.

Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекции, то проектирование называют ортогональным.

    Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, а значит, обладает свойствами параллельного проектирования.

Из свойств параллельного проектирования следует, что если фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций, то ортогональной проекцией этой фигуры является равная ей фигура.

3. Площадь ортогональной проекции многоугольника.

    Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

Практическая работа №21

       Тема: Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками. Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов